考点14 等腰三角形与直角三角形一、等腰三角形1．等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）．推论1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边，即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合．推论2：等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于60°．2．等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边）．这个判定定理常用于证明同一个三角形中的边相等．推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形．推论2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．二、等边三角形1．定义：三条边都相等的三角形是等边三角形．2．性质：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°．3．判定：三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形．三、直角三角形与勾股定理1．直角三角形定义：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形．性质：（1）直角三角形两锐角互余；（2）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；（3）在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．判定：（1）两个内角互余的三角形是直角三角形；（2）三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形．2．勾股定理及逆定理（1）勾股定理：直角三角形的两条直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方，即：a 2+b 2=c 2．（2）勾股定理的逆定理：如果三角形的三条边a 、b 、c 有关系：a 2+b 2=c 2，那么这个三角形是直角三角形．考向一 等腰三角形的性质1．等腰三角形是轴对称图形，它有1条或3条对称轴．2．等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°．3．等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）．4．等腰三角形的三边关系：设腰长为a ，底边长为b ，则2b <a ． 5．等腰三角形的三角关系：设顶角为顶角为∠A ，底角为∠B 、∠C ，则∠A =180°-2∠B ，∠B =∠C =2180A ∠-︒．1．等腰三角形的一个内角为70°，则另外两个内角的度数分别是（ ）A ．55°，55°B ．70°，40°或70°，55°C ．70°，40°D ．55°，55°或70°，40° 【答案】D【分析】先根据等腰三角形的定义，分70︒的内角为顶角和70︒的内角为底角两种情况，再分别根据三角形的内角和定理即可得．【详解】（1）当70︒的内角为等腰三角形的顶角,则另外两个内角均为底角，它们的度数为18070552︒-︒=︒ （2）当70︒的内角为等腰三角形的底角，则另两个内角一个为底角，一个为顶角;底角为70︒，顶角为180707040︒-︒-︒=︒综上，另外两个内角的度数分别是55,55︒︒或70,40︒︒故选：D ．【点睛】本题考查了等腰三角形的定义、三角形的内角和定理，根据等腰三角形的定义，正确分两种情况讨论是解题关键．2．古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点G 将一线段MN 分为两线段MG ，GN ，使得其中较长的一段MG 是全长MN 与较短的段GN 的比例中项，即满足12MG GN MN MG ==，后人把12这个数称为“黄金分割”数，把点G 称为线段MN 的“黄金分割”点．如图，在ABC 中，已知3AB AC ==，4BC =，若D ，E 是边BC 的两个“黄金分割”点，则ADE的面积为（ ）A ．10-B ．5CD ．20-【答案】A【分析】作AF ⊥BC ，根据等腰三角形ABC 的性质求出AF 的长，再根据黄金分割点的定义求出BE 、CD 的长度，得到ADE 中DE 的长，利用三角形面积公式即可解题.【详解】解：过点A 作AF ⊥BC ，∵AB=AC ，∴BF=12BC=2，在Rt ABF ==∵D 是边BC 的两个“黄金分割”点，∴CD BC =即142CD =，解得CD=2，同理BE=2，∵CE=BC -BE=4-(2)=6-DE=CD -8，∴S △ABC=12DE AF ⨯⨯=()182⨯10- A. 【点睛】本题考查了“黄金分割比”的定义、等腰三角形的性质、勾股定理的应用以及三角形的面积公式，求出DE 和AF 的长是解题的关键。

1．在等腰ABC 中，AB ＝AC ，∠B ＝50°，则∠A 的大小为________．【答案】80︒【分析】根据等腰三角形两底角相等可求∠C ，再根据三角形内角和为180°列式进行计算即可得解．【详解】解：∵AB=AC，∠B=50°，∴∠C=∠B=50°，∴∠A=180°-2×50°=80°．故答案为：80°．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，解题的关键是掌握等腰三角形两底角相等的性质．4．等腰三角形的两条边长分别为3和4，则这个等腰三角形的周长是_____．【答案】10或11【分析】分3是腰长与底边长两种情况讨论求解即可．【详解】解：①3是腰长时，三角形的三边分别为3、3、4，∵此时能组成三角形，∴周长＝3+3+4＝10；②3是底边长时，三角形的三边分别为3、4、4，此时能组成三角形，所以周长＝3+4+4＝11．综上所述，这个等腰三角形的周长是10或11．故答案为：10或11．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，根据题意，正确分情况讨论是解题的关键．考向二等腰三角形的判定1．等腰三角形的判定定理是证明两条线段相等的重要依据，是把三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据．2．底角为顶角的2倍的等腰三角形非常特殊，其底角平分线将原等腰三角形分成两个等腰三角形．1．如图，已知AB=AC，AD=AE，BD和CE相交于点O．（1）求证：△ABD≌△ACE；（2）判断△BOC的形状，并说明理由．【答案】（1）见解析；（2）等腰三角形，理由见解析．【分析】（1）由“SAS”可证△ABD≌△ACE；（2）由全等三角形的性质可得∠ABD=∠ACE，由等腰三角形的性质可得∠ABC=∠ACB，可求∠OBC=∠OCB，可得BO=CO，即可得结论．【详解】证明：（1）∵AB=AC，∠BAD=∠CAE，AD=AE，∴△ABD≌△ACE（SAS）；（2）△BOC是等腰三角形，理由如下：∵△ABD≌△ACE，∴∠ABD=∠ACE，∵AB =AC ，∴∠ABC =∠ACB ∴∠ABC ﹣∠ABD =∠ACB ﹣∠ACE ，∴∠OBC =∠OCB ，∴BO =CO ，∴△BOC 是等腰三角形．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，熟记相关定理是解题关键． 2．如图，在等腰三角形ABC 中，BD 为∠ABC 的平分线，∠A=36°，AB=AC=a ，BC=b ，则CD=（ ）A ．2a b +B ．2a b -C ．a -bD ．b -a【答案】C【分析】根据等腰三角形的性质和判定得出BD=BC=AD ，进而解答即可．【详解】解：∵在等腰△ABC 中，BD 为∠ABC 的平分线，∠A=36°，∴∠ABC=∠C=2∠ABD=72°，∴∠ABD=36°=∠A ，∴BD=AD ，∴∠BDC=∠A+∠ABD=72°=∠C ，∴BD=BC ，∵AB=AC=a ，BC=b ，∴CD=AC -AD=a -b ，故选：C ．【点睛】此题考查等腰三角形的性质，关键是根据等腰三角形的性质和判定得出BD=BC=AD 解答．1．如图，在ABC ∆中，点D ，E 分别是AB 、AC 边上的点，BD CE =，ABE ACD ∠=∠，BE 与CD 相交于点F ，求证：ABC ∆是等腰三角形．【答案】见解析【分析】先证明BDF CEF ∆∆≌，得到BF CF =，FBC FCB ∠=∠，进而得到A ABC CB =∠∠，故可求解．【详解】证明：在BDF ∆和CEF ∆中()DFB EFC FBD FCEBD CE ⎧∠=∠⎪∠=∠⎨⎪=⎩对顶角相等 ∴()BDF CEF AAS ∆∆≌∴BF CF =∴FBC FCB ∠=∠又∵ABE ACD ∠=∠∴FBC ABE FCB ACD ∠+∠=∠+∠即A ABC CB =∠∠∴ABC ∆是等腰三角形．【点睛】此题主要考查等腰三角形的判定，解题的关键是熟知全等三角形的判定与性质．考向三 等边三角形的性质1．等边三角形具有等腰三角形的一切性质．2．等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴．3．等边三角形的内心、外心、重心和垂心重合．1．如图，已知边长为2的等边三角形ABC 中，分别以点A ，C 为圆心，m 为半径作弧，两弧交于点D ，连结BD ．若BD 的长为m 的值为_____．【答案】2或【分析】由作图知，点D 在AC 的垂直平分线上，得到点B 在AC 的垂直平分线上，求得BD 垂直平分AC ，设垂足为E ，得到BED 、B 在AC 的两侧时，如图，证出BE ＝DE ，即可求出m ；当点D 、B 在AC 的同侧时，如图，解直角三角形即可得到结论．【详解】解：由作图知，点D 在AC 的垂直平分线上，∵△ABC 是等边三角形，∴点B 在AC 的垂直平分线上，∴BD 垂直平分AC ，设垂足为E ，∵AC ＝AB ＝2，∴BE ＝AB ·sin60°当点D 、B 在AC 的两侧时，如图，∵BD ＝BE ＝DE ，∴AD ＝AB ＝2，∴m ＝2；当点D 、B 在AC 的同侧时，如图，∵BD '＝D E '＝AD '＝m ＝m 的值为2或2或【点睛】此题考查的是等边三角形的性质、垂直平分线的性质、锐角三角函数和勾股定理，掌握等边三角形的性质、垂直平分线的性质、分类讨论的数学思想、锐角三角函数和勾股定理是解决此题的关键． 2．如图，ABC 是等边三角形，4AB cm =，动点P 从点A 出发，以2/cm s 的速度沿AB 向点B 匀速运动，过点P 作PQ AB ⊥，交折线AC CB -于点Q ，以PQ 为边作等边三角形PQD ，使点A ，D 在PQ异侧．设点P 的运动时间为()x s ()02x <<，PQD △与ABC 重叠部分图形的面积为y ()2cm ．（1）AP的长为______cm （用含x 的代数式表示）．（2）当点D 落在边BC 上时，求x 的值．（3）求y 关于x 的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围．【答案】（1）2x ；（2）23；（3）当203x <≤时，2y =；当213x <≤时，22y x =-+-当12x <<时，22)y x =-． 【分析】（1）根据“路程=速度⨯时间”即可得；（2）如图（见解析），先根据等边三角形的性质可得60,A B DPQ PQ DP ∠=∠=∠=︒=，再根据垂直的定义可得30AQP BPD ∠=∠=︒，然后根据三角形全等的判定定理与性质可得AQ BP =，最后在Rt APQ 中，利用直角三角形的性质列出等式求解即可得；（3）先求出点Q 与点C 重合时x 的值，再分203x <≤、213x <≤和12x <<三种情况，然后分别利用等边三角形的性质、正切三角函数、以及三角形的面积公式求解即可得．【详解】（1）由题意得：2()AP x cm = 故答案为：2x ；（2）如图，ABC 和PQD △都是等边三角形 60,A B DPQ PQ DP ∴∠=∠=∠=︒=PQ AB ⊥，即90APQ BPQ ∠=∠=︒9030AQP A ∴∠=︒-∠=︒，30BPD BPQ DPQ ∠=∠-∠=︒在APQ 和BDP △中，30A B AQP BPD PQ DP ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩()APQ BDP AAS ∴≅AQ BP ∴= 4,2AB AP x ==42AQ BP AB AP x ∴==-=-在Rt APQ 中，30AQP ∠=︒12AP AQ ∴=，即12(42)2x x =- 解得23x =； （3）ABC 是等边三角形 4AC BC AB ∴===当点Q 与点C 重合时，114222AP AQ ==⨯= 则22x =，解得1x = 结合（2）的结论，分以下三种情况：①如图1，当203x <≤时，重叠部分图形为PQD △ 由（2）可知，等边PQD △的边长为PQ ==由等边三角形的性质得：PQ边上的高为32PQ x =则2132y x =⋅⋅= ②如图2，当213x <≤时，重叠部分图形为四边形EFPQ 60,30B BPD ∠=︒∠=︒18090BFP B BPD ∴∠=︒-∠-∠=︒ 则在Rt BFP △中，11(42)222BF BP x x ==-=-，)PF x ==-)DF PD PF x ∴=-=-=-在Rt DEF △中，tan EF D DF =，即tan60EF DF =︒⋅=则PQD Rt DEF EFPQ y S S S ==-四边形212DF EF =-⋅22=-2x =+- ③如图3，当12x <<时，重叠部分图形为MPQ同②可知，11(42)222BM BP x x ==-=-，)PM x =-在Rt MPQ 中，tan MQ MPQ PM ∠=，即tan60MQ PM =︒⋅=则12MNP y S PM MQ ==⋅2)2x ⎤=⋅-⎦22)2x =-综上，当203x <≤时，2y =；当213x <≤时，2y x =+-当12x <<时，22)2y x =-． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质、三角形全等的判定定理与性质、直角三角形的性质、正切三角函数等知识点，较难的是题（3），依据题意，正确分三种情况讨论是解题关键．1．如图，面积为1的等边三角形ABC 中，,,D E F 分别是AB ，BC ，CA 的中点，则DEF ∆的面积是（ ）A ．1B ．12C ．13D ．14【答案】D 【分析】根据题意可以判断四个小三角形是全等三角形,即可判断一个的面积是14．【详解】∵,,D E F 分别是AB ，BC ，CA 的中点,且△ABC 是等边三角形,∴△ADF ≌△DBE ≌△FEC ≌△DFE,∴△DEF 的面积是14．故选D ． 【点睛】本题考查等边三角形的性质及全等,关键在于熟练掌握等边三角形的特殊性质．2．如图，正三角形ABC 的边长为3，将△ABC 绕它的外心O 逆时针旋转60°得到△A 'B 'C '，则它们重叠部分的面积是（ ）A ．BCD 【答案】C 【分析】根据重合部分是正六边形，连接O 和正六边形的各个顶点，所得的三角形都是全等的等边三角形，据此即可求解．【详解】解：作AM ⊥BC 于M ，如图：重合部分是正六边形，连接O 和正六边形的各个顶点，所得的三角形都是全等的等边三角形． ∵△ABC 是等边三角形，AM ⊥BC ，∴AB ＝BC ＝3，BM ＝CM ＝12BC ＝32，∠BAM ＝30°，∴AM ＝2，∴△ABC 的面积＝12BC×AM ＝12×3×2，∴重叠部分的面积＝69△ABC 的面积＝6=942⨯；故选：C ． 【点睛】本题考查了三角形的外心、等边三角形的性质以及旋转的性质，理解连接O 和正六边形的各个顶点，所得的三角形都为全等的等边三角形是关键．考向四 等边三角形的判定在等腰三角形中，只要有一个角是60°，无论这个角是顶角还是底角，这个三角形就是等边三角形．1．如图，在一个池塘两旁有一条笔直小路（B ，C 为小路端点）和一棵小树（A 为小树位置）测得的相关数据为：60,60,48ABC ACB BC ∠=︒∠=︒=米，则AC =________米．【答案】48【分析】先说明△ABC 是等边三角形，然后根据等边三角形的性质即可解答．【详解】解：∵60,60ABC ACB ∠=︒∠=︒∴∠BAC=180°-60°-60°=60°∴∠BAC=∠ABC=∠BCA=60°∴△ABC 是等边三角形 ∴AC=BC=48米．故答案为48．【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，证得△ABC 是等边三角形是解答本题的关键．2．如图，,ABC ECD ∆∆都是等边三角形，且B ，C ，D 在一条直线上，连结,BE AD ，点M ，N 分别是线段BE ，AD 上的两点，且11,33BM BE AN AD ==，则CMN ∆的形状是（ ）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．不等边三角形【答案】C【分析】先证明BCE ACD ≅，得到BE AD =，根据已知条件可得AN BM =，证明△△BCM ACN ≅，得到=60MCN ∠︒，即可得到结果；【详解】∵,ABC ECD ∆∆都是等边三角形，∴BC AC =，CE CD =，60BCA DCE ∠=∠=︒， ∴+BCA ACE DCE ACE ∠∠=∠+∠，∴BCE ACD ∠=∠，在BCE 和ACD △中，BC AC BCE ACD CE CD ⎧=⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()△△BCE ACD SAS ≅，∴BE AD =，CBM ACN ∠=∠，又∵11,33BM BE AN AD ==，∴BM AN =， 在BCM 和ACN △中，BM AN CBM ACN BC AC ⎧=⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()△△BCM ACN SAS ≅，∴BCM ACN ∠=∠，MC NC =，∴+60BCM ACM ACN ACM ∠∠=∠+∠=︒，∴CMN ∆是等边三角形．故答案选C ．【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，正确分析题目条件是解题的关键．1．如图，等边三角形纸片ABC 的边长为6，E ，F 是边BC 上的三等分点．分别过点E ，F 沿着平行于BA ，CA 方向各剪一刀，则剪下的△DEF 的周长是_____ ．【答案】6【分析】先说明△DEF 是等边三角形，再根据E ，F 是边BC 上的三等分求出BC 的长，最后求周长即可.【详解】解：∵等边三角形纸片ABC ∴∠B=∠C=60°∵DE ∥AB ，DF ∥AC ∴∠DEF=∠DFE=60°∴△DEF 是等边三角形∴DE=EF=DF∵E ，F 是边BC 上的三等分点,BC=6∴EF=2∴DE=EF=DF=2∴△DEF= DE+EF+DF=6故答案为6．【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质、三等分点的意义，灵活应用等边三角形的性质是正确解答本题的关键．2．如图，Rt △ABC 中，∠A ＝30°，∠ABC ＝90°．将Rt △ABC 绕点B 逆时针方向旋转得到A BC ''△．此时恰好点C 在A C ''上，A B '交AC 于点E ，则△ABE 与△ABC 的面积之比为（ ）A ．13B ．12C ．23D ．34【答案】D【分析】由旋转的性质得出BC =BC '，∠ACB =∠A 'C 'B =60°，则△BCC '是等边三角形，∠CBC '=60°，得出∠BEA =90°，设CE =a ，则BE ，AE =3a ，求出34AE AC =，可求出答案． 【详解】∵∠A =30°，∠ABC =90°，∴∠ACB =60°，∵将Rt △ABC 绕点B 逆时针方向旋转得到△A 'BC '，∴BC =BC '，∠ACB =∠A 'C 'B =60°，∴△BCC '是等边三角形，∴∠CBC '=60°，∴∠ABA '=60°，∴∠BEA =90°，设CE =a ，则BE ，AE =3a ，∴13CE AE =，∴34AE AC =，∴△ABE 与△ABC 的面积之比为34．故选：D ． 【点睛】本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质；熟练掌握旋转的性质是解题的关键．考向五 “三线合一”等腰(等边)三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边，即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合．1．已知等边三角形一边上的高为 ）A ．2B ．3C ．4D ．【答案】C【分析】根据等边三角形的性质：三线合一，利用勾股定理可求解即可．【详解】根据等边三角形的三线合一性质：设它的边长为x ，可得：2222x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，解得：x ＝4，x ＝﹣4（舍去），故选：C ．【点睛】本题主要考查了等腰三角形“三线合一”的性质，运用勾股定理列出方程求解是解答此类问题的常用方法．2．如图，ABC 中，AB =AC ，AD 是∠BAC 的平分线，EF 是AC 的垂直平分线，交AD 于点O .若OA =3，则ABC 外接圆的面积为（ ）A ．3πB ．4πC ．6πD ．9π【答案】D 【分析】先根据等腰三角形的三线合一可得AD 是BC 的垂直平分线，从而可得点O 即为ABC 外接圆的圆心，再利用圆的面积公式即可得．【详解】AB AC =，AD 是BAC ∠的平分线AD BC ∴⊥，且AD 是BC 边上的中线（等腰三角形的三线合一）AD ∴是BC 的垂直平分线 EF 是AC 的垂直平分线∴点O 为ABC 外接圆的圆心，OA 为外接圆的半径3OA =ABC ∴外接圆的面积为29OA ππ= 故选：D ．【点睛】本题考查了等腰三角形的三线合一、三角形外接圆，正确找出三角形外接圆的圆心是解题关键．1．ABC 中，,120,AB AC BAC BC =∠=︒=D 为BC 的中点，14AE AB =，则EBD △的面积为（ ）A B C D 【答案】B【分析】连接AD ，用等腰三角形的“三线合一”，得到BAD ∠的度数，及Rt ABD △，由14AE AB =得34BE AB =，得34BDE ABD S S =△△，计算ABD △的面积即可． 【详解】连接AD ，如图所示：∵,120,AB AC BAC BC =∠=︒=D 为BC 中点∴AD BC ⊥，且1602BAD CAD BAC ︒∠=∠=∠=，BD DC ==Rt ABD △中，2,1AB AD ==∵14AE AB =∴34BE AB =∴3311442BDE ABD S S ==⨯⨯=△故选：B ． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，及解直角三角形和三角形面积的计算，熟知以上知识是解题的关键．考向六 直角三角形在直角三角形中，30°的角所对的直角边等于斜边的一半，这个性质常常用于计算三角形的边长，也是证明一边（30°角所对的直角边）等于另一边（斜边）的一半的重要依据．当题目中已知的条件或结论倾向于该性质时，我们可运用转化思想，将线段或角转化，构造直角三角形，从而将陌生的问题转化为熟悉的问题．1．如图，在Rt ABC 中， 90,30,1,C ABC AC cm ∠=︒∠=︒=将Rt ABC 绕点A 逆时针旋转得到Rt AB C ''△，使点C '落在AB 边上，连接BB '，则BB '的长度是（ ）A ．1cmB ．2cm CD．【答案】B 【分析】由旋转的性质可知，'=60∠∠=CAB BAB ，进而得出'∆BAB 为等边三角形，进而求出'==2BB AB ．【详解】解：∵ 90,30,1,C ABC AC cm ∠=︒∠=︒=由直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半可知，∴=2=2AB AC cm ，又∠CAB =90°-∠ABC =90°-30°=60°，由旋转的性质可知：'=60∠∠=CAB BAB ，且'=AB AB ， ∴'∆BAB 为等边三角形，∴'==2BB AB ．故选：B ．【点睛】本题考查了直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，旋转的性质等，熟练掌握其性质是解决此类题的关键．2．有一架竖直靠在直角墙面的梯子正在下滑，一只猫紧紧盯住位于梯子正中间的老鼠，等待与老鼠距离最小时扑捉．把墙面、梯子、猫和老鼠都理想化为同一平面内的线或点，模型如图，，点，分别在射线，上，长度始终保持不变，，为的中点，点到，的距离分别为4和2．在此滑动过程中，猫与老鼠的距离的最小值为_________．90ABC ∠=︒M N BA BC MN 4MN =E MN D BA BC DE【答案】【分析】根据当、、三点共线，距离最小，求出BE和BD即可得出答案．【详解】如图当、、三点共线，距离最小，∵，为的中点，∴，，，故答案为：．【点睛】本题考查了直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，勾股定理，两点间的距离线段最短，判断出距离最短的情况是解题关键．1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在线段BC上，且∠B＝30°，∠ADC＝60°，BC＝BD 的长度为________．【答案】【分析】首先证明DB=AD=2CD，然后再由条件BC=【详解】解：∵∠C＝90°，∠ADC＝60°，∴∠DAC＝30°，∴CD＝12 AD．2B D E B DE4MN=E MN2BE=BD==2 DE BD BE=-=2∵∠B ＝30°，∠ADC ＝60°，∴∠BAD ＝30°，∴BD ＝AD ，∴BD ＝2CD ．∵BC ＝CD ＋2CD ＝CD DB ＝【点睛】此题主要考查了含30°角的直角三角形的性质，关键是掌握在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．2．如图，在△ABC 中点D 为△ABC 的内心,∠A=60°,CD=2,BD=4．则△DBC 的面积是（ ）A ．B ．C ．2D ．4【答案】B 【分析】过点B 作BH ⊥CD 于点H ．由点D 为△ABC 的内心，∠A=60°，得∠BDC=120°，则∠BDH=60°，由BD=4，BD ：CD=2：1得CD=2，于是求出△DBC 的面积．【详解】解：过点B 作BH ⊥CD 于点H ．∵点D 为△ABC 的内心，∠A=60°，∴∠BDC=90°+12∠A=90°+12×60°=120°，则∠BDH=60°，∵BD=4，BD ：CD=2：1∴DH=2，CD=2，∴△DBC 的面积为12CD•BH=12故选B.【点睛】本题考查了三角形内心的相关计算，熟练运用含30°角的直角三角形的性质是解题的关键．考向七 勾股定理1．应用勾股定理时，要分清直角边和斜边，尤其在记忆a 2+b 2=c 2时，斜边只能是c ．若b 为斜边，则关系式是a 2+c 2=b 2；若a 为斜边，则关系式是b 2+c 2=a 2．2．如果已知的两边没有明确边的类型，那么它们可能都是直角边，也可能是一条直角边、一条斜边，求解时必须进行分类讨论，以免漏解．1．如图1，直角三角形纸片的一条直角边长为2，剪四块这样的直角三角形纸片，把它们按图2放入一个边长为3的正方形中（纸片在结合部分不重叠无缝隙），则图2中阴影部分面积为_____．【答案】【分析】根据题意和图形，可以得到直角三角形的一条直角边的长和斜边的长，从而可以得到直角三角形的另一条直角边长，再根据图形，可知阴影部分的面积是四个直角三角形的面积，然后代入数据计算即可.【详解】解：由题意可得，直角三角形的斜边长为3，一条直角边长为2，，，故答案为：【点睛】此题考查勾股定理解三角形，正方形的性质，正确理解正方形的边长3与直角三角形的关系是解题的关键.2．如图，在矩形ABCD 中，点E 在DC 上，将矩形沿AE 折叠，使点D 落在BC 边上的点F 处．若AB ＝3，BC ＝5，则tan ∠DAE 的值为（ ）=4=A ．12B ．920C ．25D ．13【答案】D【分析】先根据矩形的性质和折叠的性质得AF ＝AD ＝BC=5，EF ＝DE ，在Rt △ABF 中，利用勾股定理可求出BF 的长，则CF 可得，设CE ＝x ，则DE ＝EF ＝3﹣x ，然后在Rt △ECF 中根据勾股定理可得关于x 的方程，解方程即可得到x ，进一步可得DE 的长，再根据正切的定义即可求解．【详解】解：∵四边形ABCD 为矩形，∴AD ＝BC ＝5，AB ＝CD ＝3，∵矩形ABCD 沿直线AE 折叠，顶点D 恰好落在BC 边上的F 处，∴AF ＝AD ＝5，EF ＝DE ，在Rt △ABF 中，BF 4=，∴CF ＝BC ﹣BF ＝5﹣4＝1，设CE ＝x ，则DE ＝EF ＝3﹣x 在Rt △ECF 中，∵CE 2+FC 2＝EF 2，∴x 2+12＝（3﹣x ）2，解得x ＝43，∴DE ＝EF ＝3﹣x ＝53，∴tan ∠DAE ＝51353DE AD ==，故选：D ．【点睛】本题考查了翻折变换、矩形的性质、锐角三角函数和勾股定理等知识，属于常考题型，灵活运用这些性质进行推理与计算是解题的关键．1．如图，12OA A △为等腰直角三角形，OA 1＝1，以斜边OA 2为直角边作等腰直角三角形OA 2A 3，再以OA 3为直角边作等腰直角三角形OA 3A 4，…，按此规律作下去，则OA n 的长度为（ ）A ．nB ．n ﹣1C ．（2）nD ．（2）n ﹣1【答案】B【分析】利用等腰直角三角形的性质以及勾股定理分别求出各边长，依据规律即可得出答案．【详解】解：∵△OA1A2为等腰直角三角形，OA1＝1，∴OA2∵△OA2A3为等腰直角三角形，∴OA3＝2＝2；∵△OA3A4为等腰直角三角形，∴OA4＝3．∵△OA4A5为等腰直角三角形，∴OA5＝4＝4，……∴OA n n﹣1，故选：B．【点睛】此题主要考查了等腰直角三角形的性质以及勾股定理，熟练应用勾股定理得出是解题关键．2．如图，在3×3的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，若BD是△ABC的高，则BD的长为（）A B C D【答案】D【分析】根据勾股定理计算AC的长，利用面积和差关系可求ABC的面积，由三角形的面积法求高即可．【详解】解：由勾股定理得：AC∵S△ABC＝3×3﹣111121323222⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯＝72，∴1722AC BD⋅=BD7=，∴BD D．【点睛】本题考查了网格与勾股定理，三角形的面积的计算，掌握勾股定理是解题的关键．1．已知m 、n 、4分别是等腰三角形(非等边三角形)三边的长，且m 、n 是关于x 的一元二次方程2x ﹣6x +k+2=0的两个根，则k 的值等于( )A ．7B ．7或6C ．6或﹣7D ．6【答案】B【分析】当m =4或n =4时，即x =4，代入方程即可得到结论，当m =n 时，即△=(﹣6)2﹣4×(k +2)=0，解方程即可得到结论．【详解】当m =4或n =4时，即x =4，∴方程为42﹣6×4+k+2=0，解得：k =6；当m =n 时，2x ﹣6x +k+2=0∵1a =，6b =-，2c k =+，∴()()22464120b ac k =-=--⨯⨯+=⊿，解得：7k =， 综上所述，k 的值等于6或7，故选：B ．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根、根的判别式以及等腰三角形的性质，由等腰三角形的性质得出方程有一个实数根为2或方程有两个相等的实数根是解题的关键．2．如图，在ABC 中，,80BA BC B =∠=︒，观察图中尺规作图的痕迹，则DCE ∠的度数为（ ）A ．60B ．65C ．70D ．75【答案】B 【分析】先由等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求出∠BCA ，进而求得∠ACD ，由作图痕迹可知CE 为∠ACD 的平分线，利用角平分线定义求解即可．【详解】∵在ABC 中，,80BA BC B =∠=︒，∴180180805022B ACB -∠-∠===， ∴∠ACD=180°-∠ACB=180°-50°=130°，由作图痕迹可知CE 为∠ACD 的平分线， ∴1652DCE ACD ∠=∠=，故选：B ． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、三角形的内角和定理、角平分线的定义和作法，熟练掌握等腰三角形的性质以及角平分线的尺规作图法是解答的关键．3．已知：等腰直角三角形ABC 的腰长为4，点M 在斜边AB 上，点P 为该平面内一动点，且满足PC ＝2，则PM 的最小值为（ ）A ．2B ．2C ．D ．【答案】B【分析】根据等腰直角三角形的性质得到斜边AB ＝P 在以C 为圆心，PC 为半径的圆上，当点P 在斜边AB 的中线上时，PM 的值最小，于是得到结论．【详解】解：∵等腰直角三角形ABC 的腰长为4，∴斜边AB ＝∵点P 为该平面内一动点，且满足PC ＝2，∴点P 在以C 为圆心，PC 为半径的圆上，当点P 在斜边AB 的中线上时，PM 的值最小，∵△ABC 是等腰直角三角形，∴CM ＝12AB ＝∵PC ＝2，∴PM ＝CM ﹣CP ＝2，故选：B ．【点睛】本题考查线段最小值问题，涉及等腰三角形的性质和点到圆的距离，解题的关键是能够画出图形找到取最小值的状态然后求解．4．一条船从海岛A 出发，以15海里/时的速度向正北航行，2小时后到达海岛B 处．灯塔C 在海岛在海岛A 的北偏西42°方向上，在海岛B 的北偏西84°方向上．则海岛B 到灯塔C 的距离是（ ）A ．15海里B ．20海里C ．30海里D ．60海里【答案】C【分析】根据题意画出图形，根据三角形外角性质求出∠C=∠CAB=42°，根据等角对等边得出BC=AB ，求出AB 即可．【详解】解：∵根据题意得：∠CBD=84°，∠CAB=42°，∴∠C=∠CBD -∠CAB=42°=∠CAB ，∴BC=AB ，∵AB=15海里/时×2时=30海里，∴BC=30海里，即海岛B 到灯塔C 的距离是30海里．故选C.【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和判定和三角形的外角性质，关键是求出∠C=∠CAB ，题目比较典型，难度不大．5．已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程2680x x -+=的两根，则该等腰三角形的底边长为（ ） A ．2B ．4C ．8D ．2或4【答案】A【分析】解一元二次方程求出方程的解，得出三角形的边长，用三角形存在的条件分类讨论边长，即可得出答案．【详解】解：x 2－6x+8=0 （x －4）（x －2）=0 解得：x=4或x=2，当等腰三角形的三边为2，2，4时，不符合三角形三边关系定理，此时不能组成三角形；当等腰三角形的三边为2，4，4时，符合三角形三边关系定理，此时能组成三角形，所以三角形的底边长为2，故选：A ．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，解一元二次方程，能求出方程的解并能够判断三角形三边存在的条件是解此题的关键．6．如图，三角形纸片ABC ，点D 是BC 边上一点，连接AD ，把ABD △沿着AD 翻折，得到AED ，DE 与AC 交于点G ，连接BE 交AD 于点F .若DG GE =，3AF =，，的面积为2，则点F 到BC 的距离为( )ABC ．D ． 【答案】B2BF =ADG 53【分析】首先求出ABD 的面积．根据三角形的面积公式求出DF ，设点F 到BD 的距离为h ，根据•BD •h ＝•BF •DF ，求出BD 即可解决问题． 【详解】解：∵DG ＝GE ，∴S △ADG ＝S △AEG ＝2，∴S △ADE ＝4，由翻折可知，ADB ≌ADE ，BE ⊥AD ，∴S △ABD ＝S △ADE ＝4，∠BFD ＝90°，∴•（AF +DF ）•BF ＝4，∴•（3+DF ）•2＝4，∴DF ＝1， ∴DBF 到BD 的距离为h ，则•BD•h ＝•BF •DF ，∴h ，故选：B ． 【点睛】本题考查翻折变换，三角形的面积，勾股定理二次根式的运算等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数构建方程解决问题．7．在中，，若，则的长是________．【答案】17【分析】在Rt △ABC 中，根据勾股定理列出方程即可求解．【详解】解：∵在Rt △ABC 中，∠C=90°，AB -AC=2，BC=8，∴AC 2+BC 2=AB 2，即（AB -2）2+82=AB 2，解得AB=17．故答案为：17．【点睛】本题考查了勾股定理，解答的关键是熟练掌握勾股定理的定义及其在直角三角形中的表示形式．8．如图所示，在四边形中，，，．连接，，若，则长度是_________．【答案】10【分析】根据直角三角形的边角间关系，先计算，再在直角三角形中，利用勾股定理即可求出．【详解】解：在中，121212121212Rt ABC 90C ∠=︒2,8AB AC BC -==AB ABCD 90B ∠=︒2AB =8CD =AC AC CD ⊥1sin 3ACB ∠=AD AC ACD AD Rt ABC。