沪教版（上海）高中数学度高三数学二轮复习向量专题之平面向量与三角函数②教学目标能够解决三角函数与平面向量结合（主要是数量积），判断三角形性质或结合正、余弦定理求值.知识梳理正弦定理：R CcB b A a 2sin sin sin === (R 为ABC ∆外接圆半径) 余弦定理：A bc c b a cos 2222-+=面积公式 ：C ab S ABC sin 2121高＝底⨯=∆ 向量的加减法运算：1212()a b x x y y ±=±±， 实数与向量的积：()()1111,,a x y x y λλλλ==向量数量积： 1212=cos =a b a b x x y y θ+向量的模：222222||,||a x y a a x y =+==+向量平行(共线)的充要条件22向量垂直的充要条件：0||||a b a b a b a b ⊥⇔⋅=⇔+=- 12120x x y y ⇔+=特别地()()AB AC AB AC ABACABAC+⊥-.典例精讲例1. （★★★）设0≤θ≤2π时， OP 1→＝(cos θ，sin θ)，OP 2→＝(2＋sin θ，2－cos θ)，则|P 1P 2→|的最大值是（ ）A ．2B ．3C ．32D ．23解：12||=(2+sin -cos ,2-cos -sin PP θθθθ当cos θ=-1的时候取最大值，为23答案：D例2. （★★★）已知向量0000(cos 25,sin 25),(sin 20,cos 20)a b ==，若t 是实数，且→u ＝a ＋tb ，则|→u |的最小值为（ ）A ．2B ．1C ．22 D ．12解：2222==+2+t =1+2u u a ta b b 答案：C例3. （★★★）在ABC ∆中，记BAC x ∠=(角的单位是弧度制)，ABC ∆的面积为S ，且8AB AC ⋅=≤≤，4S ．(1)求x 的取值范围；(2)就(1)中x 的取值范围，求函数22()()2cos 4f x x x π=++的最大值、最小值．解 (1)∵8BAC x AC AB ∠=⋅=，，4S ≤≤ 又1sin 2S bc x =，∴cos 84tan bc x S x ==，，即 1tan x ≤≤．∴所求的x 的取值范围是43x ππ≤≤.(2)∵43x ππ≤≤，22()23sin ()2cos 34f x x x π=++-2cos 212sin(2)16x x x π=++=++，∴252366x πππ≤+≤，1sin(2)26x π≤+≤ ∴min max ()()2()()134f x f f x f ππ====，.巩固练习（★★★）已知令（Ⅰ）求的单调增区间；（Ⅰ）若时，恒成立，求的取值范围.2sin (+)+tan(+)tan(-)2242424 =2cos sin +2cos -tan(+)cot(+)2222424 =sinx+cosx+1-1(x+)4x x x x f x x x x x ππππππ解：（Ⅰ）由2k -x+2+242k πππππ≤≤，得32k -x 2+44k ππππ≤≤ 从而，的单调增区间为3[2k -,2+]44k ππππ,k Z ∈ （Ⅰ）由题意可知，(x)-1m f ≥在上恒成立当时，max (x)=(4f f π所以m2cos,tan ,2sin ,tan .2242424x x x x a b πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎭().f x a b =⋅()f x [0,)2x π∈()1f x m ->m ()f x [0,)2x π∈[0,)2x π∈例5. （★★★）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c，tan C =．（1） 求cos C ；（2）若52CB CA ⋅=，且9a b +=，求c ． 解：（1）tan C =，∴sin cos CC=又22sin cos 1C C +=，解得：1cos 8C =±，tan 0C >，∴C 是锐角，∴1cos 8C =． （2）52CB CA ⋅=，∴5cos 2ab C =，∴20ab =， 又9a b +=，22281a ab b ∴++=，2241a b ∴+=，2222cos 36c a b ab C ∴=+-=，6c ∴=．例6．（★★★）如图，已知点(1 1)A ，和单位圆上半部分上的动点B ．⑴若OA OB ⊥，求向量OB ； ⑵求||OA OB +的最大值．解： 依题意，(cos sin )(0)B θθθπ≤≤，（不含1个或2个端点也对）(1 1) (cos sin )(0)OA OB θθθπ==≤≤，，，，（写出1个即可）因为OA OB ⊥，所以0OA OB ⋅=，即cos sin 0θθ+= 解得34πθ=，所以2( 22OB =-，.⑵2(1cos 1sin ) ||(1OA OB OA OB θθ+=+++=+，，当4πθ=时，||OA OB +1.巩固练习Oxy A B如图，A 是单位圆与x 轴正半轴的交点，点P 在单位圆上，∠AOP =θ（0＜θ＜π），，四边形OAQP 的面积为S ．（1）求的最大值及此时θ的值θ0；（2）设点B 的坐标为，∠AOB =α，在（1）的条件下求cos （α+θ0）．解：（1），故的最大值是，此时．（2）∠．课堂检测1. （★★★）若向量a ＝(cos α,sin α)，b ＝(cos β,sin β)，则a 与b 一定满足 （ ）A ．a 与b 的夹角等于α－βB ．a ⅠbC ．a ⅠbD ．(a ＋b )Ⅰ(a －b )答案：D2.（★★★）把函数y ＝sin2x 的图象按向量→a ＝(－π6，－3)平移后，得到函数y ＝Asin(ωx＋ϕ)(A ＞0，ω＞0，|ϕ|<π2)的图象，则ϕ和B 的值依次为（ ）A ．π12，－3B ．π3，3C ．π3，－3D ．－π12，3解：由平移向量知向量平移公式⎩⎨⎧ x '＝x －π6y '＝y －3，即⎩⎨⎧ x ＝x '＋π6y ＝y '＋3，代入y ＝sin2x 得y '＋3＝sin2(x '＋π6)，即到y ＝sin(2x ＋π3)－3，由此知ϕ＝π3，B ＝－3，故选C.3. （★★★）已知A 、B 、C 为三个锐角，且A ＋B ＋C ＝π.若向量→p ＝(2－2sin A ，cos A＋sin A )与向量→q ＝(cos A －sin A ，1＋sin A )是共线向量.（Ⅰ）求角A ；（Ⅱ）求函数y ＝2sin 2B ＋cos C －3B 2的最大值.解：（Ⅰ）∵→p 、→q 共线，∴(2－2sin A )(1＋sin A )＝(cos A ＋sin A )(cos A －sin A )，则sin 2A ＝34，又A 为锐角，所以sin A ＝32，则A ＝π3.（Ⅱ）y ＝2sin 2B ＋cos C －3B2＝2sin 2B ＋cos (π－π3－B)－3B2＝2sin 2B ＋cos(π3－2B )＝1－cos2B ＋12cos2B ＋32sin2B＝32sin2B －12cos2B ＋1＝sin(2B －π6)＋1. ∵B ∈(0，π2)，∴2B －π6∈(－π6，5π6)，∴2B －π6＝π2，解得B ＝π3，y max ＝2.【评析】 根据题中所给条件，初步判断三角形的形状，再结合向量以及正弦定理、余弦定理实现边角转化，列出等式求解。

4. （★★★）如图，函数2sin(),y x x R πϕ=+∈（其中02πϕ≤≤）的图像与y 轴交于点（0，1）。

（Ⅰ）求ϕ的值；（Ⅱ）设P 是图像上的最高点，M 、N 是图像与x 轴的交点，求PM 与PN 的夹角。

解：（I ）因为函数图像过点(0,1)，所以2sin 1,ϕ=即1sin .2ϕ=因为02πϕ≤≤，所以6πϕ=.（II ）由函数2sin()6y x ππ=+及其图像，得115(,0),(,2),(,0),636M P N --所以11(,2),(,2),22PM PN =-=-从而cos ,||||PM PNPM PN PM PN ⋅<>=⋅1517=，故,PM PN <>=15arccos 17.5. （★★★）已知向量33(cos,sin ),=(cos ,-sin )2222x x x xb ，（1）求(x)=+a b f a b的最大值．（2）若不等式1-++-102a b a b λλ≤对恒成立，求实数λ的取值范围．解：（1）=coscos ﹣sinsin =cos2x=2cos 2x ﹣1，||2=2+2+2=1+2cos2x+1=2+2（2cos 2x ﹣1）=4cos 2x ，，cosx ＞0， ||=2cosx ．=cosx ﹣，令t=cosx ，则y=t ﹣，在t ∠[，1]上是增函数，当t=1时，y 取得最大值．（2）若不等式即为λcos2x ﹣cosx+λ﹣1≤0．λ（1+cos2x ）≤1+cosx ，，，1+cos2x ＞0，∠λ≤=．令t=cosx ，则g （t ）=，g ′（t ）=﹣﹣＜0，∠g （t ）在t ∠[，1]上是减函数，当t=1时，取得最小值1，所以λ≤1． 点评： 本题考查向量的运算，三角函数公式的应用，函数的性质，不等式恒成立问题，考查换元法、分离参数法、利用导数求函数最值．6. （★★★）设向量，其中.（1）求的取值范围；（2）若函数的大小.解：（Ⅰ）Ⅰ，Ⅰ，Ⅰ，Ⅰ，Ⅰ，Ⅰ．（Ⅰ）Ⅰ，，Ⅰ，),1,2(),2cos ,1(==b a θ)1,sin 21(),1,sin 4(θθ==d c )4,0(πθ∈d c b a ⋅-⋅)()(|,1|)(d c f b a f x x f ⋅⋅-=与比较22cos 2 2sin 12cos 2a b c d ⋅=+⋅=+=-θθθ，2cos 2a b c d ⋅-⋅=θ04<<πθ022<<πθ02cos22<<θ(0,2)a b c d ⋅-⋅的取值范围是2()|2cos 21||1cos 2|2cos f a b ⋅=+-=+=θθθ2()|2cos 21||1cos 2|2sin f c d ⋅=--=-=θθθ22()()2(cos sin )2cos 2f a b f c d ⋅-⋅=-=θθθⅠ，Ⅰ，Ⅰ，Ⅰ回顾总结（1） 在三角函数与向量结合考察时，记得常考向量运算公式，如向量数列积 a ·b =|a |·|b |cos θ=2121y y x x +(2) 向量平行(共线)的充要条件22向量垂直的充要条件：0||||a b a b a b a b ⊥⇔⋅=⇔+=- 12120x x y y ⇔+=04<<πθ022<<πθ2cos20>θ()()f a b f c d ⋅>⋅。