2020年九年级数学中考压轴题专项综合训练：《反比例函数》1．如图，四边形ABCD是以坐标原点O为对称中心的矩形，A（1，3），B（﹣3，﹣1），该矩形的边与坐标轴分别交于点E、F、G、H，连接EC．（1）直接写出点C的坐标；（2）判断点（1，﹣1.2）在矩形ABCD的内部还是外部；（3）求四边形ECHO的面积；（4）如果反比例函数的图象过点A，那么它是否一定过点D？请说明理由．解：（1）∵A、C关于原点对称，A（1，3），∴C（﹣1，﹣3）．（2）∵B、D关于原点对称，B（﹣3，﹣1），∴D（3，1），设直线CD的解析式为y＝kx+b，则有，解得，∴直线CD的解析式为y＝x﹣2，∵x＝1时，y＝﹣1，﹣12＜﹣1，∴点（1，﹣1.2）在直线CD的下方，∴点（1，﹣1.2）在矩形ABCD的外部．（3）∵直线CD的解析式为y＝x﹣2，∴H（0，﹣2），F（2，0），∵E 、F 关于原点对称，∴E （﹣2，0），连接OC ，∴S 四边形ECHO ＝S △EOC +S △OHC ＝×2×3+×2×1＝4．（4）一定过点D ．理由：∵过点A （1，3）的反比例函数的解析式为y ＝，∵x ＝3时，y ＝1，∴D （3，1）也在反比例函数的图象上．2．如图，直线y 1═﹣x +1与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ，与反比例函数y 2＝（x ＜0）的图象交于点P ，过点P ，作PB ⊥x 轴于点B ，且AC ＝BC（1）求反比例函数y 2的解析式；（2）反比例函数y 2图象上是否存在点D ，使四边形BCPD 为菱形？如果存在，求出点D 的坐标；如果不存在，说明理由．解：（1）∵一次函数y＝﹣x+1的图象与x轴交于点A，与y轴交于点C，1∴A（4，0），C（0，1），又∵AC＝BC，CO⊥AB，∴O是AB的中点，即OA＝OB＝4，且BP＝2OC＝2，∴P的坐标是（﹣4，2），将P（﹣4，2）代入y＝，得m＝﹣8，2＝﹣；即反比例函数的解析式为y2（2）假设存在这样的点D，使四边形BCPD为菱形，如图，连接DC，与PB交于点E．∵四边形BCPD是菱形，∴CE＝DE＝4，∴CD＝8，将x＝﹣8代入反比例函数解析式y＝﹣，得y＝1，∴D的坐标是（﹣8，1），即反比例函数的图象上存在点D使四边形BCPD是菱形，此时D的坐标是（﹣8，1）．3．如图，一次函数y 1＝﹣x +b 的图象与反比例函数y 2＝（k ≠0）的图象交于A ，B 两点，与x 轴、y 轴分别交于C ，D 两点．已知：点B 的坐标为（，﹣2）．（1）求该反比例函数的解析式和点D 的坐标；（2）点M 在CA 延长线上，且AM ＝AC ，连接OM ，OB ，求△MOB 的面积．解：（1）∵反比例函数y 2＝（k ≠0）的图象经过点B （，﹣2）．∴k ＝﹣2×＝﹣3，∴反比例函数为y 2＝﹣；∵一次函数y 1＝﹣x +b 的图象经过点B （，﹣2），∴﹣2＝﹣×+b ，解得b ＝﹣1，∴y 1＝﹣x ﹣1，当x ＝0时，y ＝﹣1，∴D （0，﹣1）；（2）连接OM ，OB ， 解方程组，可得，，∴A （﹣3，1），B （，﹣2），∵直线AB ：y 1＝﹣x ﹣1，当y ＝0时，x ＝﹣，∴C（﹣，0），∴S△COD ＝S△BOD，∵MA＝AC，∴S△MAO ＝S△ACO，∴S△MOB ＝2S△AOD＝2××|y D|×|x A|＝2××1×3＝3．4．已知：如图，正比例函数y＝ax的图象与反比例函数y＝的图象交于点A（3，2）．（1）求正比例函数和反比例函数的表达式；（2）M（m，n）是反比例函数图象上的一动点，其中0＜m＜3过点M作直线MN∥x轴，交y轴于点B，过点A作直线AC∥y轴交x轴于点C，交直线MB于点D．当四边形OADM 的面积为6时，请判断线段BM与DM的大小关系，并说明理由．解：（1）∵正比例函数y＝ax的图象与反比例函数y＝的图象交于点A（3，2）．∴2＝3a，2＝∴a＝，k＝6∴正比例函数表达式：y ＝x ，反比例函数的表达式：y ＝（2）BM ＝MD∵直线MN ∥x 轴，直线AC ∥y 轴∴四边形BDCO 是平行四边形且∠BOC ＝90°∴▱BDCO 为矩形∴BD ＝OC ＝3∵M （m ，n ）是反比例函数图象上的一动点∴mn ＝6即S △BMO ＝3∵S △AOC ＝OC ×AC ＝3，且S OADM ＝6∴S BDCO ＝S △AOC +S △BMO +S OADM ＝12且S BDCO ＝OC ×BO∴12＝3×OB∴OB ＝4∴n ＝4即m ＝∴BM ＝且BD ＝3∴DM ＝∴BM ＝DM5．如图，已知，点O 为坐标原点，点C 在x 轴的正半轴上．在▱AOCB 中，边AO ＝2，OC ＝4，∠AOC ＝60°，∠AOC 的角平分线交AB 于点D ．点P 从点O 出发，以每秒个单位长度的速度沿射线OD 方向移动：同时点Q 从点O 出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线OC 方向移动，连结QP ，BQ ，BP ，设移动时间t 秒．（1）求B ，D 两点的坐标；（2）若反比例函数y ＝（k ≠0）的图象的一个分支过点P ，且经过BQ 的中点，求k 的值；（3）当t 为何值时，△PQB 是直角三角形．解：（1）如图1中，作AH⊥OC于H．在Rt△AOH中，∵OA＝2，∠AOH＝60°，∴OH＝OA＝1，AH＝，∴A（1，），∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝OC＝4，AB∥OC，∴∠ADO＝∠DOC，∵∠AOD＝∠DOC，∴∠AOD＝∠ADO，∴AO＝AD＝2，∴D（3，），B（5，）．（2）如图2中，设BQ的中点为T，作BM⊥x轴于M，TN⊥x轴于N．由题意P（t，t），BM＝，∵QT＝TB，TN∥BM，∴QN＝NM，∴TM＝BM＝，∵P、T在y＝上，根据横坐标与纵坐标的乘积相等可得T（t2，），∴（2t+5）＝t2∴3t2﹣2t﹣5＝0，∴t＝或﹣1（舍弃），∴T（，），∴k＝．（3）由题意P（t，t），Q（2t，0），B（5，），∴PB2＝（t﹣5）2+（t﹣）2，BQ2＝（5﹣2t）2+3，PQ2＝（t）2+（t）2，①当PB为斜边时，（t﹣5）2+（t﹣）2＝（5﹣2t）2+3+（t）2+（t）2，解得t＝1或0（舍弃）．②当PQ为斜边时，（t﹣5）2+（t﹣）2+（5﹣2t）2+3＝（t）2+（t）2，解得t＝4或．③当BQ为斜边时，（t﹣5）2+（t﹣）2+（t）2+（t）2＝（5﹣2t）2+3，解得t＝0（不合题意）综上所述，满足条件的t的值为1或4或．6．如图，在平面直角坐标系中，点B在x轴正半轴上，以OB为对角线作正方形OABC，一次函数y＝kx+b的图象过A、B两点，反比例函数y＝（x＞0）的图象过线段AB的中点M，点M的坐标为（3，1）．（1）求一次函数和反比例函数的表达式；（2）设反比例函数的图象与直线AB的另一个交点为N，点D是线段MN上一点，过点D 作DE⊥x轴于点E，连接OD，若△ODE的面积为S，求S的取值范围．解：（1）设A（a，b）∵OABC是正方形，OB为对角线∴B（2a，0）∵M（3，1）是AB的中点∴b＝2，a＝2∴解得：∴解析式y＝﹣x+4∵反比例函数y＝（x＞0）的图象过M点∴m＝3×1＝3∴反比例函数解析式：y＝（2）∵反比例函数的图象与直线AB的另一个交点为N，∴∴x1＝1，x2＝3（舍去）∴N（1，3）设D（x，﹣x+4）∴S△ODE＝×x×（﹣x+4）＝﹣x2+2x（1≤x≤3）∴≤S△ODE≤27．如图，四边形ABCD是正方形，点A的坐标是（0，1），点B的坐标是（0，﹣2），反比例函数y＝的图象经过点C，一次函数y＝ax+b的图象经过A、C两点，两函数图象的另一个交点E的坐标是（m，3）．（1）分别求出一次函数与反比例函数的解析式．（2）求出m的值，并根据图象回答：当x为何值时，一次函数的值大于反比例函数的值．（3）若点P是反比例函数图象上的一点，△AOP的面积恰好等于正方形ABCD的面积，求点P坐标．解：（1）∵点A的坐标为（0，1），点B的坐标为（0，﹣2），∴AB＝1+2＝3，∵四边形ABCD为正方形，∴BC＝AB＝3，∴C（3，﹣2），把C（3，﹣2）代入y＝，得k＝3×（﹣2）＝﹣6，∴反比例函数解析式为y＝﹣；把C（3，﹣2），A（0，1）代入y＝ax+b，得，解得，∴一次函数解析式为y＝﹣x+1；（2）∵反比例函数y＝﹣的图象过点E（m，3），∴m＝﹣2，∴E点的坐标为（﹣2，3）；由图象可知，当x＜﹣2或0＜x＜3时，一次函数落在反比例函数图象上方，即当x＜﹣2或0＜x＜3时，一次函数的值大于反比例函数的值；（3）设P（t，﹣），∵△AOP的面积恰好等于正方形ABCD的面积，∴×1×|t|＝3×3，解得t＝18或t＝﹣18，∴P点坐标为（18，﹣）或（﹣18，）．8．如图所示，一次函数y＝kx+b交y轴于点D，交x轴于点E，且与反比例函数y＝的图象交于A（2，3）．B（﹣3，n）两点．（1）分别求出一次函数与反比例函数的表达式．（2）过点B作BC⊥x轴于点C，过点A作AF⊥y轴于点F，求四边形AFCB的面积S；（3）当kx+b＜时，x的取值范围是x＜﹣3或0＜x＜2．．解：（1）∵点A（2，3）在y＝上，∴m＝6，∴y＝，∵B（﹣3，n）在y＝上，∴n＝﹣2，∴B（﹣3，﹣2），把A、B两点坐标代入y＝kx+b，则有，解得，∴y＝x+1．（2）连接CD．由题意F（0，3），D（0，1），C（﹣3，0），∴S△AFCB ＝S△ADF+S△CDF+S△BCD＝×3×2+×2×3+×2×3＝8．（3）观察图象可知，当kx+b＜时，x的取值范围是x＜﹣3或0＜x＜2．故答案为x＜﹣3或0＜x＜2．9．如图：直线y＝x与反比例函数y＝（k＞0）的图象在第一象限内交于点A（2，m）．（1）求m、k的值；（2）点B在y轴负半轴上，若△AOB的面积为2，求AB所在直线的函数表达式；（3）将△AOB沿直线AB向上平移，平移后A、O、B的对应点分别为A'、O'、B'，当点O'恰好落在反比例函数y＝的图象上时，求点A'的坐标．解：（1）∵直线y＝x经过A（2，m），∴m＝2，∴A（2，2），∵A在y＝的图象上，∴k＝4．（2）设B（0，n），由题意：×（﹣n）×2＝2，∴n＝﹣2，∴B（0，﹣2），设直线AB的解析式为y＝k′x+b，则有，∴，∴直线AB的解析式为y＝2x﹣2．（3）当点O'恰好落在反比例函数y＝的图象上时，点A'的坐标（2+，2+2）．10．如图1，在平面直角坐标系中，A点的坐标为（m，3），AB⊥x轴于点B，tan∠OAB＝，反比例函数y1＝的图象的一支经过AO的中点C，且与AB交于点D．（1）求反比例函数解析式；（2）设直线OA的解析式为y2＝nx，请直接写出y1＜y2时，自变量x的取值范围﹣2＜x＜0或x＞2 ．（3）如图2，若函数y＝3x与y1＝的图象的另一支交于点M，求△OMB与四边形OCDB的面积的比值．解：（1）在Rt △AOB 中，∵AB ＝3，∠ABO ＝90°，∴tan ∠OAB ＝＝，∴OB ＝4，∴点A （4，3），∵点C 是OA 中点，∴点C 坐标（2，），∵反比例函数y 1＝的图象的一支经过点C ，∴k ＝3，∴反比例函数解析式为y 1＝．（2）如图1，由反比例函数图象的对称性质得到点C 关于原点对称的C ′的坐标为（﹣2，﹣），结合图象得到：当y 1＜y 2时，自变量x 的取值范围是﹣2＜x ＜0或x ＞2．故答案是：﹣2＜x ＜0或x ＞2．（3）由解得或， ∵点M 在第三象限，∴点M 坐标（﹣1，﹣3），∵点D 坐标（4，），∴S△OBM ＝×4×3＝6，S四边形OBDC＝S△AOB﹣S△ACD＝×4×3﹣×2×＝，∴三角形OMB与四边形OCDB的面积的比＝6：＝8：5．11．如图，直线y＝ax+2与x轴交于点A（1，0），与y轴交于点B（0，b）．将线段AB 先向右平移1个单位长度、再向上平移t（t＞0）个单位长度，得到对应线段CD，反比例函数y＝（x＞0）的图象恰好经过C、D两点，连接AC、BD．（1）求a和b的值；（2）求反比例函数的表达式及四边形ABDC的面积；（3）点N在x轴正半轴上，点M是反比例函数y＝（x＞0）的图象上的一个点，若△CMN是以CM为直角边的等腰直角三角形时，求所有满足条件的点M的坐标．解：（1）将点A（1，0）代入y＝ax+2，得0＝a+2．∴a＝﹣2．∴直线的解析式为y＝﹣2x+2．将x＝0代入上式，得y＝2．∴b＝2．（2）由（1）知，b＝2，∴B（0，2），由平移可得：点C（2，t）、D（1，2+t）．将点C（2，t）、D（1，2+t）分别代入y＝，得∴．∴反比例函数的解析式为y＝，点C（2，2）、点D（1，4）．如图1，连接BC、AD．∵B（0，2）、C（2，2），∴BC∥x轴，BC＝2．∵A（1，0）、D（1，4），∴AD⊥x轴，AD＝4．∴BC⊥AD．＝×BC×AD＝×2×4＝4．∴S四边形ABDC（3）①当∠NCM＝90°、CM＝CN时，如图2，过点C作直线l∥x轴，交y轴于点G．过点M作MF⊥直线l于点F，交x轴于点H．过点N作NE⊥直线l于点E．∵∠MCN＝90°，∴∠MCF+∠NCE＝90°．∵NE⊥直线l于点E，∴∠ENC+∠NCE＝90°．∴∠MCF＝∠ENC．又∵∠MFC＝∠NEC＝90°，CN＝CM，∴△NEC≌△CFM（AAS）．∴CF＝EN＝2，FM＝CE．∴FG＝CG+CF＝2+2＝4．∴x M＝4．将x＝4代入y＝，得y＝1．∴点M（4，1）；②当∠NMC ＝90°、MC ＝MN 时，如图3，过点C 作直线l ⊥y 轴与点F ，则CF ＝x C ＝2．过点M 作MG ⊥x 轴于点G ，MG 交直线l 与点E ，则MG ⊥直线l 于点E ，EG ＝y C ＝2． ∵∠CMN ＝90°，∴∠CME +∠NMG ＝90°．∵ME ⊥直线l 于点E ，∴∠ECM +∠CME ＝90°．∴∠NMG ＝∠ECM ．又∵∠CEM ＝∠NGM ＝90°，CM ＝MN ，∴△CEM ≌△MGN （AAS ）．∴CE ＝MG ，EM ＝NG ．设CE ＝MG ＝n ，则y M ＝n ，x M ＝CF +CE ＝2+n ．∴点M （2+n ，n ）．将点M （2+n ，n ）代入y ＝，得n ＝． 解得n 1＝﹣1，n 2＝﹣﹣1（因为点M 在第一象限，所以n 大于0，所以舍去）． ∴x M ＝2+n ＝+1． ∴点M （+1，﹣1）．综合①②可知：点M 的坐标为（4，1）或（+1，﹣1）．12．如图，在平面直角坐标系中，已知A（3，﹣3）、B（6，0），且OA＝OB．（1）若△OA′B′与△OAB关于原点O成中心对称，则点A、B的对称点A′、B'的坐标分别为A′（﹣3，3），B′（﹣6，0）；（2）若将△OAB沿x轴向左平移m个单位，此时点A恰好落在反比例函数y＝的图象上，求m的值；（3）若△OAB绕点O按逆时针方向旋转α°（0＜α＜90）；①当α＝30时点B恰好落在反比例函数y＝的图象上，求k的值；②问点A、B能否同时落在①中的反比例函数的图象上，若能，直接写出α的值，若不能，请说明理由．解：（1）∵△OA′B′与△OAB关于原点O成中心对称，且A（3，﹣3）、B（6，0），∴A'（﹣3，3），B'（﹣6，0）故答案为（﹣3，3），（﹣6，0）（2）∵将△OAB沿x轴向左平移m个单位，∴点A平移后的坐标为（3﹣m，﹣3）∴﹣3＝m＝5（3）①设点B逆时针旋转30°后对应点为B1．如图：过点B1作B1C⊥OB∵旋转∴OB1＝6，∠COB1＝30°∴B1C＝3，OC＝OB1＝3∴B1（3，3）∴3＝∴k＝9∴解析式为y＝②α＝60°如图2，过点A作AD⊥OB，∵A（3，﹣3）∴OD＝3，DA＝3∵tan∠BOA＝＝∴∠AOB ＝30°设点A 逆时针旋转60°后对应点为A 1．∴∠A 1OB ＝30°，且OA ＝OB ＝6＝OA 1．∴A 1（3，3）设点B 逆时针旋转60°后对应点为B 2．∴∠B 2OB ＝60°，且OB 2＝OB ＝6∴B 2（3，3） 当x ＝3时，y ＝＝3，当x ＝3时，y ＝＝3∴点A 1，点B 2在反比例y ＝的图象上 ∴将△OAB 绕点O 按逆时针方向旋转60°时，点A 、B 能同时落在反比例函数的图象上．13．阅读理解：若点P 是△ABC 内部或边上的点（顶点除外），在△PAB ，△PBC ，△PCA 中，若至少有一个三角形与△ABC 相似，则称点P 是△ABC 的相似特征点．例如：如图1，点P 在△ABC 的内部，∠PBC ＝∠A ，∠PCB ＝∠ABC ，则△BCP ∽△ABC ，故点P 为△ABC 的相似特征点．问题解决：在平面直角坐标系中，点M 是双曲线C ：y ＝（x ＞0）上的任意一点，点N 是x 轴正半轴上的任意一点．（1）如图2，在Rt △ONM 中，∠ONM ＝90°，点N （，0）点P 是△ONM 内一点，且∠PON ＝∠M ，NP ⊥OP ，垂足为P ，试说明点P 是△ONM 的相似特征点，并求出点P 的坐标；（2）如图3，点N 的坐标是（2，0）时，且∠MON ＝30°，连接MN ，求△MON 的相似特征点的坐标；（3）当△MON 无相似持征点时，请直接写出这两点M ，N 的坐标；（4）在△MON 中，点M 的横坐标为m （m ＞0），点N 的模坐标为n ，点P 在线段OM 上，且∠PNO ＝∠M ，试用含m ，n 的式子表示点P 的坐标．解：（1）∵∠PON＝∠M，∠OPN＝∠MNO＝90°，∴△OPN∽△MNO，∴点P是△MON的自相似点；如图2中，过P作PD⊥x轴于D，则tan∠POD＝tan∠OMN＝＝，∴∠POD＝∠OMN＝30°，∴OP＝ON×cos30°＝，∴OD＝OP cos30°＝，PD＝OP•sin30°，∴P（，）；（2）作MH⊥x轴于H，如图3所示：由题意点M的坐标是（3，），点N的坐标是（2，0），∴OM＝＝2，直线OM的解析式为y＝x，ON＝2，∠MOH＝30°，分两种情况：①如图3所示：∵P是△MON的相似点，∴△PON∽△NOM，作PQ⊥x轴于Q，∴PO＝PN，OQ＝ON＝1，∵P的横坐标为1，∴y＝×1＝∴P（1，）；②如图4所示：由勾股定理得：MN＝＝2，∵P是△MON的相似点，∴△PNM∽△NOM，∴＝，即＝，解得：PN＝，即P的纵坐标为，代入y＝x得：＝x，解得：x＝2，∴P（2，）；综上所述：△MON的自相似点的坐标为（1，）或（2，）；（3）存在点M和点N，使△MON无自相似点，M（，3），N（2 ，0）；理由如下：∵M（，3），N（2，0），∴OM＝2＝ON，∠MON＝60°，∴△MON是等边三角形，∵点P在△MON的内部，∴∠PON≠∠OMN，∠PNO≠∠MON，∴存在点M和点N，使△MON无自相似点．（4）如图5中，作PH⊥x轴于H，MF⊥x轴于F．∵M（m，），N（n，0），∴ON＝n，OM＝，∵∠PON＝∠ONP＝∠OMN，∴△ONP∽△OMN，∴ON2＝OP•OM，∴OP＝，∵PH∥MF，∴＝＝，∴PH＝，OH＝，∴P（，）．14．如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O与坐标原点重合，A、C分别在坐标轴上，OA＝2，OC＝4，直线y＝﹣x+3交AB，BC分别于点M，N，反比例函数y＝的图象经过点M，N．（1）求反比例函数的解析式；（2）若点P在y轴上，且△OPM的面积与四边形BMON的面积相等，求点P的坐标解：（1）∵B （4，2），四边形OABC 是矩形， ∴OA ＝BC ＝2，将y ＝2代入y ＝﹣x +3得：x ＝2， ∴M （2，2），把M 的坐标代入y ＝得：k ＝4， ∴反比例函数的解析式是y ＝；（2）把x ＝4代入y ＝得：y ＝1， 即CN ＝1，∵S 四边形BMON ＝S 矩形OABC ﹣S △AOM ﹣S △CON ＝4×2﹣×2×2﹣×4×1＝4， 由题意得：OP ×AM ＝4， ∵AM ＝2， ∴OP ＝4，∴点P 的坐标是（0，4）或（0，﹣4）．15．已知点P 的坐标为（m ，0），点Q 在x 轴上（不与P 重合），以PQ 为边，∠PQM ＝60°作菱形PQMN ，使点M 落在反比例函数y ＝﹣的图象上．（1）如图所示，若点P 的坐标为（1，0），求出图中点M 的坐标；（2）当P （1，0）时，在（1）图中已经画出一个符合条件的菱形PQMN ，请您在原图上画出另一个符合条件的菱形PQ 1M 1N 1，并求点M 1的坐标；（3）随着m 的取值不同，这样的菱形还可以画出三个和四个，当符合上述条件的菱形刚好能画出三个时，请直接写出点M 的坐标．解：（1）如图，∵四边形PQMN 是菱形， ∴PN ∥QM ，MN ∥PQ ， ∴∠OPN ＝∠PQM ＝60°， ∵P （1，0），∴OP ＝1，PN ＝PQ ＝MN ＝2OP ＝2，OM ＝OP ＝∴M （2，﹣）．（2）如下图中，∵四边形PQ 1M 1N 1是菱形， ∴Q 1P ＝Q 1M 1， ∵∠PQ 1M 1＝60°， ∴△PQ 1M 1是等边三角形， ∴∠Q 1PM 1＝60°， ∴直线PM 1的解析式为y ＝﹣x +，由解得或，∴M1（﹣1，2）．（3）如下图，当过点P与x轴的夹角为60°的直线与反比例函数的交点的个数只有3个时，满足条件的菱形只有3个．设直线PM1的解析式为y＝x+b，由，消去y得到：x2+bx+2＝0，由题意：△＝0，∴b＝±2，当b＝﹣2时，可得y＝x﹣2，由：，解得，∴M1（，﹣），由解得或，∴M2（+2，﹣2），M2（﹣2，+2），当b＝2时，同法可得满足条件的点M的坐标为（﹣，）或（﹣﹣2，2﹣）或（﹣+2，﹣2﹣）．16．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y＝（x ＞0，m≠0）的图象交于点C，与x轴、y轴分别交于点D、B，已知OB＝3，点C的横坐标为4，cos∠0BD＝（1）求一次函数及反比例函数的表达式；（2）将一次函数图象向下平移，使其经过原点O，与反比例函数图象在第四象限内的交点为A，连接AC，求四边形OACB的面积．解：（1）∵OB＝3，∴B（0，3），∵cos∠0BD＝，∴∠OBD＝45°，∴△OBD是等腰直角三角形，∴OD＝OD＝3，∴D（3，0），将点D，B代入y＝kx+b得，，解得：，∴一次函数的表达式为：y＝﹣x+3；∴C（4，﹣1），∵点C在反比例函数y＝（x＞0，m≠0）的图象上，∴m＝﹣1×4＝﹣4，∴反比例函数的解析式为：y＝﹣；（2）由平移可得直线OA的解析式为：y＝﹣x，∴，解得：，，∴A（2，﹣2），过A 作AE ⊥x 轴交BC 于E ，则AE ＝OB ＝3，∴S 四边形OACB ＝S 四边形OAEB +S △ACE ＝OB •x A +AE •（x C ﹣x A ）＝3×2+（4﹣2）＝9．17．如图，在平面直角坐标系xOy 内，函数y ＝x 的图象与反比例函数y ＝（k ≠0）图象有公共点A ，点A 的坐标为（4，a ），AB ⊥x 轴，垂足为点B ． （1）求反比例函数的解析式；（2）点C 是第一象限内直线OA 上一点，过点C 作直线CD ∥AB ，与反比例函数y ＝（k ≠0）的图象交于点D ，且点C 在点D 的上方，CD ＝AB ，求点D 的坐标．解：（1）∵点A 在函数y ＝的图象上，点A 的坐标为（4，a ），∴a ＝2，∴点A 坐标为（4，2）．∵点A 在反比例函数y ＝（k ≠0）的图象上， ∴2＝，解得k ＝8．∴反比例函数的解析式为y ＝． （2）∵AB ⊥x 轴，点A 坐标为（4，2）， ∴AB ＝2．∵点C 为第一象限内直线y ＝x 上一点，∴设点C坐标为（m，m）（m＞0）．又∵CD∥AB，且点D在反比例函数y＝的图象上，∴设点D坐标为（m，）．∵点C在点D的上方，可得CD＝m﹣．∵CD＝AB，∴m﹣＝×2，∴解得m＝8或m＝﹣2．∵m＞0，∴m＝8．∴点D的坐标为（8，1）．18．如图，在平面直角坐标系中，OA⊥OB，AB⊥x轴于点C，点A（﹣，1）在反比例函数y＝的图象上．（1）求反比例函数y＝的表达式；（2）在x轴的正半轴上存在一点P，使得S△AOP ＝S△AOB，求点P的坐标；（3）若将△AOB绕点B按顺时针方向旋转60°得到△BDE，直接写出点E的坐标，并判断点E是否在该反比例函数的图象上，并说明理由．解：（1）把A（﹣，1）代入反比例函数y＝，则k＝﹣，∴反比例函数y＝﹣；（2）设P（m，0），m＞0，从点A（﹣，1）的坐标，tan∠AOC＝，∴∠AOC＝30°，∵OA⊥OB，AB⊥x轴，∴∠ABO＝30°，∴OB＝2OC＝2，S△AOP＝•OP•AC＝m，S△AOB＝AO•BO＝×2＝2，S△AOP ＝S△AOB，∴m＝4，∴点P的坐标为（4，0）；（3）△AOB绕点B按顺时针方向旋转60°得到△BDE，∴∠OBE＝60°﹣30°＝30°，如下图，连接OE，∵AB＝BE，BO＝BO，∠BOA＝∠BOE＝30°，∴△BOA≌△BOE，∴AO＝EO，而OA⊥OB，∴A、O、E在一条直线上，∴点E是点A关于原点的对称点，∴E（，﹣1），也在反比例函数上．19．如图，直线y＝k1x（x≥0）与双曲线y＝（x＞0）相交于点P（1，3）．已知点A （3，0），B（0，2），连接AB，将Rt△AOB沿OP方向平移，使点O移动到点P，得到△A'PB'．过点A'作A'C∥y轴交双曲线于点C．（1）求k1与k2的值；（2）求直线PC的解析式；（3）直接写出线段AB扫过的面积．解：（1）将点P（1，3）代入直线y＝k1x得，k1＝3，将P（1，3）代入双曲线y＝得，k2＝1×3＝3，（2）∵A（3，0），B（0，2），∴AO＝3，BO＝2，由平移知，A'（4，3），B'（1，5），∵A'C∥y轴交双曲线于点C，∴C点的横坐标为1+3＝4，当x＝4时，y＝，∴C（4，），设直线PC的解析式为y＝kx+b，把点P（1，3），C（4，）代入得，，∴，（3）如图，延长A'C交x轴于D，过点B'作B'E⊥y轴于E，∴A'D＝3，B'E＝1，由平移得，△AOB≌△A'PB'，∴线段AB扫过的面积为S▱POBB'+S▱AOPA'＝BO×B'E+AO×A'D＝2×1+3×3＝11．20．如图，一次函数y＝kx﹣2（k≠0）的图象与y轴交于点A，与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点B（3，b）．点C是线段AB上的动点（与点A、B不重合），过点C且平行于y轴的直线CD交这个反比例函数的图象于点D，O为坐标原点．（1）求△OCD面积为时，点D的坐标；（2）求△OCD面积的最大值；（3）当△OCD面积最大时，以点O为圆心，r为半径画⊙O，是否存在r的值，使得A、B、C、D四个点中恰好有2个在圆内？如果存在，求出r的取值范围；如果不存在，请说明理由．解：（1）∵点B（3，b）在反比例函数y＝的图象上，∴3b＝3，∴b＝1，∴B（3，1），∵点B（3，1）在一次函数y＝kx﹣2（k≠0）的图象上，∴3k﹣2＝1，∴k＝1，∴直线AB的解析式为y＝x﹣2，设点C的坐标为（m，m﹣2）（0＜m＜3），∵C且平行于y轴的直线CD交这个反比例函数的图象于点D，∴D（m，），∴CD＝﹣（m﹣2）＝+2﹣m，＝CD•m＝（+2﹣m）×m＝﹣（m2﹣2m﹣3），∴S△OCD∵△OCD面积为，∴﹣（m2﹣2m﹣3）＝，∴m＝0（舍）或m＝2，∴D（2，），（2）由（1）知，S＝﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣（m﹣1）2+2，△OCD∵0＜m＜3，∴m＝1时，△OCD面积的最大值为2．（3）存在，理由：∵直线AB的解析式为y＝x﹣2，∴A（0，﹣2），∴OA＝2，由（1）知，B（3，1），∴OB＝＝由（2）知，m＝1，∴C（1，﹣1），D（1，3），∴OC＝＝，OD＝＝，∴OC＜OA＜OB＝OD，∵以点O为圆心，r为半径画⊙O，使得A、B、C、D四个点中恰好有2个在圆内．∴2＜r≤．。