z
中性轴
a5
纯弯曲正应力公式推导
三、静力学关系
FN=∫ AσdA
=
E∫ ρA
ydA
=0
得
M=∫ AσdA·y
M
z
dA y
=
E∫ ρ
A
y2dA
z σdA
y
E =ρ
Iz
∫ A ydA =0
横截面对中性轴 的面积矩为零， 中性轴过形心。
正应力 公式：
s=
My Iz
1 ρ
=
M E Iz
中性层曲率公式
EIz —— 梁的抗弯刚度
这时
s = M(x)y
Iz
= 1
M(x) =
ρ(x) E Iz
smax
Mmax Wz
公式适用条件：
1. 在线弹性范围; 2. 材料（E）拉压同性; 3. 纯弯曲与横力弯曲； 4. 平面弯曲。
应用于强度校核！
a8
纯弯曲正应力公式推导
一、变形几何关系 试件变形后 横线：保持为一条直线,与变形后的纵线正交，相对原来 位置转过一角度。 纵线：弯成弧线，上部纵线缩短，下部纵线伸长。
x
a1
纯弯曲正应力公式推导
假设： 平面假设：变形后的横截面仍为平面，并仍与弯曲后的纵线正交。 单向受力假设：各纵向纤维间无挤压，每根纵向纤维处于单向 受力状态。 中性层：梁中间有一层既不伸长，也不缩短。 中性轴：中性层与横截面的交线。 中性层
a2
纯弯曲正应力公式推导
横截面绕中性轴转动
找与横截面上的正应力有关的纵向线应变的变
形规律：
dq
取微段梁dx
1
2
1
2
dx
O1
y
O2
O1'
O2'
a
b
1
2
a'
b'
dx
1
2
O1O2变形前后长度不变，ρ为中性层的曲率半径
a3
纯弯曲正应力公式推导
xy平面变形特点
变形前 dx= ab=O1O2
变形后 O'1O'2=ρdθ
=O1O2
a'1b'2=(ρ+y)dθ
ab的纵向线应变
1
2
ε=
a'b'-ab ab
=
(ρ+y)dθ dx
-dx
O1
a
O2
b
(ρ+y)dθ - ρd θ = ρd θ
1
2
dx
y
=ρ
y
dq
1
2
O1'Leabharlann O2'a'
b'
1
2
dx
a4
纯弯曲正应力公式推导
二、物理关系 胡克定律
y
σ=Eε =E ρ
由此可见，横截面上的正应力分布为
a6
纯弯曲正应力公式推导
正应力性质（正负号））确定：
σ的符号可由M与y的符号确定，也 可由弯曲变形情况确定。
s = My
Iz
最大正应力： smax =
令
Wz =
Iz ymax
得 M
smax = Wz
Mymax Iz
抗弯截面系数
a7
纯弯曲正应力公式推导
对于剪切弯曲梁，这时两个基本假设并不成立。但实验和理 论分析表明，当l/h（跨高比）较大（>5）时，采用该正应 力公式计算的误差很小，满足工程的精度要求（依然可按照 纯弯曲求解）。