x
R
;
7、一元二次不等式： （1）一般形式：ax2+bx+c>0或 ax2+bx+c<0(a>0) （2）解法：1）代数法；
2）图象法：
8、简单的高次不等式： （1）解题思想：降次 （2）方法：1）穿根法；
2）列表法； 3）换元法； 4）因式分解法；
9、绝对值不等式： （1）解题思想：去绝对值符号 （2）方法：1）零点分区间法；
则 x2 y2 x y
的最小值是 此时x= y= 。
3、已知函数x,y满足x+y=4。则使不等式
1 x
4 y
m恒成立的实数m的最大值是
。
4、f(x)=
ax 1 x2
在区间（-2,+∞）上是增函
数。则a的取值范围是 。
5、若函数f(x)=-x2+2ax+1-a在区间[0,1] 上有最大值2，求实数a的值。
[典型例题解析]
例1，已知c>a>b>0，求证：caa
b cb
分析：此题要根据不等式的构成特征， 从已知条件入手，以不等式的性质为 依据，应用构造法完成证明。
a>b>0 -a<-b<0
0<c-a<c-b
1 ca
1 cb
0
a b 0
a
b
ca cb
例2，求证：lg9·lg11<1
分析：由构成特点：乘积、小于，联 想到基本不等式，并用到放缩法。
a>b,c<0 ac<bc;
⑥乘法法则：a>b>0,c>d>0 ac>bd;
⑦倒数法则：a>b,ab>01a
1 b
;
⑧乘方法则：a>b>0 an>bn;
⑨开方法则：a>b>0n a n b; ⑩绝对值不等式的性质：
(1)|x|<a-a<x<a. (a>0); (2)|x|>ax>a或x<-a. (a>0) (3)|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|
4、两个正数的算数平均数不小于它 们的几何平均数定理：
即：若a,bxxR,x0，则
ab 2
ab
5、不等式证明的主要依据：
①实数的运算性质。
②不等式的性质。
③基本不等式。
6、一元一次不等式：
（1）一般形式：ax>b
（2）解法：
a a
0 0
x x
b a
;
b
0
给出m的范围，求x的范围，可反客为主。
把其看成关于m的不等式。通过构造法构
造一个关于m的一次函数。然后应用数形
结合解之为好。即可设f(m)=(x2-1)m-(2x-1)
f(2)<0 f(-2)<0
1 27x123
[巩固训练]
1、解关于x的不等式 mx2-(m2+1)x+m≤0， （m∈R）
2、x,y∈R,x>y且xy=1
1 2
5、a=-1或a=2
[学习指导] 1、不等式的基本概念：（理解其概念， 要有放缩的思想，用好放缩法） 2、实数的运算性质：a-b>0 a>b
a-b<0 a<b
a-b=0 a=b
3、不等式的基本性质： ①对称性：a>b b<a; ②传递性：a>b,b>c a>c; ③可加性：a>ba+c>b+c; ④加法法则：a>b,c>d a+c>b+d; ⑤可乘性：a>b,c>0 ac>bc;
2）绝对值的性质； 3）平方；
10、分式不等式：
(1)解题思想：去分母
(2)题型与解法：1)
f (x) g (x)
0
f (x) g (x) 0;
2)
f (x) g(x)
0
f (x) g (x) 0;
3)
f (x) g(x)
a
0 ; f ( x ) ag ( x ) g (x)
g ( x )[ f ( x ) ag ( x )] 0;
[参考答案]
1、当m<-1时，x≥
1 m
或x≤m
当m=-1时，x∈R
当-1<m<0时，x≥m或x≤
1 m
当m=0时，x≥0
当0<m<1时，m≤x≤
1 m
当m=1时，x=1
当m>1时，
1 m
≤x≤m
2、2 2 . 此时x= 6 2 ,y= 6 2
2
2
或x=
6 2
2
,y=
6 2
2
3、 9 4
4、a>
111 abc
法2
1 a
1 b
1 c
bccaab abc
bccaab
1 2
[(bcca)
(caab)
(abbc)]
1 2
(2
abc2 2
a2bc2
ab2c)
a b c
法3
1 a
b1
1c
12(1a
1a)12(b1
b1)12(1c
1c)
12(b11c)12(1c 1a)12(1ab1)
b1c c1a a1b a b c
4 )换元法 ;
11、不等式的应用： 常见的题型：①研究函数的性质（包 括：定义域、值域、单调性等） ②研究方程的实根分布 ③求参数的取值范围 ④利用均值不等式求最值 ⑤解决与不等式有关的实际应用问题
[高考试题回顾]
1 、解不等式：
lgx(1x)0 答案：{x| x125或0x125}
2、设a≠b解关于x的不等式 a2x+b2(1-x)≥[ax+b(1-x)]2
l9 g l1 g 1 l9 g 2 l1 g 1l2 9 g 9l1 2 g0 1 0
∴lg9·lg11<1
例3，设a,b,c为不相等的正数，且abc=1
求证：1 ab 11 cabc
法1： abcb 1 c c 1a a 1b
b 1 1 c 2
1 c 1 a 2
1 a b 1 2
例4，若不等式ax2-2x+b≤0的解集是
{x|2 3x3}求a、b的值。
分析：方法1：
3 2
, 3是方程ax2-
2x+b=0的二根。
f(-
3 2
)=0
a3 4,b6
f(3)=0
方法2：用韦达定理
例5，不等式2x-1>m(x2-1)对满足-2≤m≤2 的所有m都成立，则x的取值范围是 ：
分析：因为不等式中有两个字母x、m，而
答案： {x|0≤x≤1}
3、解关于x的不等式
xa xa2
0,aR
分析：原不等式转化为：(x-a)(x-a2)<0
当a>a2即0<a<1时，a2<x<a
当a<a2即a>1或a<0时，a<x<a2
当a=a2即a=0或a=1时，x∈φ
4、函数y=ax在[0，1]上的最大值与最 小值的和为3，则a= 2
