- - 优质资料绝密★启用前乐学教育菱形证明专题训练1. 已知:如图,在四边形ABCD 中,AB ∥CD ,E ,F 为对角线AC 上两点,且AE =CF ,DF ∥BE ,AC 平分∠BAD.求证:四边形ABCD 为菱形.【答案】∵AB ∥CD ,∴∠BAE =∠DCF. ∵DF ∥BE , ∴∠BEF =∠DFE , ∴∠AEB =∠CFD. 又∵AE =CF , ∴△AEB ≌∠CFD , ∴AB =CD. ∵AB ∥CD ,∴四边形ABCD 是平行四边形. ∵AC 平分∠BAD , ∴∠BAE =∠DAF. 又∠BAE =∠DCF , ∴∠DAF =∠DCF , ∴AD =CD ,∴四边形ABCD 是菱形.2. 如图，矩形ABCD 中，点O 为AC 的中点，过点O 的直线分别与AB ，CD 交于点E ，F ，连接BF 交AC 于点M ，连接DE ，BO .若∠COB =60°，FO =FC .求证:(1)四边形EBFD 是菱形;【答案】连接OD .∵点O 为矩形ABCD 的对角线AC 的中点，∴B ,D , O 三点共线且BD =DO =CO =AO .在矩形ABCD 中，AB ∥DC ，AB =DC ，∴∠FCO =∠EAO . 在△CFO 和△AEO 中，第2页共20页※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※※※※※※※※※※※※※※※※.............o.............o.............外.............o.............o.............装.............o.............o.............订.............o.............o.............线.............o.............o..............o..............o..............o.......................∴△CFO≌△AEO，∴FO=EO.又∵BO=DO，∴四边形BEFD是平行四边形.∵BO=CO，∠COB=60°，∴△COB是等边三角形.∴∠OCB=60°.∴∠FCO=∠DCB-∠OCB=30°.∵FO=FC，∴∠FOC=∠FCO=30°.∴∠FOB=∠FOC+∠COB=90°.∴EF⊥BD.∴平行四边形EBFD是菱形.(2)MB∶OE=3∶2.【答案】∵BO=BC，∴点B在线段OC的垂直平分线上.∵FO=FC，∴点F在线段OC的垂直平分线上.∴BF是线段OC的垂直平分线.∴∠FMO=∠OMB=90°.∴∠OBM=30°.∴OF=BF.∵∠FOC=30°，∴FM=OF.∴BM=BF-MF=2OF-OF=OF.即FO=EO，∴BM∶OE=3∶2.3. 如图,在△ABC中,∠ABC=90°,BD为AC边上的中线,过点C作CE⊥BD于点E,过点A作BD的平行线,交CE的延长线于点F,在AF的延长线上截取FG=BD,连接BG,DF.求证:四边形BGFD是菱形.【答案】∵FG∥BD,BD=FG,∴四边形BGFD是平行四边形.∵CF⊥BD,AG∥BD,∴CF⊥AG.又∵∠ABC=90°,点D是AC的中点,∴BD=DF=AC,∴平行四边形BGFD是菱形.- - 优质资料4. 如图,点O 是菱形ABCD 对角线的交点,DE ∥AC ,CE ∥BD ,连接OE .求证:OE =BC .【答案】∵DE ∥AC ,CE ∥BD ,∴四边形OCED 是平行四边形. ∵四边形ABCD 是菱形, ∴AC ⊥BD ,OB =OD , ∴∠BOC =∠COD =90°, ∴四边形OCED 是矩形,∴∠ODE =90°,∵OB =OD ,∠BOC =∠ODE =90°, ∴BC =,OE =,∵DE =OC .∴OE =BC .5. [2015·XX 中考,25] (9分)如图,四边形ABCD 中,AB ∥CD ,AB ≠CD,BD=AC.(1)求证:AD=BC ;【答案】作BM ∥AC ,BM 交DC 的延长线于点M ,则∠ACD=∠BMD.1分∵AB ∥CD ,BM ∥AC ,∴四边形ABMC 为平行四边形.2分 ∴AC=BM.∵BD=AC ,∴BM=BD. ∴∠BDM=∠BMD. ∴∠BDC=∠ACD. 在△BDC 和△ACD 中,∴△BDC ≌△ACD.4分 ∴BC=AD.5分第4页共20页※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※※※※※※※※※※※※※※※※.............o.............o.............外.............o.............o.............装.............o.............o.............订.............o.............o.............线.............o.............o..............o..............o..............o.......................(2)若E,F,G,H分别是AB,CD,AC,BD的中点.求证:线段EF与线段GH互相垂直平分.【答案】连接EG,GF,FH,HE.6分∵E,H为AB,BD的中点,∴EH=AD.同理FG=AD,EG=BC,FH=BC.∵BC=AD,∴EG=FG=FH=EH.8分∴四边形EGFH为菱形,∴EF与GH互相垂直平分.9分6. [2015·XX中考,18](7分)如图,CE是△ABC外角∠ACD的平分线,AF∥CD交CE于点F,FG∥AC 交CD于点G,求证:四边形ACGF是菱形.【答案】因为AF∥CD,FG∥AC,所以四边形ACGF是平行四边形①,又因为∠ACE=∠ECG,∠ECG=∠AFC,所以∠ACE=∠AFC,所以AC=AF②,由①②得四边形ACGF是菱形.7. [2010·XX中考，23]已知梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD(如图所示)，∠BAD的平分线AE 交BC于点E，连结DE.(1)在图中，用尺规作∠BAD的平分线AE(保留作图痕迹，不写作法)，并证明四边形ABED是菱形；- - 优质资料【答案】∵∠BAE ＝∠DAE ， ∠DAE ＝∠BEA ，∴∠BAE ＝∠BEA ，AB ＝BE ＝AD ，AD ∥BE ，∴四边形ABED 的平行四边形，又AB ＝AD ， ∴四边形ABED 为菱形(2)∠ABC ＝60°，EC ＝2BE ，求证：ED ⊥DC . 【答案】过D 作DF ∥AE ，则DF ＝CF ＝1，∴∠C ＝30°，而∠DEC ＝60°， ∴∠EDC ＝90°，∴ED ⊥DC .8. [2010·XX 中考，19]如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于O ，点E ，F 分别为边AB ，AD 的中点，连接EF ，OE，OF ，求证：四边形AEOF 是菱形.【答案】∵点E ，F 分别为AB ，AD 的中点∴AE ＝AB ，AF ＝AD (2分)第6页共20页※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※※※※※※※※※※※※※※※※.............o.............o.............外.............o.............o.............装.............o.............o.............订.............o.............o.............线.............o.............o..............o..............o..............o.......................又∵四边形ABCD是菱形∴AB＝AD∴AE＝AF(4分)又∵菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O∴O为BD的中点∴OE，OF是△ABD的中位线(6分)∴OE∥AD，OF∥AB∴四边形AEOF是平行四边形(8分)∵AE＝AF∴四边形AEOF是菱形(10分)9. [2010·XX中考，20]如图，AD∥FE，点B,C在AD上，∠1＝∠2，BF＝BC.(1)求证：四边形BCEF是菱形；【答案】∵AD∥FE，∴∠FEB＝∠2.∵∠1＝∠2，∴∠FEB＝∠1.∴BF＝EF∵BF＝BC，∴BC＝EF.∴四边形BCEF是平行四边形∵BF＝BC，∴四边形BCEF是菱形(5分)(2)若AB＝BC＝CD，求证：△ACF≌△BDE.【答案】∵EF＝BC，AB＝BC＝CD，AD∥FE，∴四边形ABEF、四边形CDEF均为平行四边形，∴AF＝BE，FC＝ED.(8分)又∵AC＝2BC＝BD，(9分)∴△ACF≌△BDE.(10分)10. [2013·XX中考，24]如图，在▱ABCD中，M，N分别是AD，BC的中点，∠AND＝90°，连接CM交DN于点O.(1)求证：△ABN≌△CDM；【答案】∵∠ABN＝∠CDM，AB＝CD，BN＝BC＝AD＝DM，∴△ABN≌△CDM(SAS).(2)过点C作CE⊥MN于点E，交DN于点P，若PE＝1，∠1＝∠2，求AN的长.【答案】∵M，O分别为AD，ND的中点，∴AN∥MO且AN＝2MO，∴∠MOD＝∠AND＝90°，即平行四边形CDMN是菱形，在Rt△MOD与Rt△NEC中，∵∠1＝∠2，MD＝NC，∴Rt△MOD≌Rt△NEC，∴MO＝NE.根据菱形的性质可知，∠MND＝∠D，∠1＝∠D，所以∠MND＝∠D＝∠2＝30°，所以在Rt △ENP中NE＝PE÷tan30°＝，即AN＝2.- - 优质资料第8页共20页※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※※※※※※※※※※※※※※※※.............o.............o.............外.............o.............o.............装.............o.............o.............订.............o.............o.............线.............o.............o..............o..............o..............o.......................11. 如图,在△ABC中,∠A=90°,AH⊥BC于点H,∠B的平分线交AC于点D,交AH于点E,DF⊥BC 于点F,求证:四边形AEFD是菱形.【答案】∵∠ABD=∠FBD,BD=BD,∠BAD=∠DFB=90°,∴△ABD≌△FBD,∴AD=DF,AB=FB.又∠ABE=∠FBE,BE=BE,∴△ABE≌△FBE.∴∠BAE=∠BFE.又∠BAE=90°-∠ABC=∠C,∴∠BFE=∠C,∴EF∥AD.∵DF⊥BC,AH⊥BC,∴AE∥DF.∴四边形AEFD是平行四边形.又AD=DF,∴四边形AEFD是菱形.12. [2012·XX中考,25]如图,已知矩形纸片ABCD,AD＝2,AB＝4,将纸片折叠,使顶点A与边CD上的点E重合,折痕FG分别与AB,CD交于点G,F,AE与FG交于点O.图1图2(1)如图1,求证：A,G,E,F四点围成的四边形是菱形；【答案】证法一：证明：在矩形ABCD中,CD∥AB∴∠1＝∠3(1分)由折叠可知：AG＝EG,∠1＝∠2∴∠2＝∠3∴EF＝EG(2分)∴EF＝AG∴四边形AGEF是菱形(3分)- - 优质资料证法二：证明：连接AF ,由折叠可知OA ＝OE ,AG ＝EG (1分) 在矩形ABCD 中,AB ∥CD ∴∠AEF ＝∠EAG ∵∠AOG ＝∠EOF∴△AOG ≌△EOF (ASA )(2分) ∴AG ＝EF∴四边形AGEF 是菱形(3分)(2)如图2,当△AED 的外接圆与BC 相切于点N 时,求证,点N 是线段BC 的中点； 【答案】证明：连接ON ,O 是Rt △ADE 外接圆圆心.∵⊙O 与BC 相切于点N ∴ON ⊥BC (4分)在矩形ABCD 中,DC ⊥BC ,AB ⊥BC ∴CD ∥ON ∥AB ∴＝(5分)∵OA ＝OE ∴＝NB 即N 为BC 的中点(6分)(3)如图2,在第2问的条件下,求折痕FG 的长. 【答案】解法一：过点O 作OM ⊥AB 于点M ,则四边形OMBN 是矩形设⊙O 半径为x ,则OA ＝OE ＝ON ＝x (7分) ∵AB ＝4,AD ＝2∴AM ＝4－x 由第2问得,NB ＝OM ＝1第10页共20页※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※※※※※※※※※※※※※※※※.............o.............o.............外.............o.............o.............装.............o.............o.............订.............o.............o.............线.............o.............o..............o..............o..............o.......................在Rt△AOM中,OA2＝AM2＋OM2∴x2＝(4－x)2＋12∴x＝(8分)AM＝4－＝∵∠FEO＝∠OAM又∵∠FOE＝∠OMA＝90°∴Rt△EFO∽Rt△AOM∴＝∴＝(9分)∴OF＝∴FG＝2OF＝(10分)解法二：延长NO交AD于点M∴四边形ABNM是矩形∴AM＝BN＝AD＝1∵O为Rt△ADE外接圆圆心∴OA＝OE＝ON设ON为x,则OM＝4－x(7分)在Rt△AMO中,AM2＋OM2＝OA2即12＋(4－x)2＝x2x＝(8分)∴OM＝4－＝∵FG⊥AE,MN∥DC∴∠FEO＝∠MOA∠AMO＝∠EOF＝90°∴△EOF∽△OMA∴＝∴＝(9分)∴OF＝FG＝2OF＝(10分)13. [2013·XX中考,20](本小题满分8分)如图,四边形ABCD中,AD∥BC,BA⊥AD,BC=DC,BE⊥CD于点E.(1)求证:△ABD≌△EBD;【答案】如图,∵AD∥BC,∴∠1=∠DBC.∵BC=DC,∠2=∠DBC.∴∠1=∠2.2分又∵∠BAD=∠BED=90°,BD=BD,∴△ABD≌△EBD.4分(2)过点E作EF∥DA,交BD于点F,连接AF.求证:四边形AFED是菱形.【答案】由第1问得,AD=ED,∠1=∠2.∵EF∥DA,∴∠1=∠3,∴∠2=∠3.∴EF=ED.5分∴EF=AD.6分∴四边形AFED是平行四边形.又∵AD=ED.∴四边形AFED是菱形.8分14. [2013·XX中考，20]已知：如图，在菱形ABCD中，F为BC上的任意一点，连接AF交对角线BD于点E，连接第12页共20页※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※※※※※※※※※※※※※※※※.....o.............o.............外.............o.............o.............装.............o.............o.............订.............o.............o.............线.............o.............o..............o..............o..............o.......................EC.(1)求证：AE＝EC；【答案】证明：连接AC.∵BD是菱形ABCD的对角线，∴BD垂直平分AC.∴AE＝EC.(2)当∠ABC＝60°，∠CEF＝60°时，点F在线段BC上的什么位置？说明理由.【答案】点F是线段BC的中点.理由：∵菱形ABCD中，AB＝BC，又∵∠ABC＝60°.∴△ABC是等边三角形，∠BAC＝60°.∵AE＝EC，∠CEF＝60°，∴∠EAC＝30°.∴AF是△ABC的角平分线.∵AF交BC于点F，∴AF是△ABC的BC边上的中线.∴点F是线段BC的中点.15. [2012·XX中考,23]已知：如图,在菱形ABCD中,点E,F分别在边BC,CD上,∠BAF＝∠DAE,AE 与BD交于点G.(1)求证：BE＝DF；【答案】∵四边形ABCD为菱形,∴AB＝AD＝BC＝CD,∠ABD＝∠ADB＝∠CBD＝∠CDB,∠ABE＝∠ADF∵∠BAF＝∠DAE,且∠BAF＝∠BAE＋∠EAF,∠DAE＝∠DAF＋∠EAF∴∠BAE＝∠DAF.∴△ABE≌△ADF(ASA).∴BE＝DF.(2)当＝时,求证：四边形BEFG是平行四边形.【答案】在菱形ABCD中,ADBC,∴∠DAE＝∠BEA,∠ADB＝∠EBD.∴△AGD∽△EGB.∴＝.又∵＝,BE＝DF,第14页共20页※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※※※※※※※※※※※※※※※※.....o.............o.............外.............o.............o.............装.............o.............o.............订.............o.............o.............线.............o.............o..............o..............o..............o.......................∴＝＝＝∴GF∥BE.∴∠DGF＝∠DBC.∵∠DBC＝∠CDB,∴∠DGF＝∠GDF,∴GF＝DF,∴BE＝GF.∴BEGF,∴四边形BEFG是平行四边形.16. [2013·乌鲁木齐中考,19]如图,在△ABC中,∠ACB＝90°,CD⊥AB于D,AE平分∠BAC,分别与BC,CD交于E,F,EH⊥AB于H,连接FH.求证：四边形CFHE是菱形.【答案】∵AE平分∠BAC,∴∠CAE＝∠EAH,而∠ACB＝90°,CD⊥AB,∴∠CEA＋∠CAE＝∠AFD＋∠EAH＝90°,又∠APD＝∠CFE,∴∠CFE＝∠CEF,∴CF＝CE.又∵AE平分∠BAC,∠ACB＝90°.EH⊥AB,∴CE＝EH,∴CF＝EH＝CE,∵CD⊥AB,EH⊥AB,∴CF∥EH,∴四边形CFHE是菱形.17. 如图所示,在菱形ABCD中,CE⊥AB于点E,CF⊥AD于点F,求证:AE=AF.【答案】证法1：如图所示,连接AC,∵四边形ABCD是菱形,∴AC平分∠BAD,即∠BAC=∠DAC.在△ACE和△ACF中,∠AEC=∠AFC=90°,∠BAC=∠DAC,AC=AC,∴△ACE≌△ACF(AAS),∴AE=AF.证法2：∵四边形ABCD是菱形,∴BC=DC=AD=AB,∠B=∠D.又∵在△BCE和△DCF中,∠BEC=∠DFC=90°,∴△BCE≌△DCF(AAS),∴BE=DF,∴AE=AF.18. [2013·XX中考，23]如图，在菱形ABCD中，AC是对角线，点E，F分别是边BC，AD的中点.(1)求证：△ABE≌△CDF；【答案】在菱形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA(或AB＝CD，BC＝DA).∠B＝∠D.∵点E，F分别是边BC，AD的中点，∴BE＝DF.∴△ABE≌△CDF.(2)若∠B＝60°，AB＝4，求线段AE的长.【答案】解法一：∵AB＝BC，∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形.∵点E是BC边的中点.∴AE⊥BC.在Rt△ABE中，sin B＝.第16页共20页※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※※※※※※※※※※※※※※※※.....o.............o.............外.............o.............o.............装.............o.............o.............订.............o.............o.............线.............o.............o..............o..............o..............o.......................∴AE＝AB·sin B＝4×＝.解法二：∵AB＝BC，∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形.∵点E是BC边的中点，∴AE⊥BC.∴∠BAE＝30°.在Rt△ABE中，BE＝AB＝2.∴AE＝＝＝.19. [2012·XX中考,19](本题8分)如图,△ABC中,∠B＝90°,AB＝6cm,BC＝8cm,将△ABC沿射线BC方向平移10cm,得到△DEF,A,B,C的对应点分别是D,E,F,连接AD.求证：四边形ACFD是菱形.【答案】法一：∵∠B＝90°,AB＝6cm,BC＝8cm.∴AC＝10cm.由平移变换的性质得CF＝AD＝10cm,DF＝AC,∴AD＝CF＝AC＝DF,∴四边形ACFD是菱形.法二：由平移变换的性质得AD∥CF,AD＝CF＝10cm,∴四边形ACFD是平行四边形,∵∠B＝90°,AB＝6cm,BC＝8cm,∴AC＝10cm,∴AC＝CF,∴▱ACFD是菱形.20. [2011•XX中考，27](本小题满分12分)已知：如图17所示的一X矩形纸片ABCD(AD＞AB)，将纸片折叠一次，使点A与点C重合，再展开，折痕EF交AD边于点E，交BC边于点F.分别连接AF和CE.(1)求证：四边形AFCE是菱形；【答案】由题意可知OA＝OC，EF⊥AO.∵AD∥BC，∴∠AEO＝∠CFO，∠EAO＝∠FCO，∴△AOE≌△COF，∴AE＝CF，又AE∥CF，∴四边形AECF是平行四边形(2分)∵AC⊥EF，∴四边形AECF是菱形.(4分)(2)若AE＝10cm，△ABF的面积为24cm2，求△ABF的周长；【答案】∵四边形AECF是菱形，∴AF＝AE＝10cm.设AB＝a，BF＝b，∵△ABF的面积为24cm2,a2＋b2＝100，ab＝48(6分)(a＋b)2＝196，a＋b＝14或a＋b＝－14(不合题意，舍去)(7分)△ABF的周长为a＋b＋10＝24cm(8分)(3)在线段AC上是否存在一点P，使得2AE2＝AC AP？若存在，请说明点P的位置，并予以证明；若不存在，请说明理由.【答案】存在，过点E作AD的垂线，交AC于点P，点P就是符合条件的点(9分) 证明：∵∠AEP＝∠AOE＝90°，∠EAO＝∠EAP，∴△AOE∽△AEP，∴＝，第18页共20页※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※※※※※※※※※※※※※※※※.....o.............o.............外.............o.............o.............装.............o.............o.............订.............o.............o.............线.............o.............o..............o..............o..............o.......................∴AE2＝AO AP(11分)∵四边形AECF是菱形，∴AO＝AC，∴AE2＝AC AP，∴2AE2＝AC AP.(12分)21. [2013·XX中考,19]如图,△ABC中,AB=AC,AD是△ABC一个外角的平分线,且∠BAC=∠ACD.(1)求证:△ABC≌△CDA;【答案】∵AB=AC,∴∠B=∠ACB又∵∠FAC是△ABC的一个外角,∴∠FAC=∠B+∠ACB∴∠FAC=2∠ACB2分又∵AD是∠FAC的角平分线,∴∠FAC=2∠CAD,∴∠ACB=∠CAD3分又∵AC=CA,∠BAC=∠DCA∴△ABC≌△CDA4分(2)若∠ACB=60°,求证:四边形ABCD是菱形.【答案】∵∠BAC=∠ACD∴AB∥CD5分又∵∠ACB=∠CAD,∴AD∥BC.∴四边形ABCD是平行四边形.6分∵AB=AC,∠ACB=60°,∴等腰三角形ABC是等边三角形.7分∴AB=BC.∴四边形ABCD是菱形.8分22. [2011•XX中考,23](本小题满分8分)如图13,在ABCD中,E,F分别为边AB,CD的中点,BD是对角线,过A点作AG∥DB交CB的延长线于点G.(1)求证：DE∥BF；【答案】在ABCD中,AB∥CD,AB＝CD∵E,F分别为边AB,CD的中点∴DF＝DC,BE＝AB∴DF∥BE,DF＝BE(2分)∴四边形DEBF为平行四边形(3分)∴DE∥BF(4分)(2)若∠G＝90°,求证：四边形DEBF是菱形.【答案】∵AG∥BD∴∠G＝∠DBC＝90°∴△DBC为直角三角形(5分)又∵F为边CD的中点∴BF＝DC＝DF.(7分)又∵四边形DEBF为平行四边形∴四边形DEBF是菱形(8分)第20页共20页※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※※※※※※※※※※※※※※※※.....o.............o.............外.............o.............o.............装.............o.............o.............订.............o.............o.............线.............o.............o..............o..............o..............o.......................23. [2013·黄冈中考，17]如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB 于H，连接OH，求证：∠DHO＝∠DCO.【答案】四边形ABCD是菱形，∴OD＝OB，∠COD＝90°，∵DH⊥AB于H，∴∠DHB＝90°，∴∠OHB＝∠OBH，又∵AB∥CD.∴∠OBH＝∠ODC，∴∠OHB＝∠ODC.在Rt△COD中，∠ODC＋∠OCD＝90°，在Rt△DHB中，∠DHO＋∠OHB＝90°，∴∠DHO＝∠DCO.24. [2013·XX中考,20]如图,点O是菱形ABCD对角线的交点,DE∥AC,CE∥BD,连接OE.求证:OE=BC.【答案】∵DE∥AC,CE∥BD∴四边形OCED是平行四边形2分又∵AC,BD是菱形ABCD的对角线∴AC⊥BD,即∠COD=90°4分∴平行四边形OCED是矩形6分∴OE=CD8分又∵BC=CD9分∴OE=BC10分(学生用其他方法证明,请参照评分标准酌情给分)。