备战2019八下期中亮点好题分类汇编——专题10—菱形（提高）－26题谢晓娟整理微专题一：菱形中的折叠问题1.(2017·赤峰)如图，将边长为4的菱形ABCD纸片折叠，使点A恰好落在对角线的交点O处，若折痕EF＝23，则∠A＝( )A．120° B．100° C．60° D．30°【解答】 A2.(2018广西柳州市)如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠B=45°，AE为BC边上的高，将△ABE沿AE所在直线翻折得△AB′E，AB′与CD边交于点F，则B′F的长度为( )A．1 B．2C．22--D．222【解答】 C3.（学科网人教版）如图,菱形纸片ABCD中,∠A=60°,折叠菱形纸片ABCD,使点C落在DP(P为AB的中点)所在的直线上的点C'处,得到经过点D的折痕DE.则∠DEC的大小为__________.【解答】 75°解：如图,连接BD,由菱形的性质及∠A=60°,得到三角形ABD为等边三角形.P为AB的中点,利用等腰三角形三线合一的性质得到∠ADP=30°.由题意易得∠ADC=120°,∠C=60°,进而求出∠PDC=90°,由折叠的性质得到∠CDE=∠PDE=45°,利用三角形的内角和定理即可求出∠DEC=75°.微专题二：菱形中的规律问题1.(2018天津市和平区)如图，已知菱形OABC 的顶点O （0，0），B （2，2），若菱形绕点O 逆时针旋转，每秒旋转45°，则第60秒时，菱形的对角线交点D 的坐标为( )A ．(1，-1)B ．(-1，-1)C ．(2，0)D ．(0，-2)【解答】 B2.（2018天津市红桥区）菱形ABCD 在直角坐标系中的位置如图所示,其中点A 的坐标为(1,0),点B 的坐标为(0,3),动点P 从点A 出发,沿A →B →C →D →A →B →……的路径,在菱形的边上以每秒0.5个单位长度的速度移动,移动到第2 016秒时,点P 的坐标为 .【解答】 (1,0)3.(2017重庆市綦江中学)如图，菱形111AB C D 的边长为1，160B ∠=o ；作211AD B C ⊥于点2D ，以2AD 为一边，做第二个菱形222AB C D ，使260B ∠=o ；作322AD B C ⊥于点3D ，以3AD 为一边做第三个菱形333AB C D ，使360B ∠=o ；L L 依此类推，这样做的第n 个菱形n n n AB C D 的边n AD 的长是 。

【解答】 2 24.（学科网人教版）如图，边长为1的菱形ABCD 中，∠DAB=60°．连结对角线AC ，以AC 为边作第二个菱形ACEF ，使∠FAC=60°．连结AE ，再以AE 为边作第三个菱形AEGH 使∠HAE=60°…按此规律所作的第n 个菱形的边长是 ．1D BA C 2B 2C 3D 3 B 1D 2C 1【解答】 解：连接DB ，∵四边形ABCD 是菱形， ∴AD=AB ．AC ⊥DB ， ∵∠DAB=60°， ∴△ADB 是等边三角形， ∴DB=AD=1， ∴BM=21， ∴AM=23， ∴AC=3，同理可得AE=3AC=2(3)，AG=3,AE=33=3(3)， 按此规律所作的第n 个菱形的边长为1(3)n -1(3)n -， 故答案为1(3)n -．微专题三：菱形中的动点问题与分类讨论思想1.(2018天津市红桥区)如图，菱形ABCD 中，对角线AC=6，BD=8，M 、N 分别是BC 、CD 的中点，P 是线段BD 上的一个动点，则PM+PN 的最小值是______．【解答】5．2.（学科网人教版）如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，AC=6，BD=8，点P 是AC 延长线上的一个动点，过点P 作PE ⊥AD ，垂足为E ，作CD 延长线的垂线，垂足为E ，则|PE-PF|= ．【解答】延长BC 交PE 于G ，如图所示： ∵四边形ABCD 是菱形， ∴AD ∥BC ，OA=OC=12AC=3，OB=OD=12BD=4，AC ⊥BD ，∠ACB=∠ACD ， ∴225OA AD OD +==，∠PCF=∠PCG ， ∵菱形的面积=AD •EG=12AC •BD=12×6×8=24， ∴EG=4．8， ∵PE ⊥AD ， ∴PE ⊥BG ， ∵PF ⊥DF ， ∴PG=PF ，∴PE-PF=PE-PG=EG=4．8．3.（2018天津市和平区期中）如图所示,在菱形ABCD 中,AB=2,∠DAB=60°,点E 是AD 边的中点,点M 是AB 边上一动点(不与点A 重合),延长ME 交射线CD 于点N,连接MD,AN.(1)求证:四边形AMDN 是平行四边形; (2)①当AM 为何值时,四边形AMDN 是矩形? ②当AM 为何值时,四边形AMDN 是菱形? 【解答】(1)证明:∵四边形ABCD 是菱形,∴ND ∥AM,∴∠NDE=∠MAE,∠DNE=∠AME.又∵点E 是AD 边的中点,∴DE=AE,∴△NDE ≌△MAE,∴ND=MA,∴四边形AMDN 是平行四边形. (2)①当AM=1时,四边形AMDN 是矩形.理由如下:∵四边形ABCD 是菱形,∴AB=AD=2.当AM=1=21AD 时,可得∠ADM=30°. ∵∠DAM=60°,∴∠AMD=90°,∴平行四边形AMDN 是矩形.②当AM=2时,四边形AMDN 是菱形.理由如下:∵四边形ABCD 是菱形,∴AB=AD=2. ∵AM=2,∴AM=AD=2,又∠DAM=60°,∴△AMD 是等边三角形,∴AM=DM, ∴平行四边形AMDN 是菱形.4.（学科网人教版)已知AC 是菱形ABCD 的对角线，∠BAC ＝60°，点E 是直线BC 上的一个动点，连接AE ，以AE 为边作菱形AEFG ，并且使∠EAG ＝60°，连接CG ，当点E 在线段BC 上时，如图1，易证：AB ＝CG ＋CE. (1)当点E 在线段BC 的延长线上时(如图2)，猜想AB ，CG ，CE 之间的关系并证明； (2)当点E 在线段CB 的延长线上时(如图3)，直接写出AB ，CG ，CE 之间的关系．【解答】 (1)AB ＝CG －CE.证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝BC.∵∠BAC ＝60°，∴△ABC 是等边三角形．∴∠ABC ＝∠ACB ＝∠BAC ＝60°，AB ＝AC. ∵AD ∥BC ，AB ∥DC ，∴∠DAC ＝∠ACB ＝∠BAC ＝∠ACD ＝∠EAG ＝60°. ∴∠BAC ＋∠CAE ＝∠EAG ＋∠CAE.即∠BAE ＝∠CAG.在△ABE 和△ACG 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠BAE ＝∠CAG ，AB ＝AC ，∠ABC ＝∠ACD ，∴△ABE ≌△ACG.∴BE ＝CG.∵BC ＝CD ，∴CE ＝DG.∵AB ＝CD ＝CG －DG ，∴AB ＝CG －CE. (2)AB ＝CE －CG.5.(2017广东省广州市)如图，在Rt △ABC 中，∠B=90°，BC=53，∠C=30°．点D 从点C 出发沿CA 方向以每秒2个单位长的速度向点A 匀速运动，同时点E 从点A 出发沿AB 方向以每秒1个单位长的速度向点B 匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D 、E 运动的时间是t 秒（t ＞0）．过点D 作DF ⊥BC 于点F ，连接DE 、EF ． （1）求证：AE=DF ；（2）四边形AEFD 能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t 值；如果不能，说明理由． （3）当t 为何值时，△DEF 为直角三角形？请说明理由． 【解答】（1）证明：在△DFC 中，∠DFC=90°，∠C=30°，DC=2t ， ∴DF=t ． 又∵AE=t ， ∴AE=DF ．（2）解：能．理由如下： ∵AB ⊥BC ，DF ⊥BC ， ∴AE ∥DF ． 又AE=DF ，∴四边形AEFD 为平行四边形． ∵AB=BC •tan30°=5333 =5， ∴AC=2AB=10． ∴AD=AC ﹣DC=10﹣2t ．若使▱AEFD 为菱形，则需AE=AD ， 即t=10﹣2t ，t=310． 即当t=310时，四边形AEFD 为菱形． （3）解：①∠EDF=90°时，四边形EBFD 为矩形． 在Rt △AED 中，∠ADE=∠C=30°， ∴AD=2AE ． 即10﹣2t=2t ，t=25． ②∠DEF=90°时，由（2）四边形AEFD 为平行四边形知EF ∥AD ， ∴∠ADE=∠DEF=90°． ∵∠A=90°﹣∠C=60°， ∴AD=AE •cos60°． 即10﹣2t=21t ，t=4．③∠EFD=90°时，此种情况不存在． 综上所述，当t=25秒或4秒时，△DEF 为直角三角形．6.（2018山东蒙阴县）如图，在平面直角坐标系中，点B （3，0），点C （0，4），四边形ABCD 是菱形，对角线BD 于y 轴交于点P ． （1）请直接写出A 点与D 点坐标；（2）动点M 从B 点出发以每秒1个单位的速度沿折线段B ﹣A ﹣D 运动，设△AMP 的面积为S （S ≠0），运动时间为t （秒），求面积S 与时间t 之间的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围；（3）在（2）的条件下，是否存在一点M ，使△DMP 沿其一边翻折构成的四边形是菱形？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵点B （3，0），点C （0，4）， ∴BC=5，∵四边形ABCD 是菱形， ∴CD=AB=BC=5，CD ∥AB ， ∴A （﹣2，0），D （﹣5，4），（2）如图1，过点P 作PK ⊥BC 于K ， ∵四边形ABCD 是菱形， ∴∠CBD=∠ABD ， ∵PO ⊥AB ， ∴PK=PO ， ∴△BOP ≌△BKP ， ∴BK=OB=3， ∴CK=2，在Rt △PKC 中，CK2+PK2=PC2， ∴4+PK2=（5﹣PK ）2，∴PK=23，PC =25， ∴PO=23，同理：连接PA ，易证△DCP ≌△DAP ，∴∠DCP=∠DAP=90°，PA=PC=25， ①S=×2321⨯（5﹣t ）=﹣43t+415（0≤t ＜5），②S=2321⨯（t ﹣5）=43t ﹣415（5＜t ≤1﹣）；（3）①如图2，当点M 在AB 上，DP=DM 时，沿PM 翻折，可得四边形为菱形， 在Rt △OPB 中，253OP BP 22=+=OB 过点D 作DR ⊥AB 于R ，DR=4，BR=8， 在Rt △DRB 中，根据勾股定理得，DB=54，∴DM=DP=255， 在Rt △DRM 中，根据勾股定理得，RM=261， ∴OM=5﹣261， ∴M （261﹣5，0）；②如图3，当点M 在AD 上，MD=MP 时，沿DP 翻折，可得四边形是菱形， ∴∠MDP=∠MPD ， ∵∠MDP=∠CDP ， ∴∠MPD=∠CDP ， ∴PM ∥CD ，过点M 作MN ⊥AB 于N ， ∴四边形MNOP 是矩形，∴MN=OP=23，MP=MD=ON=AN+2， ∴AM=5﹣DM=3﹣AN ，在Rt △AMN 中，AN2+MN2=AM2，∴AN=89，ON=825， ∴M （﹣825，23）．微专题四：菱形的性质与判定的综合应用1.（2018河北省霸州市期中）如图18－Z －5，在菱形ABCD 中，E 是AB 边上一点，且∠A ＝∠EDF ＝60°，有下列结论：①AE ＝BF ；②△DEF 是等边三角形；③△BEF 是等腰三角形；④∠ADE ＝∠BEF.其中结论正确的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4【解答】 C2.（2016南平市松溪县）如图，菱形ABCD 中，AB=AC ，点E 、F 分别为边AB 、BC 上的点，且AE=BF ，连接CE 、AF 交于点H ，连接DH 交AC 于点O ．则下列结论① BE=CF,②△ABF ≌△CAE ，③∠AHC=120°，④AH+CH=DH 中，正确的是（ ） A.①②④ B ．①②③ C ．②③④ D ．①②③④【解答】 D3.（学科网人教版）数学活动——探究特殊的平行四边形． 问题情境如图，在四边形ABCD 中，AC 为对角线，AB=AD ，BC=DC ．请你添加条件，使它们成为特殊的平行四边形． 提出问题（1）第一小组添加的条件是“AB ∥CD ”，则四边形ABCD 是菱形．请你证明；（2）第二小组添加的条件是“∠B=90°,∠BCD=90°”，则四边形ABCD 是正方形．请你证明．【解答】（1）∵AB=AD，BC=DC，AC=AC，∴△ABC≌△ADC，∴∠BAC=∠DAC，∠BCA=∠DCA，又∵AB∥CD，∴∠BAC=∠DCA，∴∠BAC=∠DCA=∠BCA=∠DAC，∴AB=BC，DA=DC，又∵AB=AD，∴AB=BC=CD=DA，∴四边形ABCD是菱形；（2）∵AB=AD，BC=DC，AC=AC，∴△ABC≌△ADC，∴∠D =∠B，∵∠B=90°，∴∠D =∠B=90°，又∵∠BCD=90°，∴四边形ABCD是矩形，又∵BC=DC，∴矩形ABCD是正方形．4.（2018天津市红桥区）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF.(1)求证：AF＝DC；(2)若AB⊥AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．【解答】解：(1)证明：∵E是AD的中点，∴AE＝DE.∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DBE，∠FAE＝∠BDE，∴△AFE≌△DBE，∴AF＝DB.∵AD是BC边上的中线，∴DB＝DC，∴AF＝DC.(2)四边形ADCF是菱形．证明：由(1)知AF＝DC.∵AF∥CD，∴四边形ADCF是平行四边形．∵AB⊥AC，∴△ABC是直角三角形．∵AD 是BC 边上的中线，∴AD ＝12BC ＝DC ， ∴平行四边形ADCF 是菱形．5.(2017河北省邯郸市)如图，在Rt △ABC 中，︒=∠90ACB ，过点C 的直线MN ∥AB ，D 为AB 边上一点，过点D 作DE ⊥BC ，交直线MN 于E, 垂足为F ，连接CD 、BE 。