式中，A ，B 是积分常数。
当给定u uuS =时，可以用上式确定。
当给定力的边条时，用位移表示应力分量的表达式确定A ，B 。
⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧--+-=--+-=++--=++--=+-=+-=])1()1[(1])1()1[(1][1]1)([1)]([1)(122222222222r B A E r B A E r B Ar r B A E r r B Ar rB A E r u dr du E E r rνννσνννννννννννεενσθθ （5－14） 应力法和位移法这两种解法求得的位移，积分常数之间的关系为： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+--=r B Ar u rC r C E u ])1()1[(121νν比较得： .211,1C EB C E A νν+-=-= 这是按平面应力问题进行的讨论。
平面应变问题只需做常数替换。
由：221rC C r+=σ 和 221rC C -=θσ得：12C r=+θσσ()[][]1211C EEz rzz νσσσνσεθ-=+-=⇒分析：当0=zσ或const z=σ时，r ε为常量。
即在z 方向的变形为均匀变形，垂直于轴线的平面在变形过程中保持为平面。
5-1-2 均匀厚壁圆筒如图示的厚壁圆筒内半径为a ，外半径为b 。
内压1p ，外压2p 。
边条：21,p p br rar r-=-===σσ由（5－9）式：221rC C r +=σ则有：⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫-=+=-=+===22211221p bC C p aC C br rar rσσ联解得： ()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=--=122222222122211p p a b b a C p b p a ab C解释系数：21222212222121221)(a p b p a b C b p C b C a p C a C +-=-⇒⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎪⎬⎫-=+-=+()⎥⎦⎤--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡----=⇒--=⇒)(1)(112222222212222122221221p p a b b a b p a p a b a ap C b p ap abC将21,C C 回代入（5－9）式~（5－10）式：u r r ，，，，θθεεσσ 应力分量为式（5－15）： ())(111222222221222221p p ab ba rp b p aab rC C r --+--=+=σ()2222122221222122222212221)()]([1ab p b p a rab p p b a p p rb a p b p a ab --+--=-+--=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--+---=--+--=222212222122222221222212221)(1)(a b p b p a r a b p p b a ab p b p a r a b p p b a r θσσ （5－15）应变分量：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧---+--+-=---+--+=])1(1)()1([1])1(1)()1[(122221222212222222122221222a b p b p a r a b p p b a E ab p b p a r a b p p b a E r ννεννεθ （5－16）位移分量： ])1(1)()1([12222122221222r ab p b p a rab p p b a Eu ---+--+-=νν （5－17）分析：（1） 式（5－15）称拉梅公式，与弹性常数ν,E 无关，适用于两类平面问题； （2） 式（5－16、17）为平面应力状态下的应变分量，位移分量； （3） 在考虑平面应变问题时，（5－16）、（5－17）式ν,E 要替换。
轴向分量：（1）平面应力问题0,0≠=z z εσ （2）平面应变问题0,0=≠z zεσ()[]θσσνσε--=rzz E10=zσ时， ()[])()(212221222p b p a a b E Erz ---=--=νσσνεθ（5－19）0=z ε时， ())(22221222p b p a ab rz---=-=νσσνσθ（5－18）注：拉梅公式适用于a b k /=为任意值的情况。
下面讨论两种情况：1、0,012≠=p p 时，仅承受内压1p 作用。
⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+-=--=--=-+--=)1()1()(122221222221212212222212222122r ba b p a r ba b p a p r bp a b a a b p a r a b p b a r θσσ （5－20） ])1()1([)(22212r rba b E p a u νν-++-=（5－21）2、0,021≠=p p 时，仅承受外压2p 作用。
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+--=---=)1()()1()(222222222222ra ab p b r a a b p b r θσσ （5－22） ])1()1([)(22222r raa b E p b u νν-++-=（5－23）分析：图（5－2）则有：（1）两种均压下，径向应力r σ均为压应力，且a r r ==σσ(max)，b r r ==σσ(max)。
即： 21p p br rar r-=-===σσ，（2）均压下切向应力，内压时0>θσ，外压时0<θσ，且，ar ==θθσσmax，即：;020122201222222>--=>-+-=====p ab ap a b a b p br p ar θθσσ0022222202222011<-+-=<--=====p ab a b ab p b p br p ar θθσσ第二节 厚壁圆筒的弹塑性分析基本情况：内外半径分别为b a ,的厚壁圆筒，内部受压p ，前面公式中p p =1,02=p 理想弹塑性材料。
（图5－3）受力分析：p 增大，θσ增大，rσ增大 ⇒ 塑性状态（弹性区域减少，塑性区域增加）⇒ 截面全部进入塑性状态（塑性极限状态）,此时有：max p p =，瞬时变形速度无穷大。
讨论问题：限定轴对称平面应变问题（z σ增大），21=ν。
5-2-1 屈服条件1、塑性理论中的两种屈服条件 （1）米泽斯屈服条件在极坐标系中，用应力分量表示的屈服条件，由式（3－23）可得出s R σ=。
()()()()222222226s zr z r r z z r στττσσσσσσθθθθ=+++-+-+-（2）特雷斯卡屈服条件用主应力表示，由（3－21）式得出：2/s k σ=；()s σσσσσσσ=---133221,,m a x 2、轴对称平面应变问题（厚壁圆筒）屈服条件0===zr z r τττθθ， z r σσσθ，，均为主应力。
()θσσσνε+=⇒==r zz 2121,将z σ代入米泽斯屈服条件，有： ()()()222]21[]21[σσσσσσσσθθθθ-+++-+-r r r()()()()()]4141[22222r r r rrr r σσσσσσσσσσσσσσθθθθθθθ++-+++++-+-=()()]21[22θθθθσσσσσσσσr rr r -++-+-=()()θθθσσσσσσr rr22122-++-=()()θθθθσσσσσσσσr r rr 2221222-+++-=θθθθθσσσσσσσσσσr r r r r 22122122222-++++-=()()2222222232232121332323θθθθθθθσσσσσσσσσσσσσσ-=+-=⎪⎭⎫⎝⎛+-=-+=rr rr r r r即：()22223s rσσσθ=-，有()2234srσσσθ=-s s r σσσσθ115.132==- （5－24） (0<>rσσθ图（5-2)a)式（5-24）为轴对称应变问题的米泽斯屈服条件。
当分析图（5－2)a 的情况，已知应力大小，并取： )(,,,321r zr zσσσσσσσσσθθ>>===且： 0,0<>r σσθ，则有：特雷斯卡屈服条件s r σσσθ=- （5－25） 即：在轴对称平面应变条件下，设21=ν，按两种屈服条件进入塑性状态时，其应力组合相同，所满足的条件仅相差一个系数。
亦即：当按（5－25）式分析的s σ乘以32则变成了米泽斯屈服条件的结果。
3、结果解释一般，两种屈服条件的数学表达式和物理解释都不相同，而全面的讨论，应力组合相同，满足的条件仅相差一个系数，形成这种状况的原因从两方面解释。
（1）厚壁圆筒的应力偏量状态 ① 在厚壁圆筒内 0,<>>r r zσσσσθ，且为主应力，则有：)(21m a x r σστθ-=② 因为 )(21r zσσσθ+=，则平均应力)(0σσm 为： z r r rz rmσσσσσσσσσσσθθθθ=+=+++=++=)(21)](21[31)(31③ 应力偏量： m a x)(21τσσσσθθθ=-=-=r mS ma x)(21τσσσσθ-=--=-=r mr r S0=-=m z z S σσ 即：此时的应力偏量状态为纯剪切。
④ 结论在应力状态中),,(z r σσσθ减去静水压力)(0σ，屈服条件并不改变，即可用应力偏量状态判断材料是否屈服。
（2）分析两个屈服条件 单向拉伸时，)0,0(321==>σσσM i s e s 屈服条件： 2222s σσθ= ()1σσθ=T r a s c a 屈服条件： s σσθ=两条件完全一样，而在描述纯剪切时相差15.5%。
若使用纯剪切重合的屈服条件，即：()()()[]()kkJ 2,,max 6113322122132322212=---=-+-+-=σσσσσσσσσσσσ则在该问题中两个屈服条件完全一样。
注意：22max 231k =τ，k 22max 13==-τσσ，可以帮助理解上式。
5-2-2 弹塑性分析当内压p 较小时，弹性状态，其应力分量为：⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫+-=---=)1()1(2222222222r b a b p a rba b pa rθσσ（5－26） 当a r =时，组合应力)(r σσθ-达最大，即： 222222222222222122)]1()1([)(ba p ab p b rb ab p a ab ab p a ar r -=-=--++-=-=θσσ筒体由内壁开始屈服，即此时内压为e p ，则有： s a r r σσσθ=-=)( 所以有：s e ba p σ=-2212 ， )1(222ba p s e -=⇒σ （5－27）式中，e p —弹性极限压力（1）当e p p <时，圆筒处于弹性状态；（2）当e p p >时，筒体内壁附近出现塑性区，p 增大，塑性区扩展； （3）因应力组合)(r σσθ-具有对称性，其弹塑分界面为圆柱面； （4）弹塑性状态下内压p 增大到p p ，其分界半径为p r ；（5）分两个区讨论，在分界面上，应力相等，图（5－4）a ；195p（6）看作两个厚壁圆筒分析，内筒外半径p r ，内半径a ，壁厚a r p -；外筒内半径p r ，外半径b ，壁厚b r p -，qr r r b ==σ图[（5－4）（b ）,(c)]195p① 内筒：求应力分量θσσ，r （塑性分析）此时：θσσ，r 应满足平衡方程和屈服条件、：sr r rrdrd σσσσσσθθ=-=-+由上两式：dr rd rdrd sr sr σσσσ=⇒=-积分得出： C r s r +=ln σσ 确定积分常数C ：C a p p s p par r+=-⇒-==ln σσp s p s sr s ps p s s rps p a r p a rp ar p a r p a C -⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-+=+=⇒-=--=⇒--=⇒ln 1lnlnln ln ln σσσσσσσσσσσθ即有（5－28）式成立：⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫-⎪⎭⎫ ⎝⎛+σ=σ-σ=σθp s p s r p a r ln 1p a rln（5－28）分析（5－28）式知：塑性区应力分量是静定的，仅与p p 有关，与弹性区无关，可以看出：00><θσσ，r 。