对 x 的任一开邻域U ，U 为 R 中开集
Q x a,b\ S U \ S
当 n 充分大，Un a,b\ S U \ S 所以Un是 x 的一个可数邻域基 说明 R, 满足 C1 公理
显然 Q R
x R ， x 的任一开邻域U \ S
U \ S I Q x Q
RQ
所以 Q R
所以 Q 是 R, 的可数稠密子集，所以 R, 是可分的
所以 B 是 X 的闭集（有限多个闭集的并还是闭集）
1.1.13 设xn是 R, c 中的一个序列.证明： xn x 存在正整数 N ，使得当 n N ，
xn x .
证明： 显然的
假设当 n N 时， xn x 不成立
那么可找到 xn 的无穷子序列 xnk ， xnk x R \ xnk 为 x 的一个开邻域
Q U1 I U2 \ A1 U A2
中两个成员的交集仍在 中 综上所述： 是 R 上的拓扑
（2）任取一个有理数 a ，则 a 在 R, 中存在一个开邻域U1 \ A1
这样我们就可以在 E1 中找到一个与U1 不相交的开集U2 ，令有理数 b U2
则U2 \ A2 为 b 的一个开邻域
且 U1 \ A1 I U2 \ A2 R, 满足T2 公理
习题
2.1.18
记 S 是全体无理数的集合，在实数集 R 上规定子集族
U \ A U是E1的开集, A S .
（1）验证 是 R 上的拓扑；
（2）验证 R, 满足T2 公理，但不满足T3 公理；
（3）验证 R, 是满足 C1 公理的可分空间；
（4）证明 在 S 上诱导的子空间拓扑 s 是离散拓扑，从而 S, s 是不可分的；
1.1.16 若 A 是 X 的稠密子集， B 是 A 的稠密子集，则 B 也是 X 的稠密子集. 证明：令U 是 X 的任一非空开集
因为 A 是 X 的稠密子集 所以U I A 从而U I A 是 A 的非空开集 又因为 B 是 A 的稠密子集，则
U I B U I AI B
所以 B 也是 X 的稠密子集
1.2.1 设 f : X Y 是映射，证明下列条件互相等价：
（1） f 是连续映射；
（2）对 X 的任何子集 A ， f A f A； （3）对Y 的任何子集 B ， f 1 B f 1 B . 证明： 1 2欲证 f A f A
因为 x B
所以 U I AI B 即U I AI B
所以 x A I B ，所以 A I B A I B
1.1.10
n
U 设 A1, A2 ,L , An 都是 X 的闭集，并且 X Ai .证明 B X 是 X 的闭集 i 1
B I Ai 是 Ai i 1, 2,L , n的闭集.
因为 lim x
xn
x
k 1, 2,L
对 x 的开邻域 R \ xnk 会 K , n K , xn R \ xnk 与 xnk R \ xnk 矛盾
所以存在正整数 N ，使得当 n N ， xn x
1.1.15 证明： A 是拓扑空间 X 的稠密子集 X 的每个非空开集与 A 相交非空.
证明： i 1, 2,L , n
有 Ai B I Ai BC I Ai Q x Ai B I Ai x Ai , x B I Ai
xB x BC x BC I Ai
又Q B 是 X 的闭集
BC 是 X 的开集
从而 B I Ai 是 Ai 的开集
B I Ai 是 Ai 的闭集
（4）设 A S
Q R \ S \ A是 R, 的开集
有 R \ S \ AI S A 是 S, S 的开集 S 的每个子集都是 S, S 的开集 S, S 是离散拓扑空间， S 不可数
从而 S, S 是不可分的 （5）假如 R, 满足 C2 公理
Q C2 公理具有遗传性
则 S, S 也要满足 C2 公理
因为 B I Ai 是 Ai 1, 2,L , n的闭集
故 i 1, 2,L , n ，存在 X 的闭集 Bi ，使 B I Ai Bi I Ai ，而
U U U U U U n
B
i 1
BI
Ai
n
i 1
Bi I
Ai
n i 1
Bi
I
n i 1
Ai
n i 1
Bi
I
n
X Bi
i 1
（5）说明 R, 不满足 C2 公理。
A
证明：（1）○1
U
U , A
R
R
所以 R 和 都含在 中
○2 UU A UU I A
U x U A 0 , 使x U0 A0
x U0 , x A0
x UU , x I A
x UU I A
Q UU I A
中任意多个成员的并集仍在 中
证明： 因为 A 是 X 的稠密子集
所以 A X 故对 x A ， x 的每个开邻域与 A 都有交点 从而 X 的每个非空开集与 A 相交非空
因为 X 的每个非空开集与 A 相交非空
故对 x X ， X 的每个开邻域与 A 都有交点 所以 x A ，即 X A 又因为 A X ，所以 A X 所以 A 是 X 的稠密子集
○3 U1 \ A1 I U2 \ A2 U1 I U2 \ A1 U A2
Q x U1 \ A1 I U2 \ A2 x U1 A1, x U2 A2
x U1, x A1, x U2 , x A2 x U1 I U2 , x A1 U A2
x U1 I U2 \ A1 U A2
由题意可知 S 是闭集， 有理数a S
如果W 是 S 的任意一个开邻域 因为 S 为全集，所以 S 的开邻域W 总会与 a 的开邻域相交
因此在 R, 中， S 与 a 不存在不想交的开邻域，故不满足T3 公理
（3） x R ，做 x 的一组可数邻域Un
xU
x
1 n
,
x
1 n
I
Байду номын сангаас
Q
则Un是 x 的一个可数邻域
Q C2 空间是可分空间
则 S, S 是可分的与 S, S 不可分矛盾了 R, 不满足 C2 公理
1.1.9 设 A 和 B 都是拓扑空间 X 的子集，并且 A 是开集.证明 A I B A I B . 证明：对 x A I B ，即 x A 且 x B
令U 是 x 的任一开邻域 则U I A 也是 x 的开邻域