浅一、 特殊行列式法 1．定义法当行列式中含零元较多时，定义法可行． 例1 计算n 级行列式αββαβαβα000000000000=D .解：按定义，易见121,2,,,n j j j n === 或1212,3,,,1n n j j j n j -==== . 得11(1)n n n D αβ-+=+-2．三角形行列式法利用行列式性质，把行列式化成三角形行列式．nna a a a a a000n222n11211＝nnn n a a a a a a2122121100112233nn a a a a = 例2 计算n 级行列式1231131211231n n x n D x n x +=++解： 将n D 的第(2,3,,)i i n = 行减去第一行化为三角形行列式，则1230100002001(1)(2)(1)n n x D x x n x x x n -=--+=---+3．爪形行列式法例3 计算行列式 012112200000n n n a b b b c a D c a c a =()0,1,2,,i a i n ≠=解: 将D 的第i +1列乘以（iia c -）都加到第1列()n i ,2,1=，得 101212000000000ni i ni inbc a b b b a a D a a -=∑=＝011()nn i i i i i i b c a a a ==-∑∏4． 范德蒙行列式法123222212311111231111nnn n n n na a a a D a a a a a a a a ----=1()i j j i na a ≤<≤=-∏例4 计算n 级行列式222212333331231231111n nnnn n nx x x x D x x x x x x x x =解：利用D 构造一个1n +阶范德蒙行列式12222212121111()n n n n nnn x x x xg x x x x x x x x x =多项式()g x 中x 的系数为3(1)n D +-，而()g x 又是一个范德蒙行列式，即1()()ni i g x x x ==-∏∏≤<≤-ni j j ix x1)(展开后x 的系数为1)1(--n ][12132-++n n x x x x x x ∏≤<≤-ni j j ix x1)(，两者应相等，故]23121n n D x x x x x x -⎡=++⎣ ∏≤<≤-ni j j ix x1)(当021≠n x x x 时，还可写成12n D x x x = )11(1nx x ++二、 连加法若行列式中某列（行）加上其余各列（行），使该列（行）元素均相等或出现较多零，从而简化行列式计算的方法称为连加法．例5 计算n 阶行列式x a a ax a D aax=解：它的特点是各列元素之和为x a n +-)1(，因此把各行都加到第一行，然后第一行再提出x a n +-)1(，得[(1)]D n a x =-+xa a ax a 111将第一行乘a -分别加到其余各行，化为三角形行列式，则[(1)]D n a x =-+ax ax -- 0000111 ＝[(1)]n a x -+1)(--n a x三、 加边法为了计算行列式，有时需要将它的级数放大，使升阶后的行列式易于计算，从而求出原行列式．这种方法叫加边法，也叫升阶法．例6 计算n 级行列式123na x x x xa xxD x x a x x x x a =(),1,2,,i x a i n ≠=解：加边得 1210nx x x a xxD x a x xxa =第一行乘以（-1）分别加到其余各行，化为爪形行列式1211001001n x x x a xD a x a x--=----＝xa x a x a x x xx a xn ni i ----+∑=0000001211＝)11(1∑=-+ni i x a x ∏=-n i i x a 1)( ＝)1(1∑=-+ni i x a x∏=-n i i x a 1)(四、 拆行（列）法一般地，当行列式的一行（列）的元素能有规律地表示成两项或多项和的形式，就可以考虑用拆为和的方法来进行计算．例7 计算n 级行列式x y y y z x y yD z z x y z z z x=解：①当z y =时，易用加边法求得D ＝1)(--n y x ][y n x )1(-+②当z y ≠时，将D 的第n 列每个元写成两数之和 0+=y y ，)(y x y x -+=则x y y z x y D z z y = + yx z z z y x z y y x - 0＝1()n M x y D -+-其中x y y z x yM z z y= ， 将M 最后一行乘以（-1）分别加到其余各行．再按第n 列展开得 1()n M y x z -=- ， 于是有n D ＝1)(--n D y x +1)(--n z x y ①由于D 中,y z 的地位对称，于是有n D ＝1)(--n D z x +1)(--n y x z ②由①，②得n D ＝zy y x z z x y nn ----)()(五、 递推法这是解决具有对称关系的行列式的计算方法．例8 计算n 阶行列式 n D ＝βαβααββααββα++++1000010001000解：按第一行展开，得n D ＝21)(---+n n D D αββα即 n D )(211----=-n n n D D D αβα由此递推 ，即得 n D n n D βα=--1 ①由于n D 中α与β对称，则有 n D n n D αβ=--1 ②当αβ≠时，由①，②得 n D ＝βαβα--++11n n 当βα=时，n D ＝1-+n n D ββ＝)(21--++n n n D ββββ＝222-+n n D ββ== 11)1(D n n n -+-ββ＝nn β)1(+六、 数学归纳法利用数学归纳法进行行列式计算，主要利用不完全归纳法寻找行列式的猜想值，再进行证明．例9 计算2n 级行列式 n D 2＝n nnnd c d c b a b a1111解：当1n =时， 2D 1111a b c d =＝1111c b d a - 当2n =时， 4D 22111122a b a b c d c d =＝))((22221111c b d a c b d a --于是猜想 n D 2＝∏=-ni i i i i c b d a 1)(下面用数学归纳法证明（1） 当1n =时，显然成立（2） 假设当n k =时成立，即k D 2＝∏=-ki i i i i c b d a 1)(当1n k =+时，将)1(2+k D 按第一列展开，易得)1(2+k D ＝)(1111++++-k k k k c b d a k D 2由归纳假设 k D 2＝∏=-ki i i i i c b d a 1)( ， 故得)1(2+k D ＝∏+=-11)(k i i i i i c b d a所以猜想成立．即n D 2＝∏=-ni i i i i c b d a 1)(例10 计算n 级行列式αααααcos 211cos 200000cos 210001cos 210001cos=n D解： 易见 αα2cos ,cos 21==D D ,于是猜想 αn D n cos =. 下面对阶数n 用第二数学归纳法证明.1=n 时,结论成立.假设对阶数小于n 时，结论成立. 将n D 按第n 行展开，有ααααααααααααααααααn n n n n n n D D D D n n n n n n n n cos ])1cos[(sin )1sin(cos )1cos()1cos(cos 2)2cos()1()1cos(cos 2)1(cos 21100cos 20000cos 210001cos 210001cos )1(cos 21221211121=+-=-----⋅=--+-⋅=-+⋅=⋅-+⋅=-------所以猜想成立．七、 因式分解法如果行列式D 是某个变数x 的多项式)(x f ，可对行列式施行某些变换，求出)(x f 的互不相同的一次因式，设这些一次因式的乘积为)(x g ，则)()(x cg x f D ==，再比较)(x f 与)(x g 的某一项的系数，求出c 值.例11 计算行列式1231131211231n n x n D x n x +=++解: 注意1=x 时，,0=n D 所以，(1)|n x D -.同理)1(,,2---n x x 均为n D 的因式， 所以 n D n x x x |)1()2)(1(+--- ． 又i x -与)(j i j x ≠-各不相同， 但n D 的展开式中最高次项1-n x的系数为1，所以 )1()2)(1(+---=n x x x D n行列式的计算方法除上述外还有许多种，如辅助行列式法，析因子法等，只不过上述方法常见常用而已．。