(则3)在a等m+差a数n=列{aapn+}中a，q 若m+n=p+q（m，n，p，q是正整数），
(4)如果a, A, b 成等差数列,那么A叫做a与b的等差中项.
A ab 2
观察数列 ( 1) 2，4，8，16，32，64.
(2) 1，3，9，27，81
3 1, 1, 1, 1 ,
2 4 8 16
公比 q=1 非零常数列 公 比q= -1 摆动数列
(6) 1 ,x ,x 2 ,x 3 ,x 4 , (x 0 )公比 d= x
考考你
由常数 a ,a , ,a 所组成的数列
一定为等比数列吗?
不一定是等比数列。
若此常数列为{0}，则此数列从第二项起， 第二项与它前一项的比将没有意义，故非 零常数列才是等比数列。
当 q = 2 时 , a = 6 , 四 个 数 为 3 ， 6 ， 1 2 ， 1 8
当 q =3时 , a =4 5, 四 个 数 为 7 5， 4 5， 2 7， 9
54
4444
方法二设后三个数分别为a-d,a,ad
则第一个数为ad2
(a
d)2 a d
a
a a d 18
a
21
解: 用a n 表示题中公比为q的等比数列，由已知条件，有
a31,2a41,8
即a1q a1q
2 3
12 18
解得
a1
16 3
,
q
3 2
an a1•qn1
因此，
a2

a1q136328
答：这个数列的第1项与第2项分别是 16 与 8 .
3
世界杂交水稻之父—袁隆平
从1976年至1999年在我国累计推广种植杂交 水稻35亿多亩，增产稻谷3500亿公斤。年增 稻谷可养活6000万人口。 西方世界称他的 杂交稻是“东方魔稻” ，并认为是解决下 个世纪世界性饥饿问题的法宝。
(4) 5，5，5，5，5，5，…
(5) 1，-1，1，-1，1，…
(6) 1 ,x ,x 2 ,x 3 ,x 4 , (x 0 )
观察这些数列有哪些特点?
这就是说，这些数列具有这样的共同特点： 从第2项起，每一项与前一项的比都等于同一常数。
复习等差数列的有关概念
定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等
例 ： 在 等 比 数 列 a n 中 ， a 2 2 , a 6 1 6 2 , 求 a 1 0
解法一：
2， 6，10成等差数列， a 2,a 6,a 1 0成 等 比 数 列
a62 a2 • a10
a10
a62 a2
13122
解法二
a2 •a10 a6 •a6 a62
a62 a2 • a10
3、q 1时，{an }为常数列
观察数列 ( 1) 2，4，8，16，32，64. 公比 q=2 递增数列
(2) 1，3，9，27，81，243，…公比 q=3 递增数列
(3)
1 , 1 , 1, 1 , 2 4 8 16
公比 q=
1 2
递减数列
(4) 因5定，为，5x，所的5以正，该负5，数性5列不，的确5，… (5) 1增，减-1性，等定1，尚。-不1，能1确，…
G 2 a b 是 等 比 数 列 的 必 要 条 件 。
例 ： 公 差 不 为 0 的 等 差 数 列 a n 中 , a 2 , a 3 , a 6
依 次 成 等 比 数 列 ， 则 公 比 是 多 少 ？
解 ： a 3 2 = a 2 • a 6 设 公 差 为 d
a2d2a2a24d
d2 2a2d d0
●
●
等比数列的通项公式
a2 a1q a3 a2q a1q2 a4 a3q a1q3
an an1q a1qn1
a2 q a3 q … an q
a1
a2
a n1
a2a3 an q n 1
a1 a2
an1
ana1qn1
不完全归纳法
连乘法
等比数列通项公式为：
ana1qn1 amqnm
a q3
，a，aq，aq3 q
例: 有四个数，其中前三个数成等 比数列，后三个数成等差数列，并 且第一个数与第四个数的和是21， 第二个数与第三个数的和是18，求 这四个数。
解：方法一设前三个数分别为aq,a,aq
则第四个数为2aqa
a
q
2qa
a
21
q 2或q 3
a aq 18
5
an+1=an+d
an+1=an q
通项公式 一般形式
an= a1+(n-1)d
an=am+(n-m)d
d an am nm
an=a1qn-1
an=amqn-m
qnm an am
例:求下列等比数列的第4，5a项n ：a1•qn1
（1） 5，-15，45，…
a45(3)4113 , a 555(3)5140. 5
10
9 数列：4，4，4，4，4，4，4，…
8
7 6
an 4
5
4
● ● ●● ●●● ● ● ●
3 2
1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
10 9 数列：1，-1，1，-1，1，-1，1，… 8
7
6 5
an 1n1
4
3
2
1●
●
●
●
●
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
●
●
●
a d
12 6
或
a
d
27 4 9 2
这 四 个 数 为 3 ， 6 ， 1 2 ， 1 8
或75，45，27，9 4 4 44
方 法 三 设 前 一 个 数 为 a,则 第 四 个 为 21-a 第 二 个 数 为 b,则 第 三 个 为 18-b
ba2118ab2(1b82 b)
a
b
那么每次降价后的单价应是降价前的(1-x)倍.
将原单价与三次降价后的单价依次排列，就组成一个依
(1-x)为的公比等比数列 a n
由已知条件，有
，
若原价格
a 1 1,a 7 4 5 4 ,n 8 4 ,q 为1 ax ，则降
因此5，8174(1x)41. 价x后的价 整理后，得（ 1x） 31，1x格 3应1 为0.693 x 1 0 .69 33 % 13 a-ax=3a(1-x)
a3 a5 6
数 列 等差数列
等比数列
关系式
an=am +(n-m) d
an=amqn-m
性 质 m+n=s+t an+am=as+at m+n=s+t anam=asat
中项 构造三数 构造四数
2b=a+c
b2=ac
a，a+d，a+2d
a-d，a，a+d
或
a,
aq,
aq2
或
a q
，a，
aq
a-3d，a-d，a+d， a+3d
3或 6
a
b
75 4 45 4
这 四 个 数 为 3 ， 6 ， 1 2 ， 1 8
或75，45，27，9 4 4 44
判断或证明数列 a n 是否为等比
数列,一般是先求出通项公式,再判 断或证明,判断证明的方法主要有 以下四种:
1 2 、 、 aana n 1n 2 qa n n 1 • N a * n , q 1n 0, a1 2 ,a 0n 0
因a此 5121 02510 2.51010
答：到第5代大约可以得到
an a1•qn1
这种新品种的种子 2.51010粒.
例 :某种电讯产品自投放市场以来，经过三次降
价，单价由原来的174元降到58元. 这种电讯产品平
均每次降价的百分率大约是多少（精确到1%）？
解：设平均每次降价的百分率是x，
an a1•qn1
等比数列
复习：
(1)什么叫等差数列?
如果一个数列从第2项起,每一项与它前一项的差等于同一个常 数,那么这个数列就叫做等差数列.其表示为:
anan1d(d为常 ,n2 数 )
(2)a等n=差a数1+列(n的-1通)d项公a n 式 是a 什m 么( ?n m ) d(其 中 n ,m N )
1、q=1为常数列，q<0为摆动数列 2、那么q>1或0<q<1数列为什么数列呢?
q>1, a1>0,数列为递增； a1<0,数列为递减；
0<q<1, a1>0,数列为递减； a1<0,数列为递增；
数列 定义 公差（比）
等差数列 an+1-an=d d 叫公差
等比数列
an1 an q
q叫公比
定义变形
等差数列 a n 的前n项和
A ab 2
Sn
n（a1 an) 2
Sn n1 an（ n 21)d
当公差d=0时，Sn na1 ， 当d≠0时，Snd2n2(a1d2)n , 是关于n的二次函数且常数项
Sn na nn（ n 21)d
为0.
变形虫分裂问题
假设每经过一个单位时间每个变形虫 都分裂为两个变形虫，再假设开始有一个变 形虫，经过一个单位时间它分裂为两个变形 虫，经过两个单位时间就有了四个变形 虫，…，一直进行下去，记录下每个单位时 间的变形虫个数得到了一列数这个数列也具 有前面的几个数列的共同特性，这是我们将 要研究的另一类数列——等比数列.
于同一个常数（指与n无关的数），这个数列就叫做等差数列，