2019最新考研数学模拟试题（含答案）学校：__________考号：__________一、解答题1．一平面曲线过点（1，0），且曲线上任一点（x , y ）处的切线斜率为2x －2，求该曲线方程.解：依题意知：22y x '=-两边积分，有22y x x c =-+又x =1时，y =0代入上式得c =1，故所求曲线方程为221y x x =-+.2．设()()(),,,,,,w f x y z u g x z v h x y ===，求,,w w w x y z∂∂∂∂∂∂. 解：,w w w v w w u w v w w u x x v x y u y v x z u z∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=+=+=∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂，3．球的半径以速率v 改变，球的体积与表面积以怎样的速率改变？解： 324d π,π,.3d r V r A r v t=== 2d d d 4πd d d d d d 8πd d d V V r r v t r t A A r r v t r t=⋅=⋅=⋅=⋅4．一点沿曲线2cos r a ϕ=运动，它的极径以角速度ω旋转，求这动点的横坐标与纵坐标的变化率.解： 22cos 2cos sin sin 2x a y a a ϕϕϕϕ⎧=⎨==⎩d d d 22cos (sin )2sin 2,d d d d d d 2cos 22cos .d d d x x a a t t y y a a t tϕϕϕωωϕϕϕϕωωϕϕ=⋅=⋅⋅-⋅=-=⋅=⋅=5．计算抛物线y =4x －x 2在它的顶点处的曲率.解：y =－(x －2)2+4，故抛物线顶点为(2，4)当x =2时， 0,2y y '''==- ，故 23/22.(1)y k y ''=='+6．求曲线y =ln x 在与x 轴交点处的曲率圆方程.解：由ln 0y x y =⎧⎨=⎩解得交点为(1，0). 1112111,1 1.x x x x y x y x ===='==''=-=- 故曲率中心 212(1,0)(1)312x y y x y y y y αβ=⎧''⎡⎤+==-⎪⎢⎥''⎣⎦⎪⎨'⎡⎤+⎪==-+⎢⎥⎪''⎣⎦⎩曲率半径为R =故曲率圆方程为：22(3)(2)8x y -++=.7．设总收入和总成本分别由以下两式给出：2()50.003,()300 1.1R q q q C q q =-=+其中q 为产量，0≤q ≤1000，求：(1)边际成本；(2)获得最大利润时的产量；(3)怎样的生产量能使盈亏平衡？解：(1) 边际成本为：()(300 1.1) 1.1.C q q ''=+=(2) 利润函数为2()()() 3.90.003300() 3.90.006L q R q C q q q L q q=-=--'=- 令()0L q '=,得650q =即为获得最大利润时的产量.(3) 盈亏平衡时： R (q )=C (q )即 3.9q －0.003q 2－300=0q 2－1300q +100000=0解得q =1218(舍去)，q =82.8．利用洛必达法则求下列极限：⑴ πsin 3lim tan 5x x x →; ⑵ 3π2ln sin lim (2)x x x π→-; ⑶ 0e 1lim (e 1)x x x x x →---; ⑷ sin sin lim x a x a x a→--; ⑸ lim m mn n x a x a x a →--; ⑹ 1ln(1)lim cot x x arc x→+∞+; ⑺ 0ln lim cot x x x +→; ⑻ 0lim sin ln x x x +→; ⑼ 0e 1lim()e 1x x x x →--; ⑽ 01lim(ln )x x x+→; ⑾ 2lim (arctan )πx x x →+∞⋅; ⑿ 10lim(1sin )x x x →+; ⒀ 0lim[ln ln(1)]x x x +→⋅+; ⒁lim )x x →+∞; ⒂ sin 0e e lim sin x x x x x →--; ⒃ 210sin lim()x x x x→; ⒄ 1101lim[(1)]e x x x x →+.解：⑴ 原式=2π3cos33lim 5sec 55x x x →=-. ⑵ 原式=2ππ221cot 1csc 1lim lim 4π-2428x x x x x →→--=-=--. ⑶ 原式=000e 1e 11lim lim lim e 1e 2e e 22x x x x x x x x x x x x →→→-===-+++. ⑷ 原式=cos lim cos 1x a x a →=. ⑸ 原式=11lim m m n n x a mx m a nx n---→=. ⑹ 原式=22221()11lim lim 111x x x x x x x x x →+∞→+∞⋅-++==+-+. ⑺ 原式=22001sin lim lim 0csc x x x x x x++→→=-=-. ⑻ 原式=001ln lim lim 0csc csc cot x x x x x x x++→→==-⋅.⑼ 原式22200e e e e lim =lim (e 1)x x x x x x x x x x x →→----=-202e e 1=lim 2x x x x→-- 204e e 3=lim 22x x x →-=. ⑽ 原式=0lim(1ln )xx x +→- 令(1ln )xy x =- 00020011()ln(1ln )1ln lim ln lim lim 111 lim lim 011ln x x x x x x x x y x xx x x+++++→→→→→⋅---==-===-- ∴原式=00lim e 1x y +→==. ⑾ 令2(arctan )πx y x =⋅，则 2222211lnln arctan πarctan 1lim ln lim lim 1112 lim arctan 1πx x x x x x x y x xx x x →+∞→+∞→+∞→+∞+⋅+==-=-⋅=-+ ∴原式=2πe -.⑿ 令1(1sin )x y x =+，则000cos ln(1sin )1sin limln lim lim 11x x x xx x y x →→→++=== ∴原式=e =e '.⒀ 原式00ln lim(ln )lim 1x x x x x x ++→→=⋅=0021=lim =lim()01x x x x x++→→-=- ⒁原式lim x x→+∞= 2234232311111=lim (1)(23)=33x x x x x x x x ----→+∞+++⋅++⋅⒂ 原式sin sin 0e (e 1)lim sin x x x x x x -→-=-sin 00e (sin )=lim =e =1sin x x x x x x→⋅-- ⒃ 令12sin ()x x y x =，则 200023002220011cos ln sin ln sin lim ln lim lim 2cos sin cos sin lim lim 2sin 2cos sin cos 1 lim lim .666x x x x x x x x x x xx y x xx x x x x x x x x x x x x x x x →→→→→→→--==--==---===- ∴原式=16e -.⒄ 令111[(1)]e x x y x =+，则11ln [ln(1)1]x y x x=+- 2000011ln(1)1lim ln lim lim 2111 lim .212x x x x x x xy x x x →→→→-+-+===-=-+9．设21lim 51x x mx n x →++=-,求常数m , n 的值. 解：要使21lim 51x x mx n x →++=-成立，则21lim()0x x mx n →++=,即10m n ++= 又2112lim lim 2511x x x mx n x m m x →→+++==+=- 得3,4m n ==-10．求下列函数的极值:(1) 223y x x =-+；解: 22y x '=-,令0y '=，得驻点1x =.又因20y ''=>，故1x =为极小值点，且极小值为(1)2y =.(2) 3223y x x =-；解: 266y x x '=-,令0y '=，得驻点120,1x x ==, 126y x ''=-,010,0x x y y ==''''<>,故极大值为(0)0y =，极小值为(1)1y =-.(3) 3226187y x x x =--+；解: 2612186(3)(1)y x x x x '=--=-+,令0y '=，得驻点121,3x x =-=. 1212y x ''=-,130,0x x y y =-=''''<>,故极大值为(1)17y -=，极小值为(3)47y =-.(4) ln(1)y x x =-+；解: 1101y x'=-=+，令0y '=，得驻点0x =. 201,0(1)x y y x =''''=>+,故(0)0y =为极大值. (5) 422y x x =-+；解: 32444(1)y x x x x '=-+=-，令0y '=，得驻点1231,0,1x x x =-==. 210124, 0,0,x x y x y y =±=''''''=-+<>故(1)1y ±=为极大值，(0)0y =为极小值.(6) y x =+解: 1y '=-,令0y '=，得驻点13,4x =且在定义域(,1]-∞内有一不可导点21x =，当34x >时， 0y '<;当34x <时， 0y '>,故134x =为极大值点，且极大值为35()44y =. 因为函数定义域为1x ≤，故1x =不是极值点. (7)y =解:y '=,令0y '=，得驻点125x =.当125x >时， 0y '<；当125x <，0y '>,故极大值为12()5y =(8) 223441x x y x x ++=++； 解: 2131x y x x +=+++,22(2)(1)x x y x x -+'=++, 令0y '=，得驻点122,0x x =-=.2223(22)(1)2(21)(2)(1)x x x x x x y x x --+++++''=++200,0x x y y =-=''''><,故极大值为(0)4y =，极小值为8(2)3y -=. (9) e cos x y x =；解: e (cos sin )x y x x '=-,令0y '=，得驻点ππ (0,1,2,)4k x k k =+=±±. 2e sin x y x ''=-，ππ2π(21)π440,0x k x k y y =+=++''''<>，故2π2π 4k x k =+为极大值点，其对应的极大值为π2π42()e 2k k y x +=;21π(21)π 4k x k +=++为极小值点，对应的极小值为π(21)π421()e 2k k y x +++=-. (10) 1xy x =；解: 11211ln (ln )x x x y x x x x x-''==, 令0y '=，得驻点e x =. 当e x >时， 0y '<，当e x <时， 0y '>, 故极大值为1e (e)e y =.(11) 2e ex x y -=+； 解: 2e e x x y -'=-,令0y '=，得驻点ln 22x =-. ln 222e e ,0x x x y y -=-''''=+>,故极小值为ln 2()2y -=. (12) 232(1)y x =--；解:y '=. y 的定义域为(,)-∞+∞，且y 在x =1处不可导，当x >1时0y '<，当x <1时， 0y '>，故有极大值为(1)2y =. (13) 1332(1)y x =-+；解:y '=.无驻点.y 在1x =-处不可导，但y '恒小于0，故y 无极值. (14) tan y x x =+.解: 21sec 0y x '=+>, y 为严格单调增加函数，无极值点.11．设12()()()()0n p x f x f x f x =≠，且所有的函数都可导，证明： 1212()()()()()()()()n n f x f x f x P x P x f x f x f x ''''=+++ 证明： 1212121212()1[()()()()()()()()()]()()()()() .()()()n n n n n P x f x f x f x f x f x f x f x f x f x P x P x f x f x f x f x f x f x ''''=+++'''=+++12．问a ，b 为何值时，点(1，3)为曲线y =ax 3+bx 2的拐点？解：y′=3ax 2+2bx , y″=6ax +2b 依题意有3620a b a b +=⎧⎨+=⎩解得 39,22a b =-=. 13．垂直向上抛一物体，其上升高度与时间t 的关系式为：21()10(m),2h t t gt =-求： ⑴ 物体从t =1(s)到t =1.2(s)的平均速度：解：11112 1.4410(1.2)(1)220.78 (m s )1.210.2g g h h v --⨯-+-===-⋅- ⑵ 速度函数v (t )；解：()()10v t h t gt '==-.⑶ 物体何时到达最高.解：令()100h t gt '=-=,得10 (s)t g =, 即物体到达最高点的时刻为10 s.t g=14．用分部积分法求下列不定积分：2(1)sin d x x x ⎰;解：原式=222dcos cos 2cos d cos 2dsin x x x x x x x x x x x -=-+⋅=-+⎰⎰⎰2cos 2sin 2cos .x x x x x c =-+++(2)e d x x x -⎰;解：原式=de e e d e e .x x x x x x x x x c ------=-+=--+⎰⎰(3)ln d x x x ⎰;解：原式=222211111ln d ln d ln 22224x x x x x x x x x c ⋅=-=-+⎰⎰. 2(4)arctan d x x x ⎰;解：原式=3332111arctan d arctan d 3331x x x x x x x =-+⎰⎰ 322111arctan ln(1).366x x x x c =-+++ (5)arccos d x x ⎰;解：原式=arccos arccos x x x x x c +=.2(6)tan d x x x ⎰;解：原式=22211(sec 1)d d tan tan tan d 22x x x x x x x x x x x -=-=--⎰⎰⎰ 21tan ln .cos 2x x x c x =+-+ (7)e cos d x x x -⎰;解：e cos d e dsin e sin e sin d x x x x x x x x x x ----==⋅+⎰⎰⎰e sin e dcos e sin e cos e cos d x x x x x x x x x x x -----=-=--⎰⎰ ∴原式=1e (sin cos ).2x x x c --+ (8)sin cos d x x x x ⎰;解：原式=1111sin 2d d cos 2cos 2cos 2d 2444x x x x x x x x x =-=-+⎰⎰⎰ 11cos 2sin 248x x x c =-++. 32(ln )(9)d x x x⎰; 解：原式=332111(ln )d (ln )3(ln )d x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰32131(ln )(ln )6ln d x x x x x x ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭⎰ 321366(ln )(ln )ln .x x x c x x x x=----+(10)x . 解：原式tan 23sec d .x a t a t t =⎰又 32sec d sec (tan 1)d tan d(sec )sec d t t t t t t t t t =+=+⎰⎰⎰⎰ 3tan sec sec d ln sec tan t t t t t t =⋅-++⎰所以 311sec d tan sec ln sec tan 22t t t t c t t '=+++⎰ 故11ln .22x c x =+15．用定义判断下列广义积分的敛散性，若收敛，则求其值：22π11(1)sin d x x x+∞⎰; 解：原式=22ππ1111lim sin d lim cos lim cos 1.bb b b b x bx x →+∞→+∞→+∞⎛⎫-=== ⎪⎝⎭⎰ 2d (2);22x x x +∞-∞++⎰ 解：原式=002200d(1)d(1)arctan(1)arctan(1)(1)1(1)1x x x x x x +∞+∞-∞-∞+++=+++++++⎰⎰πππππ.4242⎛⎫=-+-=- ⎪⎝⎭ 0(3)e d n x x x +∞-⎰ (n 为正整数)解：原式=1000e d de e n x n x n x n x x x x +∞+∞+∞----+-=-⎰⎰1000e d !e d !n x x n x x n x n +∞+∞---=+===⎰⎰0(4)(0)aa >⎰; 解：原式=00000πlim lim arcsin lim arcsin .12a a x a a εεεεεε+++--→→→⎛⎫===- ⎪⎝⎭⎰e 1(5)⎰;解：原式=()e e 0110πlim arcsin(ln )lim lim arcsin .ln(e )2x εεεεεε+++--→→→===-⎰1(6)⎰.解：原式=110+⎰22122111202lim 2lim πππlim lim 2222π.424εεεεε++-→→→→=+⎛⎫=+=⋅+=- ⎪⎝⎭⎰16．已知sin πd 2x x x +∞=⎰，求： 0sin cos (1)d ;x xx x+∞⎰解：(1)原式=001sin(2)1sin πd(2)d .2224x t x t x t +∞+∞==⎰⎰22sin (2) d .x x x+∞⎰解：222002200200020000sin 1cos 2d d 21cos 2d d 22111d cos 2d 2211111d cos 2dcos2222111sin 2cos 2d2222ππ0.22x x x x x xx x x x x x x x xx x x x x xx x xx x x +∞+∞+∞+∞+∞+∞+∞+∞+∞+∞+∞-==-=+=+⋅-⎡⎤=-+⋅+⎢⎥⎣⎦=+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰17．（1）解：112xn n=∞相当于P 级数中P x = 当1P >时112p n n =∞收敛，1P ≤时，112pn n =∞发散.从而当1x >时，112x n n =∞收敛，1x ≤时，112xn n =∞发散. 从而112xn n =∞的收敛域为(1,)+∞ 从而111(1)2n x n n+=∞-的收敛域为(0,1)(1,)+∞. （2）解：当1x >时，112x n n =∞收敛，则111(1)2n xn n+=∞-收敛. 当0x ≤时，111(1)2n x n n+=∞-发散，(0)n U当01x <<时，111(1)2n x n n+=∞-收敛.（莱布尼兹型级数）18．将下列函数f (x )展开为傅里叶级数： (1)()()πππ42x f x x =--<<(2)()()sin 02πf x x x =≤≤解：(1) ()ππ0-ππ11ππcos d d ππ422x a f x nx x x -⎛⎫==-= ⎪⎝⎭⎰⎰ []()ππππ-π-πππ1π11cos d cos d x cos d π4242π1sin 001,2,4n x a nx x nx x nx xnx n n--⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭=-==⎰⎰⎰()ππππ-π-π1π11sin d sin d xsin d π4242π11n n x b nx x nx x nx x n-⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭=-⋅⎰⎰⎰故()()1πsin 14n n nxf x n∞==+-∑ (-π<x <π)(2)所给函数拓广为周期函数时处处连续， 因此其傅里叶级数在[0,2π]上收敛于f (x )，注意到f (x )为偶函数，有b n =0,()ππ0πππ011cos0d sin d ππ24sin d ππa f x x x x x x x --====⎰⎰⎰()()()()()()ππ0ππ02222cos d sin cos d ππ1sin 1sin 1d π211π10,1,3,5,4,2,4,6,π1n na f x nx x x nx xn x n x x n n n n -===+--⎡⎤⎣⎦-⎡⎤=+-⎣⎦-=⎧⎪-=⎨=⎪-⎩⎰⎰⎰所以()()2124cos2ππ41n nx f x n ∞=-=+-∑ (0≤x ≤2π)19．求下列函数的傅里叶积分：(1)()e ,00,0t t f t t -⎧≥=⎨<⎩(2)()1,101,010,t f t t --<<⎧⎪=<<⎨⎪⎩其他解：(1)()()02e d e e d 1111i t t i t Ff t t t i i ωωωωωω+∞+∞----∞==⋅-==++⎰⎰()()2220111e d e d 2π2π11cos sin d 2π11cos sin d π1i ti t i f F t t t t t t t ωωωωωωωωωωωωωωω+∞+∞-∞-∞+∞-∞+∞-==++=++=+⎰⎰⎰⎰ (2) ()()()()110e d d e d e 21cos i t i t i t F f tt t t i ωωωωωω+∞--∞---==+--=⎰⎰⎰()()()()()()()()01121cos e d e d 2π2π11cos d cos sin π1sin 1cos d π2sin 1cos d 0,1πi ti t f F t i t i t i t t t ωωωωωωωωωωωωωωωωωωωω+∞+∞-∞-∞+∞-∞+∞-∞+∞-==-=+-=-=≠⎰⎰⎰⎰⎰20．求面密度为0ρ的均匀半球壳x 2+y 2+z 2=a 2(z ≥0)对于z 轴的转动惯量。