常微分方程基础练习题答案求下列方程的通解1.dyxy dx= 分离变量 dy xdx y =，22xy Ce =，C 为任意常数2.0xydx = 分离变量dy y =，y =C 任意常数3.ln 0xy y y '-= 分离变量1ln dy dx y y x=，x y Ce = 224.()()0xy x dx x y y dy ++-= 分离变量2211ydy xdx y x=+-，22(1)(1)y x C +-= 25.(25)dy x y dx =++ 令25u x y =++则2du dy dx dx =+，22du dx u =+1x C =+ 6.dy x y dx x y +=-，原方程变为11ydy x y dx x+=-，令y u x =，dy du u x dx dx=+，代入得22111u du dx u x -=+ 2arctan ln u u x C -=+，yu x=回代得通解2arctan ln y y x C x x =++7.0xy y '-=方程变形为0dy y dx x =+=，令y u x =dx x = arctan ln u x C=+，yu x=回代得通解arctan ln y y x C x x =++8.ln dy y xy dx x =，方程变形为ln dy y y dx x x =，令y u x =，(ln 1)du dx u u x=-，1Cx u e +=，1Cx y xe +=9.24dy xy x dx+=，一阶线性公式法222(4)2xdx xdx x y e xe dx C Ce --⎰⎰=+=+⎰210.2dy y x dx x-=,一阶线性公式法1123(2)dx dx x x y e x e dx C x Cx -⎰⎰=+=+⎰2211.(1)24x y xy x '++=，方程变形为2222411x x y y x x '+=++一阶线性公式法3214()13y x C x =++ 212.(6)20dyy x y dx-+=，方程变形为312dx x y dy y -=-一阶线性公式法2312y y Cy =+213.3y xy xy '-=，方程变形为2113dy x x y dx y -=伯努利方程，令12,dz dy z y y dx dx--==-代入方程得3dz xz x dx+=-一阶线性公式法再将z 回代得232113x Ce y -=- 41114.(12)33dy y x y dx +=-，方程变形为431111(12)33dy x y dx y +=-伯努利方程，令 34,3dz dy z y y dx dx --==-代入方程得21dzz x dx-=-，一阶线性公式法再将z 回代得3121xCe x y=-- 15.560y y y '''++=，特征方程为2560r r ++=，特征根为122,3r r =-=-，通解2312x x y C e C e --=+16.162490y y y '''-+=，特征方程为2162490r r -+=，特征根为1,234r =，通解3412()x y C C x e =+17.0y y '''+=，特征方程为20r r +=，特征根为120,1r r ==-，通解12x y C C e -=+18.450y y y '''-+=，特征方程为2450r r -+=，特征根为122,2r i r i =-=+，通解212(cos sin )x y e C x C x =+219.()0x y dx xdy --=，全微分方程2()0x dx ydx xdy -+=，3()03x d d xy -=，通解33x xy C -= 320.()()0x y dx x y dy ---=，全微分方程3()0x dx ydx xdy ydy -++=，42()042x y d d xy d -+=，通解4242x y xy C -+=2221.()(2)0x y dx xy y dy +++=全微分方程22(2)0x dx y dx xydy ydy +++=，322()032x y d d xy d ++=，通解32232x y xy C ++=22.(cos cos )sin sin 0x y x y y x y '+-+=，全微分方程(cos sin )(cos sin )0x ydy ydx xdy y xdx ++-=，(sin )(cos )0d x y d y x +=，通解 sin cos x y y x C +=2223.(3)(2)x y dx x y x dy C ++-=，22320x dx x ydy ydx xdy ++-=，积分因子21x μ=，方程变为2320ydx xdy dx ydy x -++=，230y d x dy d x +-=，通解23y x y C x+-=2224.()xdx ydy x y dx +=+，积分因子221x y μ=+，方程变为220xdx ydydx x y+-=+，221[ln()]02d x y dx +-=通解221ln()2x y x C +-= 2225.()0x y y dx xdy ++-=，22()0x y dx ydx xdy ++-=，积分因子221x y μ=+，方程变为220ydx xdy dx x y -+=+，arctan 0x dx d y +=，通解arctan xx C y+= 326.sin x y e x ''=+，可降阶()()n y f x =型，逐次积分得通解3121sin 9x y e x C x C =-++ 227.1y y '''=+，可降阶令()p x y '=，原方程化为21p p '=+可分离变量型，得1tan()y p x C '==+，积分得通解12ln cos()y x C C =-++28.y y x '''=+，可降阶(,)y f x y '''=型，令()p x y '=，原方程化为p p x '-=，一阶线性非齐次公式法得11xy p C e x '==--，积分得通解21212x y C e x x C =--+ 329.y y y ''''=+，可降阶(,)y f y y '''=型，令(),dp p y y y pdy '''==，原方程化为3dpp p p dy=+ 即2[(1)]0dp p p dy -+=，0p =是方程的一个解，由2(1)0dpp dy-+=得1arctan p y C =-即1tan()y p y C '==-，通解为21arcsin x C y e C +=+30.24x y y y xe '''-+=，二阶常系数非齐次()()x m f x e P x λ=型，1λ=是特征方程2210λλ-+=的重根，对应齐次方程的通解为12()x Y C C x e =+，设特解为*2()xy x ax b e =+，代入方程得(62)4xxax b e xe +=，得2,03a b ==，故原方程的特解为*323x y x e =，原方程通解为3122()3xx y C C x e x e =++231.x y a y e ''+=，二阶常系数非齐次()()x m f x e P x λ=型，特征方程220r a +=，特征值为1,2r ai=±，对应齐次方程的通解为12cos sin Y C ax C ax =+，1λ=不是特征根，设原方程特解为*x y Ae =，代入方程得2x x xAe a Ae e +=，得211A a=+则*21xe y a =+，原方程通解为122cos sin 1xe y C ax C ax a =+++32.cos y y x x ''+=+，对应齐次方程的通解为12cos sin Y C x C x =+，设y y x ''+=的一个特解为1y Ax B =+代入此方程得1,0A B ==，故1y x =；设cos y y x ''+=的一个特解为2cos sin y Ex x Dx x =+代入此方程得10,2E D ==，故21sin 2y x x =；原方程通解为121cos sin sin 2Y C x C x x x x =+++ 33.69cos x y y y e x '''-+=，特征方程2690r r -+=，特征值为1,23r =，对应齐次方程的通解为3312x x Y C e C xe =+，1i λ=±不是特征根，原方程特解设为*(cos sin )x y e a x b x =+代入方程得34,2525a b ==-，则*34(cos sin )2525x y e x x =-，原方程通解为331234(cos sin )2525x x x Y C e C xe e x x =++- 34.已知3222123,,x x x x xy e xe y e xe y xe =-=-=-是某二阶常系数非齐次线性方程的三个解，则该方程的通解y =（ ）答案：3212x x xy C e C e xe =+-，31323,x xy y e y y e -=-=是对应齐次方程两个线性无关的解35.函数212x x xy C e C e xe -=++满足的一个微分方程是（ ）()23x A y y y xe '''--= ()23x B y y y e '''--= ()23x C y y y xe '''+-= ()23x D y y y e '''+-=解析：特征根为121,2λλ==-，则特征方程为(1)(2)0λλ-+=即220λλ+-=，故对应齐次方程为20y y y '''+-=；*x y xe =为原方程的一个特解，1,λ=为单根，故原方程右端非齐次项应具有()xf x Ce =的形式。