振幅放大因子
(s)
1
(1s 2 )2 (2 s)2
相位差 (s) tan 1 2 s
1s 2
3
任意周期激励的响应
•已知：
xc

xe
it
,x

H
(
)
F0
,H
(
)

1 k

e
i
•则可以得到：
xc

1 k
ei
F0 e it

F0 k
eit
F0 cost isint
bn
sin
nt )
任意周期激励的响应
系统的稳态响应为:
x(t) a0 an cos(nt n ) bn sin(nt n )
2k n1 k [1 (n / 0 )2 ]2 (2 n / 0 )2
其中
0
k c
周期函数F(t)可展开成Fourier级数，即可分解为无穷个谐波函 数之和。
F (t )

a0 2


(an
n1
cos nt
bn
sin nt)
其中
a0


2 T
T
F (t)dt

an


2 T
T
F (t)cos ntdt

bn

2 T
T
F (t)sin ntdt
2

2F0 T

T
2 sin ntdt
0
T

T sin ntdt
2


2F0 T

2
n

2 cos n n

任意周期激励的响应
对于
bn

2F0 T

2
n

2 cos n n

当 n 取偶数时： bn 0n 2, 4, 6
若激励F(t) 有
F(t) F(t T )
则F(t)为周期激励， T为周期。
线性系统满足叠加原理
若
F1 (t )
线性系统
x1 (t )
F2 (t)
x2 (t)
线性系统
则 c1F1(t) c2F2 (t) 线性系统 c1x1(t) c2 x2 (t)
5
任意周期激励的响应
Fourier变换
x(t) 4F0
k n1,3,5
n[1

1
(n
/
0
)2
]
sin(nt)
记：
Bn

4F0
n k[1 (n / 0 )2 ]
•设： xc xeit x：稳态响应的复振幅
•代入振动微分方程，有：
mx 2eit cxieit kxeit F0eit
x H ()F0 复频响应函数
H ()
1
k m 2 ic
•令：
0
k m
c
2 km
s 0
则有：
H () 1[ 1s2 2 si ] 1 ei k (1s2 )2 (2 s)2 k
当 n sin nt
n n1,3,5...
4F0 (sin t 1 sin t 1 sin 5t )

3
5
任意周期激励的响应
系统运动方程： mx cx kx F(t)
把所有特解叠加起来，就得到系统在周期激振力作 用下的稳态响应：
m
20m
n

arctan
1
2 n (n
/ 0 / 0 )
2
任意周期激励的响应
系统在周期激励下的响应特点：
（1）线性系统在周期激励下的响应仍为周期函数， 且响应周期与激励周期相等。
（2）线性系统在周期激励下的响应波形发生畸变。
（3）无阻尼系统，有：
H (n)
1
1 (n / 0 )2

频率 ω=2π/T 成为基频，T为F(t)的周期。
6
任意周期激励的响应
Fourier分析法（谐波分析法）
先对周期激励作谐波分析，将它分解为一系列不同频 率的简谐激励，然后求出系统对各个频率的简谐激励的响 应，再根据线性系统的叠加原理，将各个响应逐一叠加， 即得到系统对周期激励的响应。
这种对系统响应的分析方法被称为谐波分析法。
单自由度系统受迫振动
姓 名: 何江波 学 院: 机械工程学院 邮 箱：445875183@
2019/6/19
教学内容
• 简谐力激励的受迫振动 • 任意周期激励的响应 • 瞬态振动
2
任意周期激励的响应
振动微分方程：mxcxkx F0 sint
•令：Fc F0 costisint F0eit
当 n / 0 ，有 H (n)
当基频是自然频率的整数分之一时就可能发生共振。
任意周期激励的响应
例：质量-弹簧系统受到周
F(t)
期方波激励
F0
周期 T 12 0
-F0
t
0 是系统的固有频率
T
求：系统的稳态响应，画出响应的频谱图
任意周期激励的响应
解：
周期方波激励的基频：
2
0
T6
周期方波可以分解为：
F (t )

a0 2

n1
(an
cos nt
bn
sin
nt)


a0

2 T
T
F (t)dt0



an

2 T
T
F (t) cos ntdt 0

前两项积分项均为奇函 数，因而积分均为零，
任意周期激励的响应
假设系统受到的周期激振力为： F(t) F(T t)
其中T为周期，记 2 通过谐波分析F(t) 可写为:
T
F (t )

a0 2

n1
(an
cos nt
bn
sin
nt)
系统的运动微分方程为:
mx

cx

kx

a0 2

n1
(an
cos nt
k
若： F (t) F0 sint
则： x(t) F0 sint
k
若： F (t) F0 cost
则： x(t) F0 cost
k
4
任意周期激励的响应
前面各节讨论的强迫振动中，都假设了系统受到的激励为简谐激 励，但实际工程问题中遇到的大多是周期激励而很少为简谐激励。
bn

2 T
T
F (t) sin ntdt

任意周期激励的响应

F (t) bn sin nt
n1
2 bn T
T
F(t)sin ntdt

bn

2 T
T 2 0
F0
sin
ntdt

2 T
T
T F0 sin ntdt