第五章 向量空间向量空间或称线性空间是一个重要的代数系统（定义了代数运算的集合），现代数学所涉及的欧氏空间、U 空间、希尔伯特空间等都是建立在向量空间的基础上的.我们知道,在n 元向量集和n m ⨯矩阵集中,都分别定义了加法和数乘运算,并且就这两种运算的基本性质而言,在形式上是完全一样的.向量空间就是对这类集合的共性的抽象.学习向量空间的理论,不仅有助于深化对矩阵理论、线性方程组理论等内容的理解,同时也为后面两章内容的讨论奠定了基础.除此之外,向量空间的理论和方法在自然科学、工程技术等领域都有一定的应用.本章重点是向量空间的定义、基、内积、正交矩阵等.5.1 向量空间的概念定义 1 设V 是一个非空集,F 是一个数域．如果：1) V 中定义了一个加法．α∀、∈βV , V 中有唯一确定的元与它们对应,这个元称为α与β的和,记为α+β.2) F 到V 有一个数量乘法．k ∀∈F ,∀α∈V ,V 中有唯一确定的元与它们对应,这个元称为k 与α的数量乘积,记为αk .3) 加法与数量乘法满足以下算律： ∀α、β、γ∈V ,∀k 、l ∈F 1 α+β=β+α；2 (α+β)+γ=α+(β+γ)；3 0∈V ,称为V 的零元,有0+α=α；4 α-∈V ,称为α的负元,有α+(α-)=0；5 βαβαk k k +=+)(；6 αααl k l k +=+)(；7 )()(ααl k kl =；8 αα=1,那么称V 是数域F 上的一个向量空间.向量空间V 的元称为向量.定义1中的条件1)和2)可以合并为:F l k V ∈∀∈∀、、,βα,有V l k ∈+βα.由于运算是线性的,也将向量空间称为线性空间.例 1 nF 为数域F 上所有n 元向量构成的集,对向量的加法和数乘,nF 是F 上的一个向量空间.例 2 )(},|){()(F M F a a F M ij n m ij ∈=⨯对矩阵的加法和数量乘法构成F 上的一个向量空间.例 3 在解析几何里,平面或空间中从原点出发的一切向量对向量的加法和实数与向量的乘法都构成实数域上的向量空间.分别记为32,V V .例 4 令],[b a C 为定义在区间],[b a 上的一切连续函数所构成的集.对函数的加法,实数与函数的乘法,],[b a C 是实数域上的向量空间.例5 复数域C 是实数域R 上的向量空间.任意数域都是它自身上的向量空间. 由定义1,可以推出向量空间V 的如下几个性质： 1. 在向量空间V 中,零向量是唯一的.事实上,若10与20都是V 的零向量,便有22110000=+=.2. V 中每一向量的负向量是唯一的.事实上,V ∈∀α,若21,αα都是α的负向量,即有0,021=+=+αααα,那么222121110)()(0αααααααααα=+=++=++=+=.规定α-β=α+ (-β). 3. 在V 中, (Ⅰ) 00＝α； (Ⅱ) 00=k ；(Ⅲ) αααk k k -=-=-)()(.事实上, 0=+αα0=+αα1(0+1)ααα==1.等式两边同时加上(-α),得0α=0.故（i ）式成立.由0)00(00k k k k =+=+,两边加上0)(k -,得00=k ,即(ii )式成立.由00)()(==+-=+-k k k k αααα,即)(α-k 是αk 的负元,所以ααk k -=-)(.同样可得ααk k -=-)(.4. 在V 中,如果0=αk ,则=k 0或0=α. 事实上,若0=αk ,而≠k 0,那么001)(1==k k k α.又αααα===1)1()(1k kk k ,故.0=α此外,由于V 中的加法满足交换律﹑结合律,V 中s 个向量相加,可以任意交换各项的次序,任意添加括号,所得结果都相同.定义2 设V 是数域F 上的向量空间,.,φ≠⊆W V W 如果F k W ∈∀∈∀,βα、,有W k W ∈∈+αβα,, (1)那么称W 是V 的一个子空间.由定义,V 的子空间一定含V 中的零向量(则,W ∈α0W ∈=0α).如果W 是V 的子空间,那么W 也是数域F 上的向量空间.这是因为W 对V 的加法和F 到V 的数量乘法封闭，而定义1中的算律1 至8在V 中成立,在W 中当然成立.例 6. 由向量空间V 的零向量构成的集{0}是V 的子空间,称为零空间.V 自身是V 的子空间.这两个子空间都称为V 的平凡子空间.例7. nF 中一切形如),0,,,,(121-n a a a F a i ∈的向量构成的集是nF 的一个子空间.定义2中的条件（1）可表示为:F l k W ∈∀∈∀、、,βαW l k ∈+βα. （2） 反之,若（2）成立,则W 是V 的一个子空间.事实上,在（2）中,令1==l k ,得W ∈+βα;令0=l ,得W k ∈α,由定义2,W 是V 的子空间.在向量空间V 中,我们可以依照3.2中n 元向量线性相关性的表述来定义诸如向量的线性组合、线性相关等相应的概念,从而得出相应的结论.从形式上说,这些概念、结论的表述是完全一样的.只是在向量空间中涉及这些概念、结论的对象——向量以及线性运算,已经不局限于n 元向量及其运算.在此,不再一一列出.现设V 是数域F 上的向量空间,V 中的s 个向量s ααα,,,21 的一切线性组合构成的集},,2,1,|{2211s i F k k k k s i s s =∈+++=ααα是V 的一个子空间.事实上,∀α﹑β∈S ,∀k ∈F ,令s s k k k αααα+++= 2211,2211ααβl l +=s s l α++ ,那么α+β与αk 仍为s ααα,,,21 的线性组合,即有α+β∈S ,αk ∈S .故S 是V 的子空间,它称为由s ααα,,,21 生成的子空间,记为 L (s ααα,,,21 ),s ααα,,,21 称为生成向量.下面我们看一个例子.m 个方程n 个未知量的齐次线性方程组0=AX ,它的所有解向量的集{}元列向量为n A T ααα,0==是n F 的非空子集.若n F ∈βα、（βα、为n 元列向量）,有0,0==βαA A ,那么F k ∈∀,则0)(=+βαA ,0)(=αk A .即F k T ∈∈∀,,βα,有T k T ∈∈+αβα,.因此T 是n F 的一个子空间.由于0=AX 的任一解都可表示为它的基础解系的线性组合,若r n -ηηη,,,21 是0=AX 的一个基础解系,那么α﹑β可表示为r n -ηηη,,,21 的线性组合,于是T 包含于生成子空间),,,(21r n L -ηηη .即 T ⊆),,,(21r n L -ηηη . 反之,任取∈β),,,(21r n L -ηηη ,令F k k k k i r n r n ∈+++=--,2211ηηηβ 为常数,r n i -=,,2,1 ,那么,0)(2211=+++=--r n r n k k k A A ηηηβ ,即β∈T .因而),,,(21r n L -ηηη ⊆T . 故 ),,,(21r n L T -=ηηη .n F 的子空间),,,(21r n L -ηηη 称为齐次线性方程组0=AX 的解空间.最后，我们给出子空间的和的概念。

定义3 设21,W W 是数域F 上的向量空间V 的两个子空间,令 },|{22112121W W W W ∈∈+=+αααα, 称21W W +为子空间1W 与2W 的和.下面证明21W W +是V 的子空间.事实上,由V W V W ⊆∈⊆∈2211,αα,知V ∈+21αα,因而.21V W W ⊆+21W W +至少含1W 与2W 的公共零向量,故φ≠+21W W . 又设21,W W F l k +∈∈βα、、,即有21ααα+=,21βββ+=,其中111,W ∈βα, 222,W ∈βα.因为1W ,2W 是V 的子空间,所以111W l k ∈+βα,.222W l k ∈+βα于是2122112121)()()()(W W l k l k l k l k +∈+++=+++=+βαβαββααβα.故21W W +是V 的一个子空间.子空间的和可以推广到有限个子空间的情形.习 题1. 检验以下集合对于所指定的运算是否构成实数域R 上的向量空间. ⑴ 全体实对称矩阵对矩阵的加法和数量乘法；⑵ 在2V 中,不平行某一向量的全部向量构成的集,对向量的加法和数量乘法； ⑶ 在2V 中,对于向量的加法和如下定义的数量乘法： R k k ∈∀=,αα.2. 证明：向量空间V 如果含有一个非零向量,那么它一定含有无穷多个向量.3. 判断nR 中下列子集哪些是子空间.⑴ ⎭⎬⎫⎩⎨⎧=∑=0|),,,(121ni i n a a a a ;⑵ ⎭⎬⎫⎩⎨⎧=∑=1|),,,(121ni i n a a a a ;⑶ {}n i Z a a a a i n ,,2,1.|),,,(21 =∈.4. 21,W W 是向量空间V 的子空间,证明21W W 也是V 的子空间.5. 在3V 中,设1W 是过原点的平面上的所有向量的集合,2W 是过原点而与该平面相交的直线上所有向量的集合.证明21,W W 都是的3V 子空间,21W W 与21W W +分别含有3V 中哪些向量？5.2 基 维数 坐标在向量空间V 中,只要有一个非零向量α,将α无限重复相加,就可以得到V 中的无穷多个向量.这就是说,除零空间外,其余非零向量空间都有无穷多个向量.这无穷多个向量如何表示,这是需要我们解决的问题.在 5.1中,我们提到了齐次线性方程组的解空间.齐次线性方程组若有非零解,则有无穷多个解,其中每一个解都可以表成基础解系的线性组合.仿照这一事实,我们首先给出定义1 设n ααα,,,21 是向量空间V 中的n 个向量,如果 （i ） n ααα,,,21 线性无关；（ii ）V 中的每一个向量都可由n ααα,,,21 线性表出, 那么,称n ααα,,,21 是V 的一个基.由定义1知,任何非零向量空间都存在基.注意向量空间V 的基与向量组的极大无关组的区别,前者是对无穷多个向量而言,而后者是在有限个向量中定义的.例1 齐次线性方程组的任一个基础解系是它的解空间的一个基.例2 在n F 中,)1,0,,0()0,,0,1,0()0,,0,1(21 ===n εεε，，，线性无关. n n n n a a a F a a a εεεαα+++=∈=∀ 221121),,,(，.故n εεε,,,21 是nF 的一个基,它称为nF 的标准基或自然基.例3 设2M (F )=⎭⎬⎫∈⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎩⎨⎧F a a a a a ij 22211211. 令1A =⎪⎪⎭⎫⎝⎛0001,2A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0010,3A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0100,4A =⎪⎪⎭⎫⎝⎛1000. )(,,,24321F M A A A A ∈,且线性无关.43212),(dA cA bA aA d c b a F M d c b a +++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∀有.故)(,,,24321F M A A A A 是的一个基.例 4 在2V 中,任何两个不共线的向量是它的基；在3V 中,任何三个不共面的向量是它的基.向量空间的基一般不是唯一的.由定义1知,向量空间V 的任意两个基等价,因而它们含有相同个数的向量.为此给出定义2 向量空间V 的一个基所含向量的个数,称为V 的维数,记为V dim . 零空间的维数是0.本教材所涉及的都是维数有限的向量空间.例2中, .dim n F n=例3中, 4)(dim 2=F M .例4中, 3dim ,2dim 32==V V .定理5.2.1 设n V =dim ,则V 中任意n 个线性无关的向量都是V 的基.证 设n ααα,,,21 (I)是V 中n 个线性无关的向量,n βββ,,,21 (II)是V 的一个基,那么(I)可由(II)线性表示.由替换定理知,(I)与(II)等价.V ∈∀ξ,ξ可由(II)线性表示,因而ξ可由(I)线性表示,根据定义1, n ααα,,,21 是V 的基.推论1 若n V =dim ,则V 中任意1+n 不同向量线性相关.推论2 若n V =dim ,则V 中任意)(n r r <个线性无关的向量都可以扩充成V 的一个基.事实上,设r ααα,,,21 (Ⅰ)是V 中r 个线性无关的向量,n βββ,,,21 (Ⅱ)是V 的一个基,那么(Ⅰ)可由(Ⅱ)线性表出.根据替换定理,适当变动(Ⅱ)中向量的次序,用r ααα,,,21 取代(Ⅱ)中前r 个向量后所得向量组r ααα,,,21 ,n r r βββ,,,21 ++ (Ⅲ)与(Ⅱ)等价,因而(Ⅱ)与(Ⅲ)等秩.组(Ⅲ)的秩为n ,故组(Ⅲ)线性无关,从而它是V 的一个基.定理5.2.2 n 维向量空间V 的任一个向量经V 的一个基线性表出时,其表示法是唯一的.证 设n ααα,,,21 是V 的一个基,V ∈α.若n n n n l l l k k k ααααααα+++=+++= 22112211,那么有0)()()(222111=-++-+-n n n l k l k l k ααα .由于n ααα,,,21 线性无关,所以只有0=-i i l k .即i i l k =,.,,2,1n i =定义3 令n ααα,,,21 是向量空间V 的一个基,V ∈β,且n n k k k αααβ+++= 2211, (1) 那么,称n 元有序数组),,,(21n k k k 是β在基n ααα,,,21 下的坐标（或β关于基n ααα,,,21 的坐标）.(1)式亦可表示为:β=(n ααα,,,21 )⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n k k k 21.由定义3知:在例2中,α=),,,(21n a a a 关于标准基n εεε,,,21 的坐标是),,,(21n a a a .在例3 中,⎪⎪⎭⎫⎝⎛d c b a 关于基4321,,,A A A A 的坐标为),,,(d c b a . 向量关于给定基的坐标也称为坐标向量,它是nF 中的向量.求一个向量在给定基下的坐标，可以通过解线性方程组的方法而得到.下面我们讨论向量空间V 的两个基之间关系,以及同一向量在不同基下的坐标之间的关系.设n ααα,,,21 ；n βββ,,,21 是n 维向量空间V 的两个基. 令.,,22112222112212211111n nn n n n n n n n a a a a a a a a a αααβαααβαααβ+++=+++=+++=(2)以),,2,1(n j j =β关于基n ααα,,,21 的坐标为列可构成n 阶矩阵A =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛nn n n n n a a aa a a a a a 212222111211.A 称为由基n ααα,,,21 到基n βββ,,,21 的过渡矩阵.显然任意一个基到自身的过渡矩阵是E .(2)式可以记为(n βββ,,,21 )=(n ααα,,,21 )A . (3) 同样,设B 是由基n βββ,,,21 到基n ααα,,,21 的过渡矩阵,即有(n ααα,,,21 )=(n βββ,,,21 )B . (4) 将(3)代入(4)得(n ααα,,,21 )=(n ααα,,,21 )AB . 因而n E AB =.说明B A ,都是可逆矩阵,1-=A B .反之,设)(ij a A =为任一个n 阶可逆矩阵, n ααα,,,21 是向量空间V 的一个基.令 ,1∑==ni iijj a αβ n j ,,2,1 =.即有(n βββ,,,21 )=( n ααα,,,21 )A . 因为A 可逆,于是得(n ααα,,,21 )=(n βββ,,,21 )1-A . (5) (5)式表明),,2,1(n i i =α可由n βββ,,,21 线性表出.而n ααα,,,21 线性无关,由替换定理,n ααα,,,21 与n βββ,,,21 等价,于是它们等秩,因而n βββ,,,21 线性无关,它也是V 的一个基.上述事实表明,任一个n 阶可逆矩阵都可作为V 的一个基到另一个基的过渡矩阵. (3)式通常称为基变换公式.再看同一向量ξ在不同基下的坐标之间的关系. 设n ααα,,,21 ；n βββ,,,21 是V 的两个基,(n βββ,,,21 )=( n ααα,,,21 )A , (6) 且ξ=(n ααα,,,21 )⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n x x x21= (n βββ,,,21 )⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n y y y 21 .将(6)代入得ξ=(n ααα,,,21 )⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n x x x21=(n ααα,,,21 )A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n y y y 21 .由向量关于某一基的坐标的唯一性,得⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n x x x21=A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n y y y 21, (7)或⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n y y y 21=1-A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n x x x 21. (8) (7)式或(8)式称坐标变换公式.例:已知)0,1,1(),1,0,1(),1,1,0(321===βββ是3F 的一个基,求3F 的自然基321,,εεε到321,,βββ的过渡矩阵,并求3F 的向量)3,1,2(-=α关于基321,,βββ的坐标.解 由.,,213312321εεβεεβεεβ+=+=+=即有(321,,βββ)=(321,,εεε)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛011101110.所以由321,,εεε到321,,βββ的过渡矩阵A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛011101110.而1-A =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛212121212121212121---. 设 α=(321,,βββ)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321y y y . 则由α=(321,,εεε)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-312,得α关于基321,,βββ的坐标⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321y y y =1-A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-312=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-130.求α关于基n βββ,,,21 的坐标,也可通过解方程组求得.事实上，若令332211βββαk k k ++= ，得线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+=+.312213132k k k k k k 解得,01=k 32=k ,13-=k . 与上面计算结果相同.习 题1．设n ααα,,,21 是V 的一个基,求由基n ααα,,,21 到基12,,,αααn 的过渡矩阵.2．证明)1,1,1(),0,1,3(),3,1,1(321-==-=ααα是3R 的一个基,并求)3,0,2(=α在这个基下的坐标.*3.在3R 中，),1,1,1();1,3,2(),1,1,1(),2,1,3(1321=-=-=-=βααα)3212，，＝（β，)10,2(3，=β.证明321,,ααα与321,,βββ都是3R 的基,并求由321,,ααα到321,,βββ的过渡矩阵.4. 设V 是数域F 上全体3阶对称矩阵构成的向量空间,求V dim ,并给出V 的一个基.5. 证明,若向量空间V 的每一个向量都可以唯一表成V 中向量n ααα,,,21 的线性组合,那么n V =dim .6. 设21,W W 都是向量空间V 的子空间,且21W W ⊆,证明：如果21dim dim W W =,那么21W W =.*7. 设)1,1,1,1(),0,1,2,1(21-==αα与)7,3,1,1(),1,0,1,2(21-=-=ββ是4R 中的两组向量,求生成子空间),(21ααL 与),(21ββL 的交的维数.*5.3 向量空间的同构我们知道,在n 维向量空间V 中取定一个基之后, V 中的每一个向量α在这个基下的坐标(n a a a ,,,21 )是nF 中的向量,并且是唯一的.反过来,设n ααα,,,21 是向量空间V 的一个基,对任一个n 元向量(n k k k ,,,21 )nF ∈.令ξn n k k k ααα+++= 2211,则ξ是V 中被唯一确定的一个向量.由此可知, V 中的向量与nF 中的向量存在一个一一对应关系.令n F V f →:,任取V ∈ξ n n k k k αααξ+++= 2211,f (ξ)),,,(21n k k k =,那么容易证明f 是V 到nF 的一个双射.设α,V ∈β,αn n a a a ααα+++= 2211,n n b b b αααβ+++= 2211.则 αn n n b a b a b a αααβ)()()(222111++++++=+ .k αn n ka ka ka ααα+++= 2211, F k ∈.即有f (α+β)=f (α)+f (β), f (k α)=k f (α).这说明在f 下, V 中与n F 中的加法和数量乘法也保持着对应关系.定义1 设V 、U 是数域F 上的向量空间,U V f →:,且f 为双射.如果∀α,F k V ∈∈,β,有（1）f (α+β)=f (α)+f (β); （2）f (k α)=k f ( α),那么称f 是 V 到U 的一个同构映射.此时称V 与U 同构,记为V ≌U .如果f 是 V 到U 的同构映射,由f 是双射,那么1-f是U 到V 的同构映射.其中βα→|:f ,V ∈α而 αβ→-|:1f.向量空间的同构具有:1º 自反性 任意向量空间与它自身同构. 2º 对称性 若V ≌U ,那么U ≌V . 3º 传递性 若V ≌U ,U ≌W ,那么V ≌W .同构的两个向量空间,如果不看他们的元素是什么,则它们在本质上是一样的. 由本节开始的讨论,立即可得定理5.3.1 数域F 上任意一个n 维向量空间V 都与n F 同构. 根据该定理及同构的对称性、传递性,可得 推论 维数相同的两个向量空间同构. 下面讨论同构映射的几个性质.设V ,U 是数域F 上的向量空间, f 是V 到U 的同构映射,则 1. 0)0(=f , )()(ααf f -=-.事实上,在定义1中的条件(2)分别取0=k ,1-=k 即得.2. )()()()(22112211n n n n f k f k f k k k k f αααααα+++=+++ ,其中F k i ∈,V i ∈α,n i ,,2,1 =.(对n 采用数学归纳法可得)3. n ααα,,,21 线性相关,当且仅当)(,),(),(21n f f f ααα 线性相关.V i ∈α,.,,2,1n i =事实上, n ααα,,,21 线性相关,当且仅当有不全为零的数n k k k ,,,21 ,使02211=+++n n k k k ααα .结合性质1,2,则有0)()()(2211=+++n n f k f k f k ααα .因而)(,),(),(21n f f f ααα 线性相关.由性质3知,如果V 中的向量n βββ,,,21 线性无关,那么U 中的向量),(),(21ββf f)(,n f β 也线性无关. ∀ξV ∈ξn n k k k βββ+++= 2211,则f (ξ))()()(2211n n f k f k f k βββ+++= .这表明,如果n βββ,,,21 是V 的基,那么)(,),(),(21n f f f βββ 则是U 的基,因而若V 与U 同构,那么V 与U 有相同的维数.这样定理5.3.1的推论中的条件成为一个充分必要条件.于是有定理5.3.2 两个向量空间同构当且仅当它们有相同的维数.由定理5.3.2知,数域F 上的所有n 维向量空间都与n F 同构,即不看其元素,它们本质上是一样的.因此,我们可以将nF 作为数域F 上所有n 维向量空间的代表.习 题1.设f :V →W 是向量空间V 到W 的一个同构映射. 1V 是V 的子空间.证明)(1V f 是W 的一个子空间.2.详细证明,若f 是向量空间V 到U 的同构映射,则f 的逆映谢1-f 是U 到V 的同构映射.3.复数域C 作为实数域R 上的向量空间,证明2dim =C .5.4 欧氏空间本节我们将由一般数域F 上的向量空间转为对实数域R 上的向量空间的讨论.实数域R 上的向量空间简称为实向量空间.通常的几何空间是实向量空间,它是一般向量空间的基本模型.我们知道,在几何空间3V 中,定义了两个非零向量βα,的内积(或点积,数积):θβαβαcos ||||=⋅, (1)其中||α,||β分别表示βα,的长度,θ为α与β的夹角.在这里,长度与夹角都有直观的几何意义,而这一点对一般n 维实向量空间来说,显然是做不到的.因此,我们不能沿用(1)式来定义一般实向量空间中两个向量的内积,但是我们希望将长度、夹角等概念引进到一般的实向量空间中来.回顾一下3V 中向量内积的基本性质:αββα⋅=⋅;γβγαγβα⋅+⋅=⋅+)(; )()(βαβα⋅=⋅k k ;αα⋅≥0,等号当且仅当0=α时成立.这些式子,从形式上来说,只要稍加改变,是完全可以为一般实向量空间所接受的.为此,我们给出定义1 设V 是一个实向量空间,如果对于V 中任意一对向量α、β，有一个唯一确定的记为<βα,>的实数与它们对应,并且满足如下条件:1) >>=<<αββα,,;2) ><+>>=<+<γβγαγβα,,,; 3) ><>=<βαβα,,k k ;4) ><αα,≥0,等号当且仅当0=α时成立,其中γβα,,是V 中的任意向量,k 为任意实数,那么称<βα,>为向量α与β的内积.此时称V 对于这个内积来说是一个欧几里德空间(简称欧氏空间).例1 2V ,3V 对(1)式确定的内积都是欧氏空间.例2 在nR 里,对于任意两个向量),,,(21n a a a =α,),,,(21n b b b =β,规定n n b a b a b a +++>=< 2211,βα. (2)容易验证,定义1中的条件1)-4)被满足, <βα,>是向量α与β的内积, n R 对这一内积作成一个欧氏空间.例3 ],[b a C 是定义在区间],[b a 上一切连续函数作成的向量空间.对],[b a C 的任意两个向量)(x f ,)(x g , 规定⎰>=<dx x g x f x g x f b a )()()(),(.由定积分的基本性质知,定义1中的条件1)-4)被满足, <)(x f ,)(x g >是)(x f 与)(x g 的内积.],[b a C 对这一内积作成一个欧氏空间.由定义1中的条件1)-4),容易推出如下性质: 1. V ∈∀α, 0,0>=<α. 事实上,在条件3)中,取0=k 即可.2. 综合条件2)、3),V ∈∀γβα,,, R b a ∈∀,,有><+><>=+<γβγαγβα,,,b a b a .一般地,V j i ∈∀βα,, R b a j i ∈,, r i ,,2,1 =; s j ,,2,1 =.有∑∑∑∑====><>=<r i sj j i j i r i s j j j i i b a b a 1111,,βαβα.定义1中的条件4) 0,>≥<αα,即><αα,是一个非负实数,因而><αα,的平方根有意义.定义2 α是欧氏空间V 中的一个向量,算术平方根><αα,称为向量α的长度,记为||α,即><=ααα,||.显然,0=α,0||=α.任何非零向量的长度都是一个正实数.长度为1的向量称为单位向量.如果0≠α,||αα是单位向量,如此来作成单位向量称为对α单位化. 在例2中,22221||n a a a +++=α.在例3中⎰=dx x f x f ba)(|)(|2.仿3V 中两个向量之间距离的概念，我们称βα-为α与β的距离，记为).,(βαd 下面我们给出欧氏空间中的一个重要不等式.定理5.4.1 设α、β是欧氏空间中的任两个向量,则有2,><βα≤.,,>><<ββαα (3)当且仅当α与β线性相关时(3)式才取等号.证 设βα,线性相关,那么或者0=α,或者βαk =,此时均有>><=<><ββααβα,,,2.若βα,线性无关,则对于任意实数k ,0≠+βαk .于是>++<βαβαk k ,＞0.即有><+><+><βββααα,,2,2k k ＞0.因此,该不等式左端关于k 的二次三项式的判别式>><<-><ββααβα,,,2＜0,即2,><βα＜>><<ββαα,,.在例2中,(3)表为211)(n n b a b a ++ ≤))((221221n n b b a a ++++ .这就是柯西（Cauchy ）不等式.在例3中,(3)表为⎰2))()((dx x g x f b a ≤⎰⎰.)()(22dx x g dx x f b a b a这就是许瓦兹（Schwarz ）不等式.最后，我们定义欧氏空间中两个向量的夹角.定义3 设βα,是欧氏空间V 的两个非零向量,满足等式||||,cos βαβαθ><=(4)的θ称为α与β的夹角.由(4)式知,-1≤||||,βαβα><≤1.取0≤θ≤π,则θ是唯一的.(4)表明, βα,非零时,有θβαβαcos ||||,>=<,θ为α与β的夹角.这样一般欧氏空间的内积表示形式与3V 中内积的表示形式趋于统一.当0,0≠≠βα,而0,>=<βα时,2πθ=,此时称α与β正交.规定零向量与任意向量正交.如此有定义4 βα,是欧氏空间两个向量,若,0,>=<βα则称α与β正交.欧氏空间中,向量的长度,两个非零向量的夹角,以及两个向量的距离,都与作成欧氏空间的内积有关.一般地,在同一实向量空间中,不同的内积作成不同的欧氏空间,因而计算长度,夹角,距离的结果一般也不相同.特别要指出的是,今后提到欧氏空间n R ,其内积都是由(2)给出.习 题1.设),,,(21n a a a =α,),,,(21n b b b =β是n R 的任意两个向量,规定n n b na b a b a +++>=< 22112,βα.证明n R 对此规定作成一个欧氏空间.2.在欧氏空间4R 中,求向量α与β的夹角θ:(1))2,3,1,2(=α,)1,2,2,1(-=β; (2))3,2,2,1(=α,)1,5,1,3(=β. 3.设α,β是欧氏空间的任意两个向量,证明||βα+≤||||βα+.当α,β都是非零向量时,在什么情况下可以取等号?4.设γβα,,是欧氏空间中的向量,证明),(γαd ≤),(),(γββαd d +.并在3V 中,说明它的几何意义.5.证明欧氏空间的子空间也是欧氏空间.5.5 正交基在解析几何里,我们常常将所给的问题放在直角坐标系中来讨论.建立直角坐标以后,从原点出发,在坐标轴上取单位向量,它们分别构成2V 或3V 的基,而且这种基是两两正交的.在这种基下讨论问题,一般都显得十分方便.我们意图将这种基形式地引进到一般欧氏空间中来.由于欧氏空间是特殊的实向量空间,而且其中有了向量正交的概念,实现上述想法是完全可能的.我们已经知道,欧氏空间nR 的基)0,,0,1(1 =ε),0,,1,0(2 =ε…,)1,0,,0( =n ε满足⎩⎨⎧=≠>=<.,1,0,j i ji j i εε 说明它们是单位向量,而且两两正交.那么,在一般欧氏空间中,如何将一个基转化为另一个基,使这个基的任意两个不同的向量正交.为此,我们首先给出定义1 在欧氏空间V 中,一组两两正交的非零向量,称为V 的一个正交向量组（简称正交组）.定理 5.5.1 正交组是线性无关的.证 设s ααα,,,21 是欧氏空间的一个正交组.令02211=+++s s k k k ααα , (1)由j i ≠时,0,>=<j i αα.用i α与(1)两边作内积,得0,>=<i i i k αα.因0≠i α,所以0,>≠<i i αα,于是得0=i k ,n i ,,2,1 =.故s ααα,,,21 线性无关.定义 2 如果n 维欧氏空间V 的一个正交组含n 个向量,那么称这个正交组是V 的一个正交基.若正交基中每一个基向量都是单位向量,则称它为标准正交基.例 上面提到的n εεε,,,21 是n R 的一个标准正交基.如果能将V 中一个线性无关组,化为一个正交组,则V 的任意一个基便可化为一个正交基,再将它单位化,便得到标准正交基.为了说明问题,先设21,αα是2V 中两个线性无关的向量,我们希望将它们转化为两个正交向量.为此先取11αβ=,而与1β正交的向量2β,应满足0,21>=<ββ.从右图看出2β是2α与1β的线性组合. 令122βαβk +=,由0,,,1112112>=<+>>=<+<βββαββαk k ,求得><><-=1112,,βββαk ,于是1111222,,ββββααβ><><-=. 仿此,在一般欧氏空间V 中,设s ααα,,,21 是V 的一个线性无关组.按照上述方法,先取11αβ=,而后由12,βα确定2β,再由123,,ββα确定3β,使3β与12,ββ正交.如此下去,一般地（2）此时0,,,,,>=<><><->>=<<i i i i i k i k i k βββββαβαββ,1,,2,1-=k i .这说明k βββ,,,21 是两两正交的.这样s ααα,,,21 便可化为一个正交组s βββ,,,21 .由此,我们有如下结论:2β)(11βα.,,,,11111111ββββαββββααβ><><--><><-=----k k k k k k k k任何非零欧氏空间都有正交基,从而有标准正交基.按照（2）式将一个基化为正交基的方法,称为正交化方法.当空间的维数较大时,在正交化过程中,计算内积的次数多,计算量较大,但是,目前对此尚无更好的方法.在一般向量空间中,我们讨论了一个基到另一个基的过渡矩阵.现设n ααα,,,21 与n βββ,,,21 是欧氏空间V 的两个标准正交基.令U n n ),,,(),,,(2121αααβββ =,其中⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn n n n n u u uu u uu u u U 212222111211.由于⎩⎨⎧≠=>=<.,0,,1,j i j i j i 当当ββ 另一方面,>>=<<∑∑==n k nl l lj k ki j i u u 11,,ααββ∑∑==><=nk nl l k lj ki u u 11,αα∑==nk kj ki u u 1因而∑=⎩⎨⎧≠==nk kjki j i j i u u 1.,0,,1当当 （3） （3）式说明,TU 的第i 行元与U 的第j 列对应元乘积的和,当j i =时等于1,j i ≠时等于0,即有n T E U U =, (4)或者T U U =-1.定义3 A 是n 阶实矩阵,如果T A A =-1,那么A 称为一个正交矩阵. 由定义3及前面的讨论,有定理 5.5.2 欧氏空间V 的一个标准正交基到另一个标准正交基的过渡矩阵是正交矩阵.实n 阶矩阵A 的行向量、列向量都是nR 中的向量,判定A 是否为正交矩阵,只要看A 的第i 个行(列)向量与它自身的内积（即第i 行元的平方和）是否为1,而第i 个行(列)向量与第j (i j ≠)个行(列)向量的内积是否为0即可.正交矩阵有如下简单性质: 1) 正交矩阵是可逆矩阵. 2) 正交矩阵的行列式为1或-1. 事实上,由(4)式,两边取行列式即得.3) 若U 是正交矩阵,则U 的伴随矩阵*U 也是正交矩阵.事实上, U 是正交矩阵,那么T U U=-1.由*-=U U U ||11,得T U U U U U ||||1==-*.而U U U U U T T T ||)(||)(==*.于是,E E UU U U U T T =⋅==**1||)(2.故*U 是正交矩阵.从定理5.5.2的推导容易得到定理 5.5.3 设n n ij u U ⨯=)(是正交矩阵,n ααα,,,21 是标准正交基,且()()n n αααβββ,,,,,,2121 =U ,那么n βββ,,,21 也是标准正交基.该定理说明,由一个正交矩阵和一个标准正交基可确定另一个标准正交基.一个向量在不同标准正交基下的坐标之间的关系,同样可建立如5.2中(7)式或(8)式所表示的坐标变换公式.只要(7)中的A 为正交矩阵则可.习 题1. )1,1,1(1=α,)2,1,0(2=α是欧氏空间3R 中的两个向量,试求一个单位向量β,使β分别与21,αα正交.2. 已知)0,1,0(1=α,)2,1,0(2=α,)1,0,1(3=α是欧氏空间3R 的一个基,用正交化方法将此基化为标准正交基.3.设⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=61626121021313131A , 证明A 是一个正交矩阵.4. 设α是欧氏空间V 的一个向量,W 是V 的一个非空子集,若α与W 中任一向量正交,那么称α与W 正交,记为<α,W >＝0.令}0,|{>=<=⊥W W αα,证明⊥W 是V 的子空间(⊥W 称为W 的正交补空间).*5. 证明,如果上三角形矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn n n a a a a a a A 00022211211是正交矩阵,那么A 一定是对角形矩阵,其主对角线上的元素ii a 是1或-1.。