在 R1 中取一组基矢 { i }, i 1,2,, n1 , ，设这组基矢是算 符 K 的本征矢量（ K 表象） ；在 R2 中取 P 表象，其基矢为
{ m }, m 1,2,, n2 , 那么直和空间中的任意矢量 都可
以写成下列的形式：
i i m m
直和空间的维数：

( ) ( ) ( ) ( )
设 R1 为 n1 维， R2 为 n 2 维，讨论其直和空间 R1 R2 的维数。
由于加法定义（5.1）式的存在，直和空间中任意两个双矢量 形式的矢量叠加，仍可写成双矢量的形式。这就是说，直和空间 中的全部矢量，都是形如 的矢量。
在直和空间中，矢量 的 KP 表象的矩阵形式为
1 2 1 2 3
（5.12）
算符的矩阵形式也可以同样讨论； R1 和 R2 中， 在 算符 A 和 L 的矩阵形式分别为
( A L)( ) A L
(5.22)
算符运算有下列的关系：
( A B) L A L B L
( A L)( B M ) AB LM
(5.23) (5.24)
从上面各式可以看出，只要记住算符只对自己空间中的矢 量有作用，对别的空间的矢量没有作用，习惯了以后，算符间 的乘号也可以省去。
§5 矢量空间的直和与直积
有时需要由两个已知的矢量空间 R1 和 R2 构造一个更大 的矢量空间。在本节中我们讨论两种构造的方法，两个空间 的直和与直积。
§5-1 直和空间
§5-2 直积空间
§5-1 直和空间
设矢量空间 R1 中的矢量是 ， ，
，算符是 A，B， ；
而矢量空间 R2 中的矢量为 ， ， ，算符 L，M， ，
mm mm m m m m , ,
m
m
这时
( i m ) i m Eim ( ) im
i m im
可见，若在直积空间中取全部形如 i m 的矢量为基矢，则 可以叠加出所有的基矢，这些基矢是用两个下标 i 和 m 编号的：
1 1 1 2 1 1 3 1 2 2 2 1 3 2 2 2 3
可以写成
1 2
式中的 代表这个 3 1 矩阵。
虽然与直和一样，直积矢量也是与次序无关的，但习惯上仍 约定 R1 中的量写在前面，R2 中的量写在后面，im 的编号次序是 i 先取 1, m 取遍所有的值后， i 再取 2 ，以此类推。用这个次序 作为直积空间中的基矢的次序。
直积算符的矩阵表示：
直积算符 A L 在 KP 表象的矩阵形式是
数乘： 内积：
a ( a) ( a)
( )( )
此外，还有一个直积的分配律：
( )
(5.21)
这样，就构成了一个新的矢量空间，称为 R1 和 R2 的直积空间。
算符的直积：
设 R1 中的算符为 A, B,, R2 中的算符为 L, M ,, 那么直积 空间中的算符为 A L ，其意义为
有时在直积空间中也说算符 A 或算符 L ，这并不是指 R1 或
R2 中的算符， A 是 A I ( 2) 的简写， L 是 I（1） L 的简写。若在
直积空间中写 A L ，那就是
A L A I（2） I（1） L
(5.25)
式中 I（1）与 I（2）分别是 R1 和 R2 的单位算符。上式左方的加号，仍 然是直积空间中的加法，因为 R1 中的 A 和 R2 中的 L 是没有加法 的。
( ) ( ) ( ) ( )
在直和空间中的加法单位元（零矢量）是
O O (1) O ( 2 )
（1 （2 式中 O ） 和 O ） 分别是 R1 和 R2 中的加法单位元。
（5.1）
数乘： ( )a a a 内积： ( )( )
我们把这 5 个基矢写成 E1 E5
。于是，在 R1 和 R2 中，
和 的矩阵为（分别为 K 表象和 P 表象） ：
1 ， 2
式中 i i , m m
1 2 3
。
（5.11）
§5-2 直积空间
直积就是由两个已知空间 R1 : { , ,} 和 R2 : { , ,} 构造一个较大空间的另一种方法。直积空间中的数学对象也是双 矢量以及它们的叠加；双矢量也是从 R1 和 R2 中各取一个矢量不 记次序的放在一起；与直和空间的区别在于三种运算规则不同， 所以直积空间的性质和直和空间有很大的不同。
（5.14）
在上式中 Aij i A j , Lmn L m L N n 。 ， mn m L
有时也在直和空间中说算符 A ，那实际上是指算符
A O ( 2) ，说算符 L 是指 O (1) L
，这里 O (1) 和 O ( 2) 分别是 R1
和 R2 中的零算符。
（5.2） （5.3）
如果认定不同空间中矢量的内积为零，上述定义说明内积 可按分配律展开。
容易证明上述定义满足(1)~(12) 的所有条件。于是，构造成 功了一个新的矢量空间 R ， 我们说空间 R 是 R1 和 R2 的直和空间， 表为
R 用 R1 中的算符 A，B， 和 R2 中的算符 L，M， 去构造直和空间中的算符 A L ，称为 A，L 两算符的直和，其 作用为 （5.6） ( A L)( ) A L
是归一化的而且彼此正交。
下面讨论矢量和算符的矩阵表示。为具体起见，我们取 R1 为
2 维， R2 为 3 维，基矢分别为 { 1 ， 2 } 和 { 1 ， 2 ， 3 } ，这时，
直和空间为 5 维，其基矢为
1 O ， 2 O ，
O 1 ， 2 ， 3 O O
i m
由此可以看出，若取直和空间的基矢为 O ( 2) , O (1) m } { i
{ i O ( 2) , O (1) m }
i 1,2,, n1, m 1,2, n2 （5.9）
i 1,2, 都可以写成上述共 n n 个基矢的叠加。于 则任意矢量, n1, m 1,2, n2 1 2
A11 A A 21
A12 A22
L11 L L21 L 31
L12 L22 L32
L13 L23 L33
（5.13）
在直和空间中，算符 A L 的矩阵形式成为
A11 A21 A O A L O L 0 0 0 A12 A22 0 0 0 0 0 L11 L21 L31 0 0 L12 L22 L32 0 0 L13 L23 L33
现在，在 R1 中取 K 表象，基矢是 { i } ，在 R2 中取 P 表象， 基矢是 { m } ， R1 中的任意矢量 和 R2 中的任意矢量 可以 则 写成
i i i i, i i , i i
i
i
(5.26)
(5.27)
如果认定一个空间的算符作用到别的空间的矢量时得零矢 量，则上式可按分配律展开。 算符的加法和乘法可根据上述定义得出：
( A L) ( B M ) ( A B) ( L M )
（5.7）
( A L)( ) A L
( A L)( B M ) AB LM
( A L) im , jn i m A L j n Aij Lmn
(5.30)
例如直积算符 A L 矩阵的第 12 行第 34 列的元是 A13 L24 ；写成 矩阵是
与 的直积写成

直积符号 在很多情况下可以省去。
（5.17）
直积空间 R1 R2 中的运算规则如下：
加法： 是一个新的矢量， 一般不能表示为双矢量的 形式，这与直和空间中的加法不同。加法的单位元是
O O (1) O ( 2 )
(5.18) (5.19) (5.20)
当然，可以用相同的方法讨论两个以上的空间的直和。一切 关系都是明显的，这里不在赘述。
最后讨论一下子空间中的直和。若 R1 和 R2 是大空间的两个子空间， 则只有当 R1 和 R2 除零矢量 O 外不含公共矢量时，才可以谈论二者的直 和。这是因为大空间中的加法适用于所有矢量，从 R1 和 R2 中各取一个矢 量构成的双矢量 与二者之和 是等价的， 前面公式中矢量 的直和号 可以径直改写为加号。直和空间不只包含 R1 和 R2 中的所有矢 量，还包含更多的矢量。例如在三维物理空间中，若 R1 是 xy 平面上的所 有矢量，R2 是沿 z 轴的矢量， R1 R2 包含这个三维空间中的全部矢量。 则 由于算符在整个大空间中都有定义， 所以一切算符在 R1 和 R2 中是通用的， 这时没有算符的直和这一概念， （5.6）式和（5.14）式都不存在。
这些都是已知的，现在构造它们二者的直和空间。
考虑一种“双矢量”作为我们的数学对象，双矢量即取 R1 空 间中一个矢量与 R2 空间中一个矢量放在一起（不记次序） ，例如
与
放在一起 ，我们用下列特殊记号表示：
，

它们分别称为矢量 与 的直和，或 与 的直和。