第五章 刚体力学参考答案一．选择题[ C ]1、一轻绳跨过一具有水平光滑轴、质量为M 的定滑轮，绳的两端分别悬有质量为m 1和m 2的物体(m 1＜m 2)，如图5-7所示．绳与轮之间无相对滑动．若某时刻滑轮沿逆时针方向转动，则绳中的张力(A) 处处相等． (B) 左边大于右边． (C) 右边大于左边． (D) 哪边大无法判断．）参考答案：逆时针转动时角速度方向垂直于纸面向外, 由于m 1＜m 2,实际上滑轮在作减速转动,角加速度方向垂直纸面向内,所以,由转动定律得:(T 2-T 1)R=J[ D ]2、如图5-8所示，一质量为m 的匀质细杆AB ，A 端靠在粗糙的竖直墙壁上，B 端置于粗糙水平地面上而静止．杆身与竖直方向成q 角，则A 端对墙壁的压力大小(A) 为 41mg cos q ． (B)为21mg tg q ．(C) 为 mg sin q ． (D) 不能唯一确定．]参考答案：因为细杆处于平衡状态，它所受的合外力为零，以B 为参考点，外力矩平衡可有： N A =f Bf A +N B =mgsin sin cos 2A A lmg f l N l θθθ=+三个独立方程有四个未知数，不能唯一确定。
[ B ]3、如图5-9所示，一静止的均匀细棒，长为L 、质量为M ，可绕通过棒的端点且垂直于棒长的光滑固定轴O 在水平面内转动，转动惯量为231ML ．一质量为m 、速率为v的子弹在水平面内沿与棒垂直的方向射出并穿出棒的自由端，设穿过棒后子弹的速率为v21，则此时棒的角速度应为）(A) ML m v ． (B) ML m 23v ． (C) ML m 35v ． (D) ML m 47v．图5-9参考答案：把质点与子弹看作一个系统，该系统所受外力矩为零，系统角动量守恒： Lmv=Lmv/2+1/3ML 2ω 可得出答案。
m 2m 1 O图5-7图5-8v 21 v 俯视图<[ c ]4、一圆盘正绕垂直于盘面的水平光滑固定轴O 转动，如图5-11射来两个质量相同，速度大小相同，方向相反并在一条直线上的子弹，子弹射入圆盘并且留在盘内，则子弹射入后的瞬间，圆盘的角速度(A) 增大． (B) 不变．(C) 减小． (D) 不能确定．参考答案:?把三者看作同一系统时,系统所受合外力矩为零,故由角动量守恒定律得:设L 为每一子弹相对与O 的角动量大小.J L-L=(J+J 子弹)[ C ]5、将细绳绕在一个具有水平光滑轴的飞轮边缘上，现在在绳端挂一质量为m 的重物，飞轮的角加速度为．如果以拉力2mg 代替重物拉绳时，飞轮的角加速度将(A) 小于． (B) 大于，小于2． (C) 大于2． (D) 等于2．参考答案：设飞轮的半径为R,质量为M ，根据刚体定轴转动定律M=J β，当挂质量为m 的重物是： ￥Mg-T=ma TR=J β a=R β由此得β=MgR/(J+Mr 2),当以F=2mg 的拉力代替重物拉绳时，有：2mgR=J β‘，β‘=2mgR/J,比较二者可得出结论。
[ A ]6、质量为m 的小孩站在半径为R 的水平平台边缘上．平台可以绕通过其中心的竖直光滑固定轴自由转动，转动惯量为J ．平台和小孩开始时均静止．当小孩突然以相对于地面为v 的速率在台边缘沿逆时针转向走动时，则此平台相对地面旋转的角速度和旋转方向分别为(A) ⎪⎭⎫ ⎝⎛=R J mR v 2ω，顺时针． (B) ⎪⎭⎫ ⎝⎛=R J mR v 2ω，逆时针． (C)⎪⎭⎫ ⎝⎛+=R mR J mR v 22ω，顺时针． (D) ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=R mR J mR v 22ω，逆时针．】参考答案：视小孩与平台为一个系统，该系统所受的外力矩为零，系统角动量守恒：0=Rmv-J ω 可得结论。
二．填空题7、半径为30 cm 的飞轮，从静止开始以 rad ·s -2的匀角加速度转动，则飞轮边缘上一点在飞轮转过240°时的切向加速度a t ＝0.15 m ·s-2，法向加速度a n ＝1.26 m ·s-2．参考答案：由a t =R β a n =ω2R 及 ω2-0=2βθ可得。
OMmm图5-118、 一飞轮以600 rev/min 的转速旋转，转动惯量为2.5 kg ·m 2，现加一恒定的制动力矩使飞轮在1 s 内停止转动，则该恒定制动力矩的大小M ＝. .参考答案： 由M=J β及ω-ω0=βt 可得。
9、一根质量为m 、长为l 的均匀细杆，可在水平桌面上绕通过其一端的竖直固定轴转动．已知细杆与桌面的滑动摩擦系数为μ，则杆转动时受的摩擦力矩的大小为=（1/2）μmgl参考答案：在细杆长x 处取线元dx ，所受到的摩擦力矩dM=μ(m/l)gxdx ，则⎰==ll m mglgxdx M 021μμ三、计算题1、一转动惯量为J 的圆盘绕一固定轴转动，起初角速度为0ω．设它所受阻力矩与转动角速度成正比，即M ＝－k ω(k 为正的常数)，求圆盘的角速度从0ω变为021ω时所需时间． 解：ωk M -=根据dt d JJ M ωβ== ωJd Mdt = k dt Jd ωω-= 0012tJkdt d ωωωω-=⎰⎰所以得J t 2ln =2、如图5-17所示、质量分别为m 和2m 、半径分别为r 和2r 的两个均匀圆盘，同轴地粘在一起，可以绕通过盘心且垂直盘面的水平光滑固定轴转动，对转轴的转动惯量为9mr 2/2，大小圆盘边缘都绕有绳子，绳子下端都挂一质量为m 的重物，如图5-15所示．求盘的角加速度的大小．、解: 设向下为正mg-T 1==ma 1 (1)T 2-mg== ma 2 (2) 2rT 1-T 2r== J β (3)a 1==2r β (4) 图5-17 a 2==r β (5) 联立解得: ==2g/19r\3、 一根质量为m 、长为l 的均匀细棒，在竖直平面内绕通过其一端并与棒垂直的水平轴转动。
现使棒从水平位置自由下摆，求：(1)开始摆动时的角加速度；(2)摆到竖直位置时的角速度。
解：·mr mm 2m2r（1）根据βJ M = 所以 （2）根据机械能守恒定律有：所以 /4、如图5-24所示，长为l 的轻杆，两端各固定质量分别为m 和2m 的小球，杆可绕水平光滑固定轴O 在竖直面内转动，转轴O 距两端分别为31l 和32l ．轻杆原来静止在竖直位置．今有一质量为m 的小球，以水平速度0v 与杆下端小球m 作对心碰撞，碰后以021v 的速度返回，试求碰撞后轻杆所获得的角速度．《解：系统所受的合外力矩为零，角动量守恒：碰前的角动量为：碰后的角动量为：所以 得： 5、如图5-25所示，一质量均匀分布的圆盘，质量为0m，半径为R ，放在一粗糙水平面上(圆盘与水平面之间的摩擦系数为)，圆盘可绕通过其中心O 的竖直固定光滑轴转动．开始时，圆盘静止，一质量为m 的子弹以水平速度v 0垂直于圆盘半径打入圆盘边缘并嵌在盘边上，如图5-25所示。
求：(1) 子弹击中圆盘后，盘所获得的角速度．(2) 经过多少时间后，圆盘停止转动．(圆盘绕通过O 的竖直轴的转动惯量为221MR 解：（1）设0ω为碰撞后瞬间的角加速度，由角动量守恒定律得：（2）圆盘的质量面密度 在圆盘上取一半径为r,宽为dr 的小环带，mRO0v图5-25mg lM 2=231ml J =lgJ M 23==β2212ωJ l mg=lg 3=ω图5-242mmm#21v⅓l 0v ⅓l l32⅓ll 31⅓l l mv 320ω])31(2)32([3221220l m l m l v m ++-ω])31(2)32([3221322200l m l m l v m l mv ++-=lv 230=ω02020)21(ωR m mR R mv +=R m m mv )21(000+=ω20R mπσ=rdr dM πσ2= 此环带受到的摩擦阻力矩 dr r g r gdm r dM 22πσμμ==\则所以选做题：1、 空心圆环可绕光滑的竖直固定轴AC 自由转动，转动惯量为J 0，环的半径为R ，初始时环的角速度为0．质量为m 的小球静止在环内最高处A 点，由于某种微小干扰，小球沿环向下滑动，问小球滑到与环心O 在同一高度的B 点和环的最低处的C 点时，环的角速度及小球相对于环的速度各为多大(设环的内壁和小球都是光滑的，小球可视为质点，环截面半径r <<R.)解: 由于环的重力对O 点的力矩方向垂直于AC 轴指向纸内,由于AC 轴固定,重力矩对于空心圆环绕AC 轴的转动无影响.所以在AC 轴方向上外力矩为零,因此在AC 轴方向上角动量守恒(1)在B 点时,则有 J 0=JB +m(ωR)R(1)B =J 0/(J+mR 2)又由于系统没有摩擦阻力等耗力的存在,因此机械能守恒.则mgR+J02/2=mV球对地2/2+JB2/2(2)得：V 球对地 =[2gR+JR 202/(J+mR 2)+J 2R 2ω02/(J+mR 2)2]1/2则小球在B 点时相对于环的速度为：V 球对环=(V 球对地2-V 环对地2)1/2=( V 球对地2-(ωR)2)1/2所以V 球对环=[2gR+JR 202/(J+mR 2)]1/2(2) 在C 点时,则有: J 0=JC(1)C =0由于系统没有摩擦阻力等耗力的存在,因此机械能守恒.则mg2R+J02/2=mV球对地2/2+JC2/2(2)V 垂直=[4gR]1/2 此即小球在C 点时相对于环的速度. V 垂直方向与环上任一点绕AC 轴转动的方向相垂直,同时也与竖直方向垂直.R A ω0BC⎰-=-=RR g dr r g M 032322σπμσπμdt d J M ω=⎰⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+==t d mR R m Jd Mdt 0002200021ωωωωgm mv t 0023μ=。