2019-2020学年杭州市数学高二第二学期期末学业质量监测试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．定义函数()g x 为不大于x 的最大整数，对于函数()()f x x g x =-有以下四个命题：①(2018.67)0.67f =；②在每一个区间[,1)k k +，k Z ∈上，()f x 都是增函数；③1155f f ⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；④()y f x =的定义域是R ，值域是[0,1).其中真命题的序号是（ ） A ．③④ B ．①③④C ．②③④D ．①②④【答案】D 【解析】 【分析】画出函数()()f x x g x =-的图象，根据图象可知函数的周期性、单调性、定义域与值域，从而可判断各命题的真假. 【详解】画出()()f x x g x =-的图象，如图所示，可知()f x 是最小正周期为1的函数，当[0,1)x ∈时，()f x x =，可得(201867)(0.67)0.67f f ==.，①正确； 由图可知，在每一个区间[,1)k k +，k Z ∈上，()f x 都是增函数，②正确； 由图可知，()y f x =的定义域是R ，值域是[0,1)，④正确； 由图可知，141555f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=> ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，③是错误的. 真命题的序号是①②④，故选D. 【点睛】本题通过对多个命题真假的判断，综合考查函数的单调性、函数的周期性、函数的定义域与值域，属于难题.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题.2．我国南北朝时期数学家祖暅，提出了著名的祖暅原理：“缘幂势既同，则积不容异也”．“幂”是截面积，“势”是几何体的高，意思是两等高几何体，若在每一等高处的截面积都相等，则两几何体体积相等．已知某不规则几何体与右侧三视图所对应的几何体满足“幂势既同”，其中俯视图中的圆弧为14圆周，则该不规则几何体的体积为（ ）A ．12π+B ．136π+ C ．12π+D ．1233π+ 【答案】B 【解析】 【分析】根据三视图知该几何体是三棱锥与14圆锥体的所得组合体，结合图中数据计算该组合体的体积即可． 【详解】解：根据三视图知，该几何体是三棱锥与14圆锥体的组合体， 如图所示；则该组合体的体积为21111111212323436V ππ=⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=+； 所以对应不规则几何体的体积为136π+．故选B ．【点睛】本题考查了简单组合体的体积计算问题，也考查了三视图转化为几何体直观图的应用问题，是基础题． 3．随机变量2~(2,3)X N ，且(1)0.20P X <=，则(23)P X <<=（ ） A ．0.20 B ．0.30C ．0.70D ．0.80【答案】B 【解析】分析：由(3)(1)P X P X >=<及(2)(2)P X P X =可得．详解：∵2(2,3)X N :，∴1(1)(3)12(1)120.20(23)0.3222P X P X P X P X ---<-⨯<<====．故选B ．点睛：本题考查正态分布，若随机变量2(,)X N μσ:中，则正态曲线关于直线x μ=对称，因此有()()P X P X μμ=，()()P a X P X a μμμμ-<<=<<+（0a >）． 4．已知82a x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项展开式中常数项为1120，则实数a 的值是（ ）A ．1-B ．1C ．1-或1D ．不确定【答案】C 【解析】 【分析】列出二项展开式的通项公式，可知当4r =时为常数项，代入通项公式构造方程求得结果. 【详解】82a x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项为：()88218822rr r r r r r a T C x a C x x --+⎛⎫=⋅⋅-=- ⎪⎝⎭ 令820r -=，解得：4r =()485421120T C a ∴=-=，解得：1a =±本题正确选项：C 【点睛】本题考查根据二项展开式指定项的系数求解参数值的问题，属于基础题.5．已知函数()2ln xz e f x k x kx x=+-，若2x =是函数f x （）的唯一极值点，则实数k 的取值范围是（ ）A ．2,4e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．,2e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．(]0,2D ．[)2,+∞ 【答案】A 【解析】 【分析】由f x （）的导函数形式可以看出，需要对k 进行分类讨论来确定导函数为0时的根．【详解】解：∵函数f x （）的定义域是0（，）+∞ ∴()()()233222'x x e kx x e x k f x k x x x---=+-=（），∵2x =是函数f x （）的唯一一个极值点 ∴2x =是导函数'0f x =（）的唯一根， ∴20x e kx -=在0（，）+∞无变号零点， 即2x e k x =在0x ＞上无变号零点，令()2xe g x x=，因为()32'x e x g x x（）-=，所以g x （）在02（，）上单调递减，在2x ＞上单调递增 所以g x （）的最小值为224e g =（），所以必须24e k ≤，故选：A ． 【点睛】本题考查由函数的导函数确定极值问题．对参数需要进行讨论． 6．设是平面内的两条不同直线，是平面内两条相交直线，则的一个充分不必要条件是（ ） A ．11,l m l n ⊥⊥ B ．12,m l m l ⊥⊥ C ．12,m l n l ⊥⊥ D ．1//,m n l n ⊥ 【答案】B 【解析】 试题分析：A ．不能得出，所以本题条件是的不充分条件；B ．，当时，不一定有故本命题正确；C ．不能得出，故不满足充分条件；D ．不能得出，故不满足充分条件；故选B.考点：平面与平面垂直的方法.7．4名学生报名参加语、数、英兴趣小组，每人选报1种，则不同方法有（ ）A ．34种B ．43种C ．34A 种D ．34C 种【答案】B 【解析】 【分析】直接根据乘法原理计算得到答案. 【详解】每个学生有3种选择，根据乘法原理共有43种不同方法. 故选：B . 【点睛】本题考查了乘法原理，属于简单题.8．已知,m n 是空间中两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，有以下结论： ①,,m αn βm n αβ⊂⊂⊥⇒⊥ ②//,//,,//m n m n ββαααβ⊂⊂⇒ ③,,m βn αm n αβ⊥⊥⊥⇒⊥ ④,////m αm n n α⊂⇒. 其中正确结论的个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【答案】B 【解析】分析：根据直线与平面的位置关系的判定定理和性质定理，即可作出判定得到结论.详解：由题意，对于①中，若,,m n m n αβ⊂⊂⊥，则两平面可能是平行的，所以不正确； 对于②中，若//,//,,m n m n ββαα⊂⊂，只有当m 与n 相交时，才能得到//αβ，所以不正确； 对于③中，若,,m n m n βα⊥⊥⊥，根据线面垂直和面面垂直的判定定理，可得αβ⊥，所以是正确的； 对于④中，若,//,//m m n n n ααα⊂⊄⇒，所以是不正确的， 综上可知，正确命题的个数只有一个，故选B.点睛：本题考查线面位置关系的判定与证明，熟练掌握空间中线面位置关系的定义、判定、几何特征是解答的关键，其中垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型：(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行；(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直；(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直． 9．命题“0x ∀>，使是210x x ++>”的否定是（）A ．00x ∃≤，使得20010x x ++≤B ．0x ∀≤，使得210x x ++>.C ．0x >，使得210x x ++>D ．00x ∃>，使得20010x x ++≤【答案】D根据全称命题与特称命题的关系，准确改写，即可求解，得到答案． 【详解】由题意，根据全称命题与特称命题的关系，可得命题“0x ∀>，使是210x x ++>”的否定为“00x ∃>，使得20010x x ++≤”故选D ．【点睛】本题主要考查了含有一个量词的否定，其中解答中熟记全称命题与特称命题的关系是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．10．已知y 与x 及μ与υ的成对数据如下，且y 关于x 的回归直线方程为ˆ 1.20.6yx =+，则μ关于υ的回归直线方程为（ ）A ．126μυ=+B ． 1.20.6μυ=+C ．0.126μυ=+D ． 1.26μυ=+【答案】D 【解析】 【分析】先由题意求出μ与υ，根据回归直线过样本中心，即可得出结果. 【详解】 由题意可得：2030405070425μ++++==，1020304050305v ++++==，因为回归直线方程过样本中心，根据题中选项，所以μ关于υ的回归直线方程为 1.26μυ=+. 故选D 【点睛】本题主要考查回归直线方程，熟记回归直线方程的意义即可，属于常考题型. 11．若m 是小于10的正整数，则()()()151620m m m ---L 等于（ ） A ．515m P - B ．1520mm P --C ．520m P -D ．620m P -【答案】D利用排列数的定义可得出正确选项. 【详解】()()()()()()()()()()1231415162020!1516201231414!m m m m m m m m m m ⋅⋅--------==⋅⋅--L L Q L L ()()20!206!m m -=--⎡⎤⎣⎦，由排列数的定义可得()()()620151620m m m m P ----=L . 故选：D. 【点睛】本题考查排列数的表示，解题的关键就是依据排列数的定义将代数式表示为阶乘的形式，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.12．已知函数()y f x =是奇函数，当[0,1]x ∈时，()0f x =，当1x >时，2()log (1)f x x =-，则(1)0f x -<的解集时（ ）A ．(,1)(2,3)-∞-⋃B ．(1,0)(2,3)-UC ．(2,3)D ．(,3)(2,3)-∞-⋃【答案】A 【解析】 【分析】对1x -的范围分类讨论，利用已知及函数()y f x =是奇函数即可求得()1f x -的表达式，解不等式()10f x -<即可．【详解】因为函数()y f x =是奇函数，且当[]0,1x ∈时，()0f x = 所以当111x -≤-≤，即：02x ≤≤时，()10f x -=， 当11x ->，即：2x >时，()10f x -<可化为：()2log 20x -<，解得：23x <<.当11x -<-，即：0x <时，11x ->利用函数()y f x =是奇函数，将()10f x -<化为：()()()211log 0f x f x x -=--=--<，解得：1x <-所以()10f x -<的解集是()(),12,3-∞-U 故选A 【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性应用，还考查了分类思想及计算能力，属于中档题． 二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．双曲线221916x y -=上一点P 到点()15,0F -的距离为9，则点P 到点()25,0F 的距离______.【答案】3或15 【解析】 【分析】先根据双曲线方程求出焦点坐标，再结合双曲线的定义可得到122PF PF a -=，进而可求出2PF 的值，得到答案. 【详解】Q 双曲线221916x y -=， ∴3a =，4b =，5c =，()15,0F -和()25,0F 为双曲线的两个焦点，Q 点P 在双曲线221916x y -=上， ∴12296PF PF PF -=-=，解23PF =或15， Q 22PF c a ≥-=，∴23PF =或15，故答案为：3或15. 【点睛】本题主要考查的是双曲线的定义，属于基础题.求双曲线上一点到某一焦点的距离时，若已知该点的横、纵坐标，则根据两点间距离公式可求结果；若已知该点到另一焦点的距离，则根据122PF PF a -=求解，注意对所求结果进行必要的验证，负数应该舍去，且所求距离应该不小于c a -.14．已知向量()1,1a =r ，()3,2b =-r ，若2ka b -r r 与a r垂直，则实数k =__________．【答案】-1 【解析】 【分析】由题意结合向量垂直的充分必要条件得到关于k 的方程，解方程即可求得实数k 的值. 【详解】由平面向量的坐标运算可得：()()()21,123,26,4ka b k k k -=--=+-vv ， 2ka b -r r与a r 垂直，则()20ka b a -⋅=v v v ，即：()()61410k k +⨯+-⨯=，解得：1k =-. 【点睛】本题主要考查向量的坐标运算，向量垂直的充分必要条件等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.15．已知函数()2cos (sin cos )1f x x x x =-+，x ∈R ．则函数f （x ）的最小正周期 _______ 【答案】π 【解析】 【分析】首先根据二倍角公式先化简以及辅助角公式化简，再根据2T Wπ=即可。