2018学年第二学期杭州市高二年级教学质量检测数学试题卷考生须知：1.本试卷分试题看和答题卷两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.请用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题长指定的区域（黑色边框）内作答，超出答题区域的作答无效!3.考试结束，只需上交答题卡。

一.选择题：本大题共15小题，每小题4分，共60分。

每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选，错选均不得分。

1.设集合()1,2,4A ，()3,4B .则集合A B =I （ ） A.{}4B.{}1,4C.{}2,3D.{}1,2,3,42.直线340x y ++=的斜率为（ ） A.13-B.13C.3-D.33.函数()22log 1y x =-的定义城是（ ） A.{}1x x >B.{}1x x <C.{}1x x ≠D.R4.在ABC ∆中，2223a b c bc =++，则A ∠=（ ） A.30︒B.60︒C.120︒D.150︒5.一个空间几何体的三规图如右图所示，则该几何体的体积为（ ）正视图 侧视图俯视力A.23 B.43C.83 D.4 6.若四边形ABCD 满足0AB CD +=u u u r u u u r ，()0AB AD AC -⋅=u u u r u u u r u u u r，则该四边形是（ ）A.正方形B.矩形C.菱形 D .直角梯形7.已知1-，a ，b ，5-成等差数列，1-，c ，4-成等比数列，则a b c ++=（ ）A.8-B.6-C.6-或4-D.8-或4-8.设a ，b R ∈，则“a b ≥”是“a b >”的（ ） A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件9.函数()()22x f x x x c =-的图象可能．．是（ ） A. B. C. D.10.设m ，n 为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则（ ） A.若//m α，//n α，则//m n B.若//m α，//m β，则//αβ C.若//m n ，n α⊥，则m α⊥ D.若//m α，αβ⊥，则m β⊥11.设实数x ，y 满足不等式组2,23,0,0.x y x y x y +≥⎧⎪+≥⎨⎪≥≥⎩则3x y +的最小值是（ ）A.2B.3C.4D.512.若α是第四象限角，5sin 313πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则sin 6πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A.15B.15-C.1213D.1213-13.已知椭圆222:14x y E a +=，设直线():1l y kx k R =+∈交椭圆E 所得的弦长为L .则下列直线中，交椭圆E 所得的弦长不可能．．．等于L 的是（ ） A.0mx y m ++= B.0mx y m +-=C.10mx y --=D.20mx y --=14.设(),22a ba b F a b -+=-.若函数()f x ，()g x 的定义域是R .则下列说法错误．．的是（ ） A.若()f x ，()g x 都是增函数，则函数()()(),F f x g x 为增函数B.若()f x ，()g x 都是减函数，则函数()()(),F f x g x 为减函数C.若()f x ，()g x 都是奇菌数，则函数()()(),F f x g x 为奇函数 D.若()f x ，()g x 都是偶函数，则函数()()(),F f x g x 为偶函数15.长方体1111ABCD A B C D -中，P 是对角线1AC 上一点，Q 是底面ABCD 上一点，若2AB =，11BC AA ==，则1PB PQ +的最小值为（ ）A.32B.31+ C.3 D.2二、填空题（本大题共4小题，每空4分，共16分）16.若双曲线22:154y x C -=的渐近线与圆()()22230x y r r -+=>相切，则r =_________. 17.已知a ，b 是单位向量.若2a b b a +≥-，则向量a ，b 夹角的取值范围是_________. 18.已知数列{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，数列{}n n a b 的前n 项和为13n n +⋅.若13a =，则数列{}n a 的 通项公式为_________.19.如图，已知正三棱锥ABCD ，3BC CD BD ===，2AB AC AD ===，点P ，Q 分别在核BC ，CD 上（不包含端点），则直线AP ，BQ 所成的角的取值范围是_________.三、解答题：本大题共5小题，共74分，要求写出详细的推证和运革过程， 20.设函数()23sin sin cos f x x x x =+.（I）求()f x的最小正周期T；（Ⅱ）求()f x在区间5,36ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域.21.如图，已知三棱柱111ABC A B C-，1A A⊥底面ABC，13AA AB AC==，AB AC⊥，D为AC的中点.（I）证明：1//B C面1BA D；（Ⅱ）求直线1B C与平面1BA D所成角的正弦值，22.设数列{}n a是公差不为零的等差数列，其前n项和为n S，11a=.若1a，2a，5a成等比数列.（I）求na及nS；（Ⅱ）设()2111nnb n Na*+=∈-，求数列{}n b的前n项和n T.23.已知直线l与抛物线2:4C y x=交于M，N两点，点Q为线段MN的中点。

（I）当直线l经过抛物线C的焦点，6MN=时，求点Q的横坐标；（Ⅱ）若5MN=，求点Q横坐标的最小值，井求此时直线l的方程.24.设a ，k R ∈，已知函数()2f x x x a ka =--+. （I ）当1a =时，求()f x 的单调增区间；（Ⅱ）若对于任意10,6a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，函数()f x 至少有三个零点。

求实数k 的取值范围.2018学年第二学期杭州市高二年级教学质量检测数学试题参考答案及评分标准一、选择题 1-5：AACDB 6-10：CDDBC11-15：BCDCA二、填空题17.0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦18.21n a n =+19.,32ππ⎛⎤⎥⎝⎦三、解答题20.解：（Ⅰ）()1cos 2sin 222x xf x -=+1sin 22sin 222232x x x π⎛⎫=-+=-+⎪⎝⎭， 所以T π=.（Ⅱ）因为()sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭， 因为5,36x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以42,333x πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，所以sin 2123x π⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭，所以()f x 的值域为1⎡⎤+⎢⎥⎣⎦. 21.（Ⅰ）证明：连接AB ，交1A B 于N ，所以N 为1AB 的中点， 又因为D 为AC 的中点，所以1//DN B C ， 因为DN 在面1BA D 内，1B C 不在面1BA D 内， 所以1//B C 面1BA D .（Ⅱ）以AB ，AC ，1AA 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系（不妨设1AC =）.所以)B，10,,02D ⎛⎫⎪⎝⎭，(1A ，(1C ，设面1BA D 的法向量为(),,m x y z =， 则10n BD n BA ⋅=⎧⎨⋅=⎩，解得()1,n =.因为(1BC =，记直线1BC 平面1BA D 所成角为θ.所以111sin cos ,7BC n BC n BC n θ⋅=<>=⋅u u u u ru u u u r u u u u r ，. 22.解：（Ⅰ）由题意，得12151a a a a =⎧⎨=⎩解得112a d =⎧⎨=⎩，所以21n a n =-，2n S n =.（Ⅱ）因为()11114141n b n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，所以()41n nT n =+.23.解（Ⅰ）设()11,M x y ，()22,N x y ， 所以1226MN x y =++=. 所以1222Qx x x +=； （Ⅱ）设直线:l ty m +，由24x ty m y x=+⎧⎨=⎩，得2440y ty m --=.所以124y y t +=，124y y m =-.所以MN =5=.所以()2225161m t t =-+， 所以()12122x x t y y m +=++=()22225422381t m t t +=+≥+，所以12322Q x x x +=≥，此时12t =±，1m =. 所以:220l x y --=或220x y +-=.24.解（Ⅰ）当1a =时，()()()2221,111,1x x k x f x x x k x x k x ⎧-++≥⎪=--+=⎨++-<⎪⎩，所以()f x 的单调增区间为1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭. （Ⅱ）因为()()()()()2221,1,x x a k x a f x x x a k x x a k x a ⎧-+⋅+≥⎪=--+=⎨++⋅-<⎪⎩，且10,6a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，可知()f x 在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减，在1,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，在1,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，，在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增.若()0f a <，则()f x 在1,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭和1,2a ⎛⎫⎪⎝⎭上无零点，由()f x 的单调性及零点的存在性定理可知，()f x 至多有两个零点.故()0f a ≥，即20a ak +≥对任意10,6a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，可知0k ≥.当()0f a ≥时，若102f ⎛⎫>⎪⎝⎭或102f ⎛⎫-> ⎪⎝⎭成立，则由()f x 的单调性及零点的存在性定理可知()f x 至多有两个零点，故102102f f ⎧⎛⎫≤ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪-≤ ⎪⎪⎝⎭⎩，即()()11041104a k a k ⎧-++≤⎪⎪⎨⎪-+-≤⎪⎩成立，注意到，()()111144a k a k -++≥-+-，故()1104a k -++≤，即114k a ≤-对任意10,6a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦成立，可知12k ≤， 综上可知，102k ≤≤. 因为20x x a ka --+=，所以2x a ka x --=.设3y x a ka =--，其顶点(),A a ka -在y kx =-，10,6x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦（即线段OB ）上运动.若0k <，显然存在V 字图与抛物线2y x =只有两个交点的情况，不符合题意，故0k ≥，如图画出草图.显然 当点A 自点O 向点B 运动时，两个图象总有M ，N 两个交点，故只需要V 字形图象右支y x a ka =--与抛物线有()2y xx a =>交点即可，即()20x x a ka -++=有两个正根，满足()1400a ka a ka -+≥⎧⎪⎨+>⎪⎩，即1014k a <+≤对任意10,6a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦都成立， 即112k -<≤， 又0k ≥，所以102k ≤≤.。