2008年二轮复习高中数学方法讲解：4、参数法在解题过程中，通过适当引入一些与题目研究的数学对象发生联系的新变量（参数），以此作为媒介，再进行分析和综合，从而解决问题的方法叫参数法是指。
直线与二次曲线的参数方程都是用参数法解题的例证。
换元法也是引入参数的典型例子。
辨证唯物论肯定了事物之间的联系是无穷的，联系的方式是丰富多采的，科学的任务就是要揭示事物之间的内在联系，从而发现事物的变化规律。
参数的作用就是刻画事物的变化状态，揭示变化因素之间的内在联系。
参数体现了近代数学中运动与变化的思想，其观点已经渗透到中学数学的各个分支。
运用参数法解题已经比较普遍。
参数法解题的关键是恰到好处地引进参数，沟通已知和未知之间的内在联系，利用参数提供的信息，顺利地解答问题。
若动点P（x，y）的坐标x与y之间的关系不易直接找到，而动点变化受到另一变量的制约，则可求出x、y关于另一变量的参数方程，再化为普通方程．例1. [00.北京、安徽春招]设点A和B为抛物线 y2=4px(p＞0)上原点以外的两个动点，已知OA⊥OB，OM⊥AB，求点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线.解法一：设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x,y)依题意，有⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧--=---=--⋅-=⋅==112121212122112221211144x x y y x x y y x x y y x y x y x y px y px y①－②得(y 1－y 2)(y 1+y 2)=4p(x 1－x 2) 若x 1≠x 2,则有2121214y y px x y y +=-- ⑥①×②,得y 12·y 22=16p 2x 1x 2③代入上式有y 1y 2=－16p 2 ⑦ ⑥代入④，得yxy y p -=+214 ⑧⑥代入⑤，得py x y y x x y y y y p442111121--=--=+所以211214)(44y px y y p y y p --=+ 即4px －y 12=y(y 1+y 2)－y 12－y 1y 2⑦、⑧代入上式，得x 2+y 2－4px=0(x ≠0) 当x 1=x 2时，AB ⊥x 轴，易得M(4p,0)仍满足方程.故点M 的轨迹方程为x 2+y 2－4px=0(x ≠0)它表示以(2p,0)为圆心，以2p 为半径的圆，去掉坐标原点.解法二：设M(x,y)，直线AB 的方程为y=kx+b 由OM ⊥AB ，得k=－yx① ②③ ④ ⑤由y 2=4px 及y=kx+b ，消去y,得k 2x 2+(2kb －4p)x+b 2=0 所以x 1x 2=22kb ,消x,得ky 2－4py+4pb=0所以y 1y 2=kpb 4，由OA ⊥OB ，得y 1y 2=－x 1x 2所以k pk4=－22kb ,b=－4kp故y=kx+b=k(x －4p),用k=－yx 代入，得x 2+y 2－4px=0(x ≠0) 故动点M 的轨迹方程为x 2+y 2－4px=0(x ≠0)，它表示以(2p,0)为圆心，以2p 为半径的圆，去掉坐标原点.例2.实数a 、b 、c 满足a ＋b ＋c ＝1，求a 2＋b 2＋c 2的最小值。
【分析】由a ＋b ＋c ＝1 想到“均值换元法”，于是引入了新的参数，即设a ＝13＋t 1，b ＝13＋t 2，c ＝13＋t 3，代入a 2＋b 2＋c 2可求。
【解】由a ＋b ＋c ＝1，设a ＝13＋t 1，b ＝13＋t 2，c ＝13＋t 3，其中t 1＋t 2＋t 3＝0，∴ a 2＋b 2＋c 2＝（13＋t 1）2＋（13＋t 2）2＋(13＋t 3)2＝13＋23(t 1＋t 2＋t 3)＋t 12＋t 22＋t 32＝13＋t 12＋t 22＋t 32≥13所以a 2＋b 2＋c 2的最小值是13。
【注】由“均值换元法”引入了三个参数，却将代数式的研究进行了简化，是本题此种解法的一个技巧。
例3.椭圆x 216＋y 24＝1上有两点P 、Q ，O 为原点。
连OP 、OQ ，若k OP ·k OQ ＝－14，①．求证：|OP|2＋|OQ|2等于定值； ②.求线段PQ 中点M 的轨迹方程。
【分析】由“换元法”引入新的参数，即设xy==⎧⎨⎩42cossinθθ（椭圆参数方程），参数θ1、θ2为P、Q两点，先计算kOP·kOQ得出一个结论，再计算|OP|2＋|OQ|2，并运用“参数法”求中点M的坐标，消参而得。
【解】由x 216＋y24＝1，设xy==⎧⎨⎩42c o ss i nθθ，P(4cosθ1,2sinθ1)，Q(4cosθ2,2sinθ2),则kOP ·kOQ＝2411sincosθθ∙2422sincosθθ＝－14，整理得到：cosθ1 cosθ2＋sinθ1sinθ2＝0,即cos（θ1－θ2）＝0。
∴ |OP|2＋|OQ|2＝16cos2θ1＋4sin2θ1＋16cos2θ2＋4sin2θ2＝8＋12(cos2θ1＋cos2θ2)＝20＋6（cos2θ1＋cos2θ2)＝20＋12cos（θ1＋θ2）cos（θ1－θ2）＝20，即|OP|2＋|OQ|2等于定值20。
由中点坐标公式得到线段PQ的中点M的坐标为x y MM=+ =+⎧⎨⎩21212(cos cos)sin sinθθθθ，所以有(x2)2＋y2＝2＋2(cosθ1cosθ2＋sinθ1sinθ2)＝2, 即所求线段PQ的中点M的轨迹方程为x28＋y22＝1。
【注】由椭圆方程，联想到a2＋b2＝1,于是进行“三角换元”，通过换元引入新的参数，转化成为三角问题进行研究。
本题还要求能够熟练使用三角公式和“平方法”，在由中点坐标公式求出M点的坐标后，将所得方程组稍作变形，再平方相加，即（cosθ1＋ cosθ2）2＋（sinθ1＋sinθ2）2，这是求点M轨迹方程“消参法”的关键一步。
一般地，求动点的轨迹方程运用“参数法”时，我们可以将点的x 、y 坐标分别表示成为一个或几个参数的函数，再运用“消去法”消去所含的参数，即得到了所求的轨迹方程。
例4.已知正四棱锥S —ABCD 的侧面与底面的夹角为β，相邻两侧面的夹角为α,求证：cos α=-cos 2β。
【分析】要证明cos α=-cos 2β，考虑求出α、β的余弦，则在α和β所在的三角形中利用有关定理求解。
【解】连AC 、BD 交于O ，连SO ；取BC 中点F ，连SF 、OF ；作BE ⊥SC 于E ，连DE 。
则∠SFO ＝β，∠DEB ＝α。
设BC ＝a (为参数)， 则SF ＝OF cos β＝a2cos β, SC ＝SF FC 22+＝(cos )()a a 2222β+ ＝a 2cos β12+cos β又 ∵BE ＝SF BC SC·＝a 22cos β⨯1212acos cos ββ+＝a 12+cos β在△DEB 中，由余弦定理有：cos α＝22222BE BD BE -＝2122122222⨯+-⨯+a a a cos cos ββ＝－cos 2β。
D CO F A B所以cos α＝－cos 2β。
【注】 设参数a 而不求参数a ，只是利用其作为中间变量辅助计算，这也是在参数法中参数可以起的一个作用，即设参数辅助解决有关问题。
例5 .[94.上海]设椭圆中心为原点O ，一个焦点为F （0，1），长轴和短轴的长度之比为t ． （A ）求椭圆的方程；（2）设经过原点且斜率为t 的直线与椭圆在y 轴右边部分的交点为Q ，点P 在该直线上，且12-=t t OQOP ，当t 变化时，求点P 的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形．解：（1）设所求椭圆方程为 ).0(12222＞＞b a bx a y =+由题意得⎪⎩⎪⎨⎧==-,,122t b a b a 解得 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=.11.122222t b t t a 所以椭圆方程为222222)1()1(t y t x t t =-+-．(2)设点),,(),,(11y x Q y x P 解方程组⎩⎨⎧==-+-,,)1()1(1122122122tx y t y t x t t得 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=.)1(2,)1(212121t t y t x 由12-=t t OQOP 和1x x OQOP =得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==,2,2,2222ty t x t y t x 或其中t ＞1．消去t ，得点P 轨迹方程为)22(222>=x y x 和)22(222-<-=x y x ． 其轨迹为抛物线y x 222=在直线22=x 右侧的部分和抛物线y x 222-=在直线22-=x 在侧的部分． 巧解练习：1. 设2x ＝3y ＝5z >1，则2x 、3y 、5z 从小到大排列是________________。
2. 直线x t y t=--=+⎧⎨⎪⎩⎪2232上与点A(-2,3)的距离等于2的点的坐标是________。
4. 三棱锥的三个侧面互相垂直，它们的面积分别是6、4、3，则其体积为______。
6. 椭圆x 216＋y 24＝1上的点到直线x ＋2y －2＝0的最大距离是_____。
A. 3B. 11C. 10D. 22 【简解】1小题：设2x ＝3y ＝5z ＝t ，分别取2、3、5为底的对数，解出x 、y 、z ，再用“比较法”比较2x 、3y 、5z ，得出3y<2x<5z ； 2小题：A(-2,3)为t ＝0时，所求点为t ＝±2时，即(-4,5)或(0,1)；4小题：设三条侧棱x 、y 、z ，则12xy ＝6、12yz ＝4、12xz ＝3,所以xyz ＝24,体积为4。
6小题：设x ＝4sin α、y ＝2cos α，再求d ＝|sin cos |4425αα+-的最大值，选C 。