一般实系数四次方程的谢国芳求根公式作者：谢国芳（Roy Xie ） Email: roixie@【摘要】本文给出了一个绝对准确可靠又最简明快捷的一般实系数四次方程的求根公式，其中涉及的运算全部为实数运算，可以在普通的科学计算器上进行。

以下把一般四次方程的形式设为4324640ax bx cx dx e ++++=在系数中引入数字因子4, 6, 4是为了使后面各参数的表达式尽可能地简洁，注意五个系数的数字因子1, 4, 6, 4, 1恰好是二项式系数（ 4432(1)4641x x x x x +=++++ ）.一般实系数四次方程的谢国芳求根公式对于实系数四次方程 4324640a x b x c x d x e ++++= (0)a > , 定义参数2H b ac =-, 243I ae bd c =-+, 2332G a d abc b =-+, 32234H a H I GJ a--=,3227I J ∆=-,称0G ≠,220I J +≠（即, I J 不同时为0）的情形为一般情形，又可以分为下面这两种情况[1]：（一）一般情形的求根公式Ⅰ当32270I J∆=-<时，方程的四个根为1,23,4(sgn(/(sgn(/x b G ax b G a⎧=--⎪⎨⎪=-+⎩其中sgn()G为G的符号（sign）,1 (0)sgn()1 (0)GGG>⎧=⎨-<⎩2at H=+.（二）一般情形的求根公式Ⅱ当32270I J∆=-≥时，方程的四个根为1234(/(/(/(/x b ax b ax b ax b a⎧=-+++⎪⎪=-+⎪⎨=--+-⎪⎪=---+⎪⎩其中1)3y Hθ=+,2,32)33y Hθπ=±+,1cosJθ--=.s是一个符号因子（sign factor），等于1或1-，视实数123,,y y y的符号而定：当123,,y y y全为正数时sgn()Gs=-，否则sgn()Gs=.（三）特殊情形的求根公式(Ⅰ) 当0G ¹, 0I J ==时,方程有一个三重实根(sgn(/b G a -+和另一个实根(3sgn(/b G a --.(Ⅱ) 当0G =时, 方程的四个根为1234(/(/(/(/x b a x b a x b ax b a ⎧=-+⎪⎪=-+⎪⎨⎪=--⎪⎪=--⎩【注1】规定各求根公式中的平方根全部取主值（设z 为复数z 的模，θ为其幅角主值（πθπ-<≤）/2i θ, /2i θ，称前者为主值），实际上，除了特殊情形Ⅱ之外，各平方根号内的数全都是实数，当它是正数时平方根主值就是普通的实平方根，而当它是负数时则等于其绝对值的实平方根乘以i 。

例题例题1 解四次方程 4322121030x x x x +---=.解：21121051, , 2, , 342642a b c d e --=======-=-2219()(2)24H b ac =-=--=22154334()()3(2)1422I ae bd c =-+=---+-=233511332()3()(2)2()2224G a d abc b =-+=---+=32329932744()()14()4442J H H I G =--=-⨯-=3232278707271427()24I J∆=-=-=-因为0∆<，所以用 一般情形的求根公式Ⅰ 求解：2190.01211672491861742250724a t H =++=++≈30, sgn ()14G G =>=11(sgn(/23.0711409009234886169x b G a =--±=--+≈21 4.29129289313448290572x =--≈-3,4120.389924003894502855570.27493870736756802215x i=--±≈-±例题2 解四次方程 43231418810x x x x ++++=.解：1471883, , 3, 2, 14264a b c d e ========22713()3324H b ac =-=-⨯=2274331423322I ae bd c =-+=⨯-⨯⨯+⨯=2323773732323332()224G a d abc b =-+=⨯-⨯⨯⨯+⨯=322322331313374()3()2()4144443H a HI GJ a⨯-⨯⨯---===-3232110127(2)27()416I J∆=-=--=因为0∆>，所以用 一般情形的求根公式Ⅱ 求解：11()1cos cos 1.0936126008583018847Jθ---==≈弧度113)) 5.5385306812982778167334y H θθ=+=+≈2213) 1.3494473524579513276334y θπ=++≈2213) 2.8620219662437708557334y θπ=-+≈因为123, , y y y 全为正数，sgn () =1G s =-- 37(0, sgn ()1)4G G =>=17(/(/3 1 2x b a =-++=--+=-27(/3 2.90227220776028929072x =---≈-37(/30.558895228078820053052x =-++-≈-47(/30.205499230827557322952x =-+-+≈-例题3 解四次方程 432183571962400x x x x -+-+=.解：1893571191961, , , 49, 24042624a b c d e --===-====-=229119157()224H b ac =-=--=-22911939915432404()(49)3()224I ae bd c =-+=---+=2339119932(49)3()()2()572222G a d abc b =-+=---+-= 3223215715739915141909144()()572 4448J H a H I G=--=⨯---⨯-=-323239915141909127()27()14405853431748I J∆=-=--=因为0∆>，所以用 一般情形的求根公式Ⅱ 求解：11cos cos 0.39062182774728867633 ()θ--==≈弧度15157o s ()c o s ()17.935443512405450943334y H θθ=+=-≈22157+)74.327803692239770745334y θπ-≈-32157)61.357639820165680199334y θπ--≈-因为123, , y y y 不全为正数，sgn () =1G s = (5720, s g n (G G =>=1,2(/9 2 8.735025798316398797416.454469174310768933x b a i i=-+±+=+±+≈±3,4(/9 2 0.264974201683601202550.78824565743655318750x b a i i =-+=+±-≈±作者简介： 谢国芳，浙江绍兴人，独立语言学者和数学研究者，著有《解密英语——学外语从零点到绝顶的最速路经》、《日语汉字读音规律揭秘》、《破解韩国语单词的奥秘》等，建有以传播外语和数学知识与文化为宗旨的网站“语数之光”。

已发表的数学和物理方面的论文有：4. 《一般三次方程的简明新求根公式和根的判别法则》 （2012年第21期《数学学习与研究》）。