湖北中职技能高考数学知识总汇(上)-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN湖北技能高考数学基础知识总汇(上)预备知识:1.完全平方和(差)公式:(a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b22.平方差公式:a2-b2=(a+b)(a-b)3.立方和(差)公式: a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) a3±b3=(a-b)(a2±ab+b2)4.韦达定理: ; 求根公式:。
第一章集合与简易逻辑一.集合1、集合的有关概念和运算(1)集合的特性:确定性、互异性和无序性;(2)元素a和集合A之间的关系:a∈A,或a∉A;(3)常用数集及其符号:自然数集N、整数集Z、正整数集、有理数集Q、实数集R。
(4)集合的表示方法:列举法、描述法、图示法。
2、子集定义:A中的任何元素都属于B,则A叫B的子集;记作:A⊆B,注意:A⊆B时,A有以下可能:A=φ、A=B、A的元素比B少且A的元素都属于B。
3、真子集定义:A是B的子集,且B中至少有一个元素不属于A;记作:A⫋B。
4、补集定义:。
5、交集与并集:交集:}Ax{Bxx∈=或|A∈Bx;并集:}A{B|xxB∈=且A∈6、集合中元素的个数的计算:若集合A中有n个元素,则集合A的所有不同的子集个数为)个,所有真子集的个数是个,所有非空真子集的个数是个。
二.简易逻辑:充分条件与必要条件: 若q p ⇒,则p 叫q 的充分条件; 若q p ⇐,则p 叫q 的必要条件; 若q p ⇔,则p 叫q 的充要条件;第二章 不等式一、不等式的基本性质:1.特殊值法是判断不等式命题是否成立的一种方法,此法尤其适用于不成立的命题。
2.中间值比较法:先把要比较的代数式与“0”比,与“1”比,然后再比较它们的大小。
3.实数大小的基本性质:4.不等式的性质: (1)传递性:(2)加法性质:(3)乘法性质:(4)作差法比较两数(或两式)的大小或证明不等式成立:作差→变形(通分、配方、分解因式等→判断符号。
也可以求比来比较大小。
二.均值定理:1.内容:两个数的算术平均数不小于它们的几何平均数。
即:若0,>b a ,则ab ba ≥+2(当且仅当b a =时取等号)2.基本变形:①),(2+∈≥+R b a ab b a (当且仅当b a =时取等号);②若R b a ∈,,则ab b a 222≥+ 。
三、区间的概念:区间、区间的端点、开区间、闭区间、半开半闭区间、无(有)限区间以及它们的数轴表示。
如{x|x≥-1}∩{x|x<3}=[-1,3)可表示为:四、绝对值不等式:(1)(2)(3)五、一元一次不等式的解法:依据不等式性质:去分母、去括号、移项、合并同类项将其化为的形式求解;一元一次不等式组的解则是各不等式解的交集。
六、一元二次不等式的图解法:(二次函数、二次方程、二次不等式三者之间的关系)判别式:△=b 2-4ac0>∆ 0=∆ 0<∆二次函数)0()(2>++=a c bx ax x f的图象一元二次方程)0(02>=++a c bx ax 的根有两相异实数根)(,2121x x x x < 有两相等实数根ab x x 221-== 没有实数根一元二次不等式)0(02>>++a c bx ax 的解集},|{21x x x x x ><“>”取两边}2|{ab x x -≠ Rx 1x 2xy O x 1=x 2xyOxy O一元二次不等式)0(02><++a c bx ax 的解集}|{21x x x x <<“<”取中间φ φ注意:①带等于号的情况;②先化为a >0的形式;③若,则a >0且△<0。
若,则a <0且△<0。
七、分式不等式的解法:通解变形为整式不等式;(1)⇔>0)()(x g x f f(x)>0且g(x)>0或f(x)<0且g(x)<0即f(x)g(x)>0; (2)第三章 函数1、定义:设A ,B 是非空数集,若按某种确定的对应关系f ,对于集合A 中的任意一个数x ,集合B 中都有唯一确定的数f (x )和它对应,就称f :A →B 为集合A 到集合B 的一个函数,记作y=f (x ),2、函数的三要素:定义域,值域,对应法则;两个函数相同,则定义域、对应法则要相同,最终值域也相同。
3、函数的表示方法:解析法、列表法、图象法。
4、求定义域的一般方法:①整式:全体实数R ;②分式:分母0≠;③0次幂:底数0≠;④偶次根式:被开方式0≥,例:225x y -=;⑤对数:真数0>,例:)11(log xy a -=⑥正切函数:;⑦指数函数、对数函数:底数(a>0且a ≠1);⑧其他实际要求:例如三角形的内角0<α<、人的个数、工件个数、工作天数等x ∈N 。
5、求值域的一般方法: ①图象观察法:;②单调函数法: ]3,31[),13(log 2∈-=x x y③二次函数配方法:)5,1[,42∈-=x x x y , 222++-=x x y 6、求函数解析式f (x )的一般方法:①待定系数法:把已知点(x,y )值代入f (x )=ax+b 或f (x )= 解析式中求解。
②奇偶性法:f (x )是左路函数,且在(0,+∞)上解析式是f (x )=x-2,则在(-∞,0)上解析式是f (x )=x+2 7、函数的单调性:(1)定义:区间D 上任意两个值21,x x ,若21x x <时有)()(21x f x f <,称)(x f 为D 上增函数;若21x x <时有)()(21x f x f >,称)(x f 为D 上减函数。
(一致为增,不同为减) (2)区间D 叫函数)(x f 的单调区间,单调区间包含于定义域; (3)证明函数单调性的方法:在定义域上取21x x <,作差法( )比较大小。
(4)一次函数a >0时是增函数,反之是减函数;二次函数a >0时在对称轴左边是减函数,右边是增函数,a <0时则反之。
8、奇偶性:定义域一定关于原点对称,比较f(x) 与f(-x)的关系;要会用奇偶性比较大小。
f(x) -f(-x)=0⇔ f(x) =f(-x) ⇔f(x)为偶函数,其图象关于y轴对称;f(x)+f(-x)=0⇔f(x) =-f(-x)⇔f(x)为奇函数,其图象关于原点对称。
9、周期性:若函数f(x)对定义域内的任意x满足:f(x+T)=f(x),则T为函数f(x)的周期。
正弦、余弦函数周期为2,正切函数周期为。
10、函数图像变换:(1)平移变换y=f(x)→y=f(x+a),y=f(x)+b;(2)法则:加左减右,加上减下;(3)还可以通过特殊值法,描点定性作出函数图象,分析其单调性、奇偶性等。
11、分段函数:在实际应用问题中常涉及:水费、电费、商品售价优惠等。
不同区间上解析式不相同,但整体是一个函数。
注意每段定义域的端点是否包含。
12、二次函数:(1)二次函数的三种解析式①一般式:(a≠0);②顶点式: (a≠0),其中(k,h)为顶点;③两根式:(a≠0),其中x1,x2是f(x)=0的两根(2)图像与性质:二次函数的图像是一条抛物线,有如下特征与性质:开口: a>0⇔开口向上 a<0⇔开口向下对称轴:顶点坐标:∆与x轴的交点:④根与系数的关系:(韦达定理)⑤为偶函数的充要条件为b =0⑥二次函数(二次函数恒大(小)于0,用于解二次不等式)⇔图象位于x 轴上方;⇔图象位于x 轴下方。
⑦若二次函数对任意x 都有,则其对称轴是x=t 。
第四章 指数函数与对数函数1.根式与实数指数幂:(1)n 次根式:如果x n =a(n>1,且n ∈N *),则称x 是a 的n 次方根。
①0的n 次实数方根等于0,即。
②若n 是奇数,则a 的n 次实数方根记作:。
③若n 是偶数,且a>0,则a 的n 次实数方根为,其中叫做a 的n 次算术根。
(2) 根式的性质: ①。
②,(a ≥0)。
③当n 为奇数时,;当n 为偶数时,⎩⎨⎧<-≥==)0()0(||a a a a a a n n 。
(3)分数指数幂:①正分数指数幂:n mnma a=;负分数指数幂:nm nm a a1=-②③(4)实数指数幂运算法则: ①; ②; ③; ④; ⑤。
2.对数及其运算法则:(1)定义:如果)1,0(≠>=a a N a b ,则。
以10为底叫常用对数,记为lgN ,以e=2.7182828…为底叫自然对数,记为lnN(2)性质:①负数和零没有对数,②1的对数等于0:01log =a ,③底的对数等于1:1log =a a ,④积的对数:N M MN a a a log log )(log +=,商的对数:N M NMa a alog log log -=, 幂的对数:M n M a n a log log =, 方根的对数:M nM a n a log 1log =, 指数和对数: (a>0,a ≠1),(a>0,a ≠1)。
(3)换底公式: ,(a,b,N >0,a,b ≠1)。
3.幂函数的图象和性质:图像定义域 R R R [0,+∞) x ≠0 (0,+∞) 值域 R [0,+∞) R [0,+∞) y ≠0(0,+∞) 单调性 增 先减后增 增 增 减 先增后减 奇偶性 奇偶奇无奇偶过定点 (0,0)和(1,1) (1,1) 象限1,3 1,21,311,31,24.指数函数和对数函数的图象性质:函 数指数函数对数函数定 义x a y = (10≠>a a 且)x y a log =(10≠>a a 且)图 象a>10<a<1a>10<a<1性质 定义域 (-∞,+∞) (0,+∞) 值域 (0,+∞)(-∞,+∞)单调性 增函数减函数增函数减函数函数值变化⎪⎩⎪⎨⎧<<==>>0,10,10,1x x x a x ⎪⎩⎪⎨⎧<>==><0,10,10,1x x x a x ⎪⎩⎪⎨⎧<<<==>>10,01,01,0log x x x x a ⎪⎩⎪⎨⎧<<>==><10,01,01,0log x x x x a图象 定 点 ∴=,10a 过定点(0,1) ∴=,01log a过定点(1,0) 特 征 ∴>,0x a 图象在x 轴上方∴>,0x 图象在y 轴右边图 象关 系x a y =的图象与x y a log =的图象关于直线x y =对称的图象与的图象关于y 轴对称,例与。