即 3 x (8 3 x )的最大值是 4
此时 3x (8 3x )解得 x 4
3
2020/12/6
16
三、提高型题组
1、求 yx 1 (x1)的最小值，并x值 求相应 x1
（2）和x+y为定值S时，有 xy x y xy 1 S 2=”号，因此，当x=y时，积xy有最大4
S
2
2020/12/6
8
一、基础型题组
1.已知两个正数x，y， (1)如果积xy是定值p，求x+y的最小值； (2)如果和x+y是定值s，求积xy的最大值.
结论：“和（为）定（值），积（有）最大（值）”； “积（为）定（值），和（有）最小（值）”，注 意条件：“一正、二定、三相等”.
ac bd ac bd 0 2
( ab cd )( ac bd ) abcd 4
即（ ab cd ）( ac bd ) 4 abcd
2020/12/6
14
2、已知a、b、c都是正数， 求证：（a＋b）（b＋c）（c＋a）≥８abc
证明：∵a，b，c都是正数
ab2 ab0;bc2 bc0;
2020/12/6
9
2、已知xy>0，求
y x
x y
的最小值
解∵x，y同号，∴
x y ＞0，
y ＞0， x
x y 2 x y 2 即 x y 2
y x yx
yx
yx的最小 2(当 值且 是 x仅 y时 当等号 ) xy
2020/12/6
10
3、已知 0求tanco的 t 最小值
2 解：0
人教版高二数学必修第六章第二节
2020/12/6
1
6.2 算术平均数与几何平均数 教学目标：学习重要不等式 a2b22ab和均值不等
式 ab ab 的定理及证明，并会应用它 2
们解决最值和简单的不等式证明问题
教学重点：掌握两个重要不等式；应用它们求某些函数 的最值
教学难点：能灵活运用利用均值不等式求最值
新疆 王新敞
奎屯
ca2 ca0
(ab)(bc)(ca)2 ab2 bc2 ca8ab 即(ab)(bc)(ca)8abc
2020/12/6
15
3、0设 x2,求函 y数 3x(83x)的最大值
并求x相 的应 值
解 0 ： x2
0 3 x 6， 6 3 x 0
2 8 3x 8
3x (8 3x ) 3x (8 3x ) 4 2
3
x
分析：设水池底面一边的长度为xm，则另一边 的长度为 4800 m，又设水池总造价为y元，根据 题意，得 3 x
y 150480012(023x23480)0
3
3x
24000072(0x160)0 (x 0) x
2020/12/6
4
学习下列两个不等式：
（ 1 ）a 如 ,b R ,那 果 a 2 么 b 2 2 a（ b 当 a b 且 时 ” 仅 取 .
因此，当水池的底面是边长为40m的正方形时，水池的 总造价最低，最低总造价是297600元。
2020/12/6
13
二、巩固型题组
1、已a知 ，b，c，d都是正数， 求证 （ : abcd） (acbd)4abcd
证明：由 a , b , c , d 都是正数，得
ab cd ab cd 0 2
我们 ab为 称 a,b的算术平 a为 ba,均 b的数 几， 何 . 2
定理叙述：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数
所以上述不等式又叫均值不等式
又如 A C 图 a,C， B b ,D Cab
半径a 2是 b,半弦a是 bA
a
D
ab
C bB
E
2020/12/6
6
一、基础型题组
1.已知两个正数x，y， (1)如果积xy是定值p，求x+y的最小值； (2)如果和x+y是定值s，求积xy的最大值.
2
tan 0,cot 0
tan cot 2 tancot 2
tan cot的最小值（ 2是当且仅当时等号成立
4
2020/12/6
11
某工厂要建造一个长方体无盖蓄水池，其容积为
4800m3,深为3m，如果池底每1m2的造价为150元，池壁每 1m2的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低， 最低总造价是多少元？
设水池底面一边的长度为xm，(x 0)则另一边的
长度为 4800 m，又设水池总造价为y元，根据题
意，得 3 x
解 :y 24 0 70 (2 x 0 1 00 6 ) 0 20 4 0 70 2 2 0 0 x0 160
x
x
240 702 2 0 0 4 0 0 297600
当x160,即 0x4时 0,y有最小值 x
能力要求：提高学生分析问题和解决问题的能力，培养 学生的创新精神，进一步加强学生的实践能力
2020/12/6
2
2020/12/6
3
某工厂要建造一个长方体无盖蓄水池，其容积为
4800m3,深为3m，如果池底每1m2的造价为150元，池壁每 1m2的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低， 最低总造价是多少元？
证明：a2b22a b(ab)2
当 ab时 (ab)20,当 ab时 (ab)20,所以
(a b)2 0,
即a2 b2 2ab
（ 2）定理 : 如果 a , b 是正数，
那a 么 ba（ b 当a 且 b时 仅 取 ” 当 “ 号 2
2020/12/6
5
（ 2 ）a ,如 b 是果 正 a b 数 a （ ， b 当 a 那 b 时 且 么 ” 取 仅 2
3
x
分析：设水池底面一边的长度为xm，则另一边 的长度为 4800 m，又设水池总造价为y元，根据 题意，得 3 x
y 150480012(023x23480)0
3
3x
24000072(0x160)0 (x 0)
x
2020/12/6
12
某工厂要建造一个长方体无盖蓄水池，其容积为4800m3, 深为3m，如果池底每1m2的造价为150元，池壁每1m2的 造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总 造价是多少元？
2020/12/6
7
1.已知两个正数x，y，
(1)如果积xy是定值p，求x+y的最小值；
(2)如果和x+y是定值s，求积xy的最大值.
解：因为x,y都是正数，所以
xy xy 2
（1）积xy为定值P时，有 x y Pxy2 P
2
上式当 xy时，取“=”号，因此，当x y p
时，和有最小值2 P