W =（各部件自由度总数）－（全部约束总数）
体系自由度数 S 等于零是体系几何不变的充要条件。 复杂体系的必要约束往往不易直观判定。
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第一章 平面杆系的几何组成分析
算法1
W = 3m-(3g+2h+b)
支座链杆数 单铰结点数 单刚结点数 刚片数（不含地基）
算法2
W = 2j-b
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第一章 平面杆系的几何组成分析
常见约束装置： 单刚结点
1个单刚结点=3个约束
三个链杆如何安排才 能反应实况？
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第一章 平面杆系的几何组成分析
复约束 连接三个或三个以上构件的约束
复链杆
连接n个结点的复链杆相当于 2n-3个单链杆
复铰 复刚
FP
几何可变体系不能作
为建筑结构
一般结构必须是几何
不变体系
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第一章 平面杆系的几何组成分析 §1-2 平面体系几何不变的条件
判断一个体系是否为几何可变， 实际上就是判别该体系是否存 在刚体运动的自由度。
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第一章 平面杆系的几何组成分析
1-2-1 自由度(degrees of freedom)
一个连接 n个刚片的复铰相当 于(n-1)个单铰，相当于2(n-1) 个约束。
一个连接 n个刚片的复刚相当 3(n-1)个约束。
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第一章 平面杆系的几何组成分析
1-2-3 必要约束、多余约束
注：并非所有的约束都能减少自由度。
必要约束 ( necessary restraints)：体 系中起到改变自由度作用的 约束。
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第一章 平面杆系的几何组成分析
单铰 联结两个刚片的铰。
1个单铰=2个约束=2个的单链杆。
虚铰——在运动中虚铰的位置不
定，这是虚铰和实铰的区别。通
常我们研究的是指定位置处的瞬
时运动，因此，虚铰和实铰所起
的作用是相同的，都是相对转动
中心。
k
k不是虚铰
只有连接相同两个刚片的链杆才 能形成一个虚铰。
1-2-4 平面体系的计算自由度
体系自由度 S 就等于体系各组成部分互不连接时 总的自由度数减去体系中的必要约束数。
S=（各部件自由度总数）－（必要约束数）
计算自由度W (computational degree of freedom) ：体 系各组成部分互不连接时总的自由度数减 去体系中总的约束数。
• 判断杆件体系能否作为结构； • 杆件如何组合才能成为结构（组成结构的规则）； • 确定相应的计算方法，寻找简便的解题途径； • 创造新的合理的结构形式。
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第一章 平面杆系的几何组成分析
几何组成分析将不计由于材料变形而引起的微小位 移，视每个杆件为刚体，特别将平面杆系任意几何 不变部分称为刚片。
第一章 平面杆系的几何组成分析
§1-1 概述
Geometric construction analysis
杆系结构是由许多杆件组合而成，而由杆件组成的体系 并不一定是结构。杆件组成结构应该满足一定的要求。
定义：按几何学原理对体系发生运动的可能性进行分析，
称为体系的几何组成分析。
体系几何组成分析的目的（要解决问题）：
自由度：确定体系位置所需要独立坐标的数目。
A
y
y
A x
y x
1动点具有2自由度 1刚片具有3自由度
x
刚 片：凡本身为几何不变者，均视其为刚片
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第一章 平面杆系的几何组成分析
1-2-2 约束
约束 (restraint)：能限制体系运动的装置。 如果体系有了自由度，必须消除，消除的 办法是增加约束。
h=3
g=1
g=2
h=2
h=1
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第一章 平面杆系的几何组成分析
例题：计算平面刚片体系的计算自由度
K
G
H
D
E
F
m＝9 g＝４
h＝5
b＝4
பைடு நூலகம்
W = 3×9－( 3×4+2×5＋4)＝１
A
B
C
体系不满足几何不变的必要 条件，故是几何可变体系。
F
G
H m＝8
D
E
g＝7 h＝1
定义1 体系受到某种荷载作用，在不考虑材料应变 的前提下，体系若不能保证几何形状、位置不变， 称为几何可变体系( geometrically changeable system )。
FP
FP
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第一章 平面杆系的几何组成分析
定义2 体系受到任意荷载作用，在不考虑材料应 变的前提下，体系若能保证几何形状、位置不变， 称为几何不变体系( geometrically unchangeable system )。
单链杆个数 铰结点个数
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第一章 平面杆系的几何组成分析
注意：
1、复连接要换算成单连接。 2、计算时应注意部分刚片内含有内部多余约束。 3、单铰仅指刚片间连接的铰，不含刚片与基础间
的连接的铰支座。 4、利用公式1时候最好将体系中的每个杆件视作一
个部件；对于铰接链杆体系也可将结点视为部 件，链杆视为约束，利用算法2的公式计算。
多余约束
多余约束 ( redundent restraints)：体 系中并不能起到消除自由度 作用的约束。
必要约束
注：多余约束不改变体系的自由度，但将影响结构的受力与变形。
注：必要约束与多余约束经常是相对而言的。
结论：只有必要约束才能对体系自由度有影响。
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第一章 平面杆系的几何组成分析
b＝4
W = 3×8－( 3×7+2×1＋4)＝－3
A
BC
刚片本身含有内部多余约束
体系具有比组成几何不变体 系要求多3个约束。
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第一章 平面杆系的几何组成分析
例题：计算图示体系的计算自由度
E
F
G
H
A
B
C
D
m＝13 g＝0 h＝18
b＝3
W = 3×13－(2×18＋3)＝0
内部约束（体系内各杆之间或结点之间的联系） 外部约束（体系与基础之间的联系)
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第一章 平面杆系的几何组成分析
常见约束装置： 单约束 仅连接两个刚片的约束
单链杆 仅在两处与其它物体用铰相连，不论其形状
和铰的位置如何
1个单链杆 = 1个约束。
链杆可以是曲的、折的 杆，只要保持两铰间距 不变，起到两铰连线方 向约束作用即可。