3. 约束
一个链杆： 使自由度减少一，在相当于一个约束；

一个单铰、铰支座、定向支座： 使自由度减少二，相当 于两个约束； 一个刚性连接、固定端支座： 使自由度减少三，相当于 三个约束；
链杆
铰连接
刚性连接
链杆支座
定向支座
铰支座
固定端支座
4. 多余约束
对体系的自由度（或几何不变性）没有影响的约束。
第三节
2.
平面杆件体系的计算 自由度
体系的计算自由度W
g—— 单刚结点的个数； n——单铰结点的个数； r—— 链杆的个数；
W=3m-(3g+2n+r) 其中： m—— 刚片的个数；
W=2J-(b+r)
其中： J—— 结点的个数； b—— 链杆的个数；

r—— 支座链杆的个数；
3. 约束代换
第一节 几何组成分析基本概念
1.几何不变体系和几何可变体系

几何不变体系——不考虑材料应变的条件 下，体系的位置和几何形状保持不变； 几何可变体系——不考虑材料应变的条件 下，体系的位置和几何形状是可以改变的；


只有几何不变体系才可以作为结构。 几何组成分析的目的——判断体系是否为几何不变 体系，以保证结构能承受荷载并维持平衡。
第2章 结构的几何组成 分析
第一节 几何组成分析基本概念 第二节 几何不变体系的组成规律 第三节 平面杆件体系的计算自由度
第2章 结构的几何组成 分析
重点掌握内容：
1. 结构几何组成规律分析的目的 2. 基本概念： 如：几何不变体系、几何可变体系、
瞬变体系、自由度、约束
3. 几何不变体系的组成规律 4. 平面杆件体系自由度的计算
2.自由度
1) 自由度—— 体系在运动时，用来确定其位置所需要独 立坐标的数目；

平面内一点—— 需x、y坐标其位置，因此有两个自由度； 平面内刚体——需x、y、a来确定其位置，因此有三个自由度；
平面内点的自由度
平面内刚体的自由度
2) 体系的自由度数—— 体系独立的运动方程数； 3) 几何可变体系的自由度大于零；几何不变体系的自 由度不大于零。
瞬变体系
2) 在发生微小位移之前，体系具有自由度，因此瞬变体系至 少有一个多余自由度。
5.瞬变体系

几何可变体系分：瞬变体系 和 常变体系；
常 变 体 系 ——可以发生大位移的几何可变体系。
无多余约束－静定结构 几何不变体系（ 可作为结构） 结构 有多余约束－超静定 体系 几何可变体系（ 不能作为结构）常变体系 瞬变体系
2) 在得出结论时, 应写明体系的几何构造特性, 还 应写明有几个多余约束. 3) 判断多余约束的个数时，内部多 余约束也应考虑在内。
体系几何构造分析例题
例2-2
任选杆AD为刚片I ， AD与周围有四个约束（链杆AB、AF、DC、 DE)相连，应用三刚片组成规律。分别取两链杆连接的杆作为另 两刚片。即链杆AB、DE连接的杆BE作为刚片II ，链杆AF、DC 连接的杆CF作为刚片III 。 刚片I 、刚片II通过链杆AB、DE相连，相当瞬铰OI II； 刚片I 、 刚片III通过链杆DC、AF相连，相当于一瞬铰OI III； 刚片II、 刚片III通过链杆BC、EF联结，相当于瞬铰OII III； OI II、OI III、OII III不共线，根据规律3，体系内部为几何不变 体系，且没有多余约束。但整个体系有三个自由度。
C A
B
D
刚片I(ABC)和刚片II(ADE) 由 铰A和链杆CD联结成一几何不 变的整体，可视为一大刚片， 与基础用三链杆固定。
去掉链杆AB或CD，根据三角 形规律，体系为一几何不变的 整体。因此整个体系为有一个 多余约束的几何不变体系。
体系组成的分析的步骤
3. 链杆和刚片可以相互转化。有时把链杆作为刚片分析, 有 时把曲杆或扩大的刚片看作链杆分析，三角形也并不总是 被看作一个刚片， 必要时应把它拆分成链杆， 甚至可以 把一种形式的刚片化为另一种形式的刚片。
不变体系
常变体系
6.瞬铰（虚铰）
瞬铰—— 刚片的瞬时转动中心，两根链杆在某一瞬时
的作用相当于其交点处的一个铰，该交点即为瞬铰。
——瞬铰的位置在运动过程中不断改变。 注意：连接两个刚片的两根平行链杆所起的 约束作用相当于无穷远处的瞬铰。
瞬铰 瞬铰
无穷远瞬铰
返
回
第二节 几何不变体系的 律4装配
第二节 几何不变体系的 组成规律
2. 两个刚片之间的联结方式


联结两刚片的三个铰共线、三个链杆交于一点或彼此平 行（不等长），组成瞬变体系；
联结两刚片的三个链杆共用一顶点或彼此平行且等长， 则组成常变体系。
瞬变体系
常变体系
第二节 几何不变体系的 组成规律
3. 三个刚片之间的联结方式
刚片I(BCF)和刚片II(DEA) 由 链杆AB、CD、EF联结成一几 何不变的整体，可视为一大刚 片，与基础用三链杆固定。
体系组成的分析的步骤
2)
—
从内部刚片出发进行装配 先取体系内部任一个刚片作为基本刚片，如与周围有三个 约束，则用两刚片组成规律，三个约束连接的另一端为第 二个刚片； 如果与周围有4个约束，则用三刚片组成规律， 其中两两约束连接的另一端为另两刚片 。
多余约束的数目等于保证体系几何不变可去掉最多约束的 个数；

一个多余约束
两个多余约束
5.瞬变体系
瞬变体系—— 在某一瞬时可产生微小运动的几何可变体系、
经微小运动后又成为几何不变的体系；
—从微小运动的角度来看是个可变体系； — 微小运动后，就转化为几何不变体系 ；
— 瞬变体系的特点：
1) 必要的约束数不少，但约束的布置不 合理，当发生微小位移后，约束的布 置变得合理，就成为几何不变体系；
1. 点与刚片之间的联结方式
规律1 ：一个刚片与一个结点用两根链杆相连，且三个
铰不在一条直线上，则组成几何不变体系，且没有多余 约束。 上述装置也称为二元体—— 在一个体系上增加、撤除二 元体不改变体系的几何组成； ——— 称为简单的装配 格式。
简单装配
凡本身几何不变者均可视为刚片。如：基础、杆件、扩大的几何不变 的整体等。
单铰
复铰
单刚结点
复刚结点
n个刚片之间的复铰相当于n-1个单铰。 n个刚片之间的复刚结点相当于n-1个单刚结 点。
第三节
平面杆件体系的计算 自由度
4. 习题：求体系的计算自由度W
W=3m-2n-r =3*7-2*9-3=0
W=3m-2n-r =3*8-2*10-4=0
W=3m-2n-r=3*4-2*4-4=0
第二节 几何不变体系的 组成规律
2. 两个刚片之间的联结方式
规律2 ：两个刚片用一个铰和一根链杆相连，且三个铰不 在一直线上，则组成几何不变整体，且没有多余约束。 规律4：两个刚片用三根链杆相连，且三链杆不交于同一 点，则组成几何不变整体，且没有多余约束。

以上固定一刚片的联结方式称为联合装配格式。

规律3装配
复合装配格式
第二节 几何不变体系的 组成规律
3. 三个刚片之间的联结方式
复合装配格式
体系组成的分析的步骤
1)

从基础出发进行装配—— 先将基础视为基本刚片，与周围 结点、刚体按基本装配格式，逐步扩大基本刚片，直至形 成整个体系。 当基础与体系的约束超过3时，一般采用此装配方式。
体系组成的分析的步骤
2)

从内部刚片出发进行装配——先取体系内部一个或几个刚 片作为基本刚片，与周围结点、刚体按基本装配格式，逐 步扩大基本刚片，直至形成整个体系。 当基础与体系的约束等于3时，一般采用此装配方式。
刚片I(ADC)和刚片II(BEC) 由 铰C和链杆DE联结成一几何不 变的整体，可视为一大刚片， 与基础用三链杆固定。
规律3 ：三个刚片用三个铰两两相连，且三个铰不在同 一直线上，则组成几何不变的整体，且没有多余约束。 规律3也称为三角形规律：一个铰结三角形是没有多余 约束的几何不变体； 以上规律的每个铰都可以用交于该铰的两根链杆代替。 联结三刚片的三个铰如在同一直线上，则组成瞬变体系。 ——以上固定两刚片的方式称复合装配格式。
体系几何构造分析例题
例2-4
体系几何构造分析例题
例2-5
习题训练
习题训练
习题训练
返
回
第三节
平面杆件体系的计算 自由度
1.体系的计算自由度W


W=（各部件的自由度总和）—（全部约束数） W>0 ， 体系几何可变； W=0 ， 体系满足几何不变所必须的最小约束数目； W<0 ， 体系有多余约束； W≤0 时， 并不能判定体系为几何不变体系,其还与结构 组成形式有关,即与约束的布置形式有关.
W=3m-3g-r =3*5-3*8-3=-12
第三节
平面杆件体系的计算 自由度
4. 习题：求体系的计算自由度W
W=3m-3g-r =3*4-3*6-4=-10 或 W=3m-3g-r =3*10-3*12-4=-10
W=3m-3g-r =3*1-3*3-4=-10
返
回
W=3m-2n-r=3*15-2*21=3
体系几何构造分析例题
例2-3
任选杆DA为刚片I ， DA与周围有四个约束（链杆AB、AF、DE、 DC)相连，应用三刚片组成规律。分别取两链杆连接的杆作为另 两刚片。即链杆AB、DE连接的杆EB作为刚片II ，链杆AF、DC 连接的杆FC作为刚片III 。 三刚片中，任意两两之间都有两链杆相连，相当于一瞬铰，三瞬 铰OI II、OI III、OII III共线，根据规律3，体系内部为瞬变体系。 刚片的选取还有很多种情况，可尝试取不同的刚片分析。