第十章 无穷级数习题10-11. 写出下列级数的前五项:（1）∑∞=+12)2(n n n; （2）∑∞=⋅-⋅1)2(42)12(31n n n ; （3）∑∞=--1110)1(n n n ; （4）∑∞=+1)1(!n nn n . 解 （1） +++++222227564534231（2） +⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅+⋅⋅+1086429753186427531642531423121（3） -+-+-501401*********（4） +++++543216!55!44!33!22!1.2. 写出下列级数的一般项: (1)+++614121; (2)+⋅+⋅+⋅+⋅117957351132a a a ; (3) -+-+-+-36132511169974513;(4) +⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅+86426424222x x x x x (0x >).解（1）因为21121⋅=，22141⋅=， 23161⋅=，因此一般项nu n 21=(2) 因为 )312()112(5110+⋅⋅-⋅=⋅a ，)322()122(731+⋅⋅-⋅=⋅a a )332()132(9522+⋅⋅-⋅=⋅a a 因此一般项)32)(12(1+-=-n n a u n n （3） 因为11)112()1(131⋅+⋅-=-，222)122()1(45+⋅-=， 233)132()1(97+⋅-=- 因此一般项2)12()1(n n u n n +-=（4）因为21221⋅=xx ，424222⋅=⋅x x ，64264223⋅⋅=⋅⋅x x x ，因此一般项!2)321(2)2(642222n xn x n x u n n n n nn =⋅⋅=⋅⋅=.3. 判定下列级数的敛散性:（1）∑∞=-+1)1(n n n ; （2）∑∞=+-1)12)(12(1n n n ;（3）++++⋅+⋅)1(1321211n n ; （4） ++++6πsin 6π2sin 6πsin n ;（5）∑∞=++-+1)122(n n n n ; （6）++++4331313131; （7）22111111()()()323232nn -+-++-+;（8） ++-+++++121297755331n n ;（9）)(12112-∞=+-∑n n n a a （0a >）;(10)+++++++++n n)11(1)311(1)211(1111132. 解（1）因为11)1()34()23()12(-+=-+++-+-+-=n n n S n 当∞→n 时，∞→n S ，故级数发散.（2）因为)121121(21)12)(12(1+--=+-n n n n)12)(12(1751531311+-++⋅+⋅+⋅=n n S n )]121121()5131()311[(21+--+-+-=n n ]1211[21+-=n , 当∞→n 时，21→n S ，故级数收敛.(3) 因为111)1(1+-=+n n n n ，)1(1431321211+++⋅+⋅+⋅=n n S n111)111()3121()211(+-=+-+-+-=n n n 当∞→n 时，1→n S ，故级数收敛.（4）因为 6sin63sin 62sin 6sin π++π+π+π=n S n )6sin 12sin 263sin 12sin 262sin 12sin 26sin 12sin 2(12sin21ππ++ππ+ππ+πππ=n )]1212cos 1212(cos )125cos 123(cos )123cos 12[(cos 12sin21π+-π-++π-π+π-ππ=n n ]12)12(cos 12[cos 12sin21π+-ππ=n由于 π+∞→1212cos lim n n 不存在，所以n n S ∞→lim 不存在，因而级数发散.（5）因为)1()12(122n n n n n n n -+-+-+=++-++---+---+---=)34()45()23()34()12()23[(n S )]1()12(n n n n -+-+-++)12(121)12()12(--+++=--+-+=n n n n当∞→n 时，21-→n S ，故级数收敛. (6) 该级数的一般项)(013311∞→≠→==-n u nnn ，故由级数收敛的必要条件可知，该级数发散.(7) ∑∑∞=∞=-=-++-+-+-1133222131)2131()2131()2131()2131(n n n n n n∑∞=131n n 该级数为公比131<=q 的等比级数，该级数收敛，而∑∞=121n n该级数为公比121<=q 的等比级数，该级数也收敛，故∑∑∞=∞=-112131n n n n 也为收敛级数.(8) 该级数的一般项)(0112211212∞→≠→+-=+-=n n n n u n ，故由级数收敛的必要条件可知，该级数发散.(9) 因为 a a a a a a a a S n n n n -=-++-+-=+-+121212353)()()( 当∞→n 时，a S n -→1，故该级数收敛. (10) 该级数的一般项)(01])11[()11(11∞→≠→+=+=-n e n nu n n n ，故由级数收敛的必要条件可知，该级数发散. 4. 证明下列级数收敛，并求其和：++-++⋅+⋅+⋅)13)(23(11071741411n n . 证 )13()23(11071741411+⋅-++⋅+⋅+⋅=n n S n )1311(31)]131231()7141()411[(31+-=+--++-+-=n n n 当∞→n 时，31→n S ，故该级数收敛，且 31)13()23(11=+⋅-∑∞=n n n . 5．若级数∑∞=1n nu与∑∞=1n nv都发散时，级数∑∞=±1)(n n nv u的收敛性如何？若其中一个收敛，一个发散，那么，级数∑∞=±1)(n n nv u收敛性又如何？解 若级数分别为+-+-+-=-∞=∑11)1(111n n nu；(发散)+-++-+-=∑∞=n n nv)1(1111；（发散）则级数∑∞=+1)(n n nv u显然收敛；但是如果另外有级数∑∑∞=∞==11n n n n u w ，则级数∑∞=+1)(n n n w u 显然发散。

即两个发散的级数相加减所得级数可能收敛，也可能发散。

若其中一个级数∑∞=1n nu收敛，另一个∑∞=1n nv发散，则∑∞=±1)(n n nv u肯定发散.若不然，1()nn n uv ∞=+∑收敛，则111()n n n n n n n v u v u ∞∞∞====+-∑∑∑应该收敛，与假设矛盾.同理，若1()n n n u v ∞=-∑收敛, 则111()n n n n n n n v u v u ∞∞∞===-=--∑∑∑应该收敛，与假设矛盾.习题10.21. 用比较判别法或其极限形式判定下列各级数的敛散性： （1）++⋅++⋅+⋅+⋅)4()1(1741631521n n ; （2）1++++715131; （3） +-++++222)12(1513111n ; （4）++++22226)2(sin 6)4(sin 6)2(sin n n ; （5） +++++n 2πsin 8πsin 4πsin 2πsin .解（1）由于145lim 1)4)(1(1lim222=++=++∞→∞→n n n n n n n n 而级数∑∞=121n n 收敛，由比较判别法的极限形式，故原级数收敛. (2) 由于2112lim1121lim =-=-∞→∞→n n nn n n ， 而级数∑∞=11n n 发散，由比较判别法的极限形式，故原级数发散. （3）由于41)12(lim 1)12(1lim222=-=-∞→∞→n n n n n n 而级数∑∞=121n n 收敛，由比较判别法的极限形式，故原级数收敛. （4）n n n n u 616)2(sin 2≤=，而∑∞=161n n为公比161<=q 的等比级数，该级数收敛，由比较判别法,故级数 ∑∞=126)2(sin n nn 也收敛. （5）由于 π=π⋅ππ=π∞→∞→nn n n n n 22sinlim 212sinlim，而∑∞=121n n 收敛，故∑∞=π12sin n n 也收敛.2. 用比值判别法判别下列级数的敛散性： （1） ++++++n n 323534132; （2） +⋅++⋅+⋅+nn n n !33!332!2333322;（3） +++⋅+⋅+n n 21sin 21sin 321sin 221sin32; （4）∑∞=12)!3()!(n n n ; （5）∑∞=12ln n n n n ; （6）∑∞=1!n n n n ; （7）∑∞=123n n n .解（1）n n n u 32+=，1312331lim 2333lim lim 11<=++⋅=+⋅+=∞→+∞→+∞→n n n n u u n n n n nn n ，故该级数收敛.（2）nn n n n u !3⋅=，13)111(lim 3)1(3lim !3)1()!1(3lim lim 111>=+-=+=⋅++=∞→∞→++∞→+∞→e n n n n n n n u u n n n n n n n n n nn n 故该级数发散. （3） nn n u 21sin=， 1212121sin 212121sinlim 21sin 21sin)1(lim lim 1111<=+⋅⋅=+=++∞→+∞→+∞→n n n n u unn n n n nn n nn n ， 故该级数收敛.（4） )!3()!(2n n u n =，10)33)(23)(13()1(lim )!(!3)]!1(3[])!1[(lim lim 2221<=++++=⋅++=∞→∞→+∞→n n n n n n n n u u n n nn n ， 故该级数收敛. （5）nn n n u 2ln =，1211ln )1ln(21lim ln 221)1ln(lim lim 11<=+⋅+=⋅++=∞→+∞→+∞→n n n n n n n n u u n n n n nn n ， 故该级数收敛.（6）!n n u n n =，1)11(lim )1(lim !)!1()1(lim lim 11>=+=+=⋅++=∞→∞→+∞→+∞→e n n n nn n n u u n n n n n n n n n n ，故该级数发散.（7）n n n u 32=，131)1(31lim 33)1(lim lim 22121<=+=⋅+=∞→+∞→+∞→n n n n u u n n n n nn n ， 故该级数收敛.3. 用根值判别法判定下列各级数的敛散性：（1） ∑∞=+1)25(n n n n ; （2）∑∞=+12)11(n n n ; （3）∑∞=+12)2(2n n n n n ; （4）131e n n n ∞=+∑; （5）∑∞=1)(n nna b ，其中a b a n a a n n ,,),(∞→→均为正数； （6）∑∞=∞→>=>⎪⎪⎭⎫⎝⎛1)0,lim ,0(n n n n nn a a a x a x ．解（1）由于15125lim )25(lim lim<=+=+=∞→∞→∞→n n n n u n n n n nn n ，故该级数收敛.(2) 由于1)11(lim )11(lim lim 2>=+=+=∞→∞→∞→e nn u nn n n n n n n ， 故该级数发散.(3) 由于12)21(21lim 2)21(lim 2)2(limlim22>=+=+=+=∞→∞→∞→∞→e n n n n u n n nn nn n n nn n ，故该级数发散.(4) 由于1313lim lim >=+=∞→∞→ee u n n n n n n n ，故该级数发散.(5) a ba b a b u nn n n n n n n n ===∞→∞→∞→lim )(lim lim当a b a b <<即,1，该级数收敛；当a b a b>>即,1，该级数发散； 当a b ab==即,1，不能判断. (6) a x a x a x u nn n n n n n n n ===∞→∞→∞→lim )(lim lim1）当0=a 时，该级数发散 2）当∞<<a 0时，有当a x a x <<即,1，该级数收敛；当a x ax>>即,1，该级数发散；当a x ax==即,1，根值法不能判断. 4. 判别下列级数的敛散性：（1） ++++432)43(4)43(3)43(243; （2）∑∞=+12sin )1(n n n n π; （3） +-++-+-)1sin 1()21sin 21()1sin 1(nn ;（4） ++++++)321ln()221ln()121ln(222;（5）222sin 2sin 2sin 333nn πππ⋅+⋅++⋅+;（6）21cos 32n n n n ∞=π∑； （7）∑∞=--+111)2(n n n e e . 解（1）nn n u )43(=，14343lim )43(lim lim<=⋅==∞→∞→∞→n n n n n nn n n n u ，故该级数收敛. （2）(1)sin,2n n nn u n π=++∞，所以发散.(3) 332211113!1sin ()11sin ,lim lim 011n n n o nn n n n n u n n n n →∞→∞--++=-==，故该级数收敛. (4) )21ln(2n u n += ,因 )(2~)21ln(22∞→+n n n ，故212lim 1)21ln(lim2222==+∞→∞→n n n n n n ，而∑∞=121n n 收敛，故该级数收敛. (5) n nn u 3sin 2π=,因n n 33sin ππ<,有ππnn n)32(3sin 2<,πn n )32(1∑∞=收敛，由比较收敛法，故该级数收敛.(6) n n n n u 23cos 2π=,因n n n n n 223cos 2≤π，1212lim <=∞→n n n n ， 而级数∑∞=12n nn收敛，由比较收敛法，故该级数收敛. (7) 211-+=-nnn ee u , 112lim211=-+-∞→n e e nnn (由罗比达法则)，故该级数收敛.5．判别下列级数是否收敛？若收敛的话，是绝对收敛还是条件收敛？（1）∑∞=--111)1(n n n ; （2）∑∞=--1181)1(n n n n ; （3）∑∞=--1311sin )1(n n n ; （4）∑∞=-+-111ln )1(n n n n ;（5） -+++-+++-a a a a 41312111（a 不为负整数）; （6） +-+-5ln 14ln 13ln 12ln 1;（7）234111sin sin sin 234πππ-+-πππ;（8） +-+-222241sin31sin21sin11sin .解 （1）nu n n 1)1(1--=，显然∑∞=1n nu为交错级数，且1+>n n u u ，0lim =∞→n n u ，故该级数收敛，又因为∑∑∑∞=∞=∞===1211111n n n n nnu 是-p 级数，121<=p ， 故∑∞=1n nu发散，即原级数是条件收敛.(2) 因为∑∑∞=∞==1181n n n n n u ，18181<==n nn n n u ，故∑∞=1n n u 收敛，即原级数是绝对收敛。