d = M1M0 ⋅ n n
= Ax0 + B y0 + C z0 + D
M0
A2 + B2 + C 2
d
n
Π M1
*(3) 点 M0( x0 , y0 , z0 ) 到直线
L : x − x1 = y − y1 = z − z1
m
n
p
的距离为
L
M 0 (x0 , y0 , z0 ) d
d = M0M1 × s s
曲曲线线
直直 线线
曲曲面面
平平 面面
旋旋转转曲曲面面 柱柱 面面
二二次次曲曲面面
参参数数方方程程 对对称称式式方方程程 点点法法式式方方程程 一一般般方方程程
一、内容小结
1. 向量的乘法运算 1）数量积（点积、内积）
a ⋅ b = | a || b | cosθ = axbx + a yby + azbz
m
n
p
参数式
⎧ ⎪ ⎨
x y
= =
x0 y0
+ +
mt nt
⎪⎩ z = z0 + p t
( x0 , y0 , z0 ) 为直线上一点;
s = ( m , n, p ) 为直线的方向向量.
3). 线面之间的相互关系
面与面的关系
平面 Π1 : A1x + B1 y + C1z + D1 = 0, n1 = ( A1, B1,C1)
cosθ = aib =
axbx + a yby + azbz
| a || b | ax2 + a y2 + az2 bx2 + by2 + bz2
a⊥b
axbx + a yby + azbz = 0
2）、向量积 (叉积、外积)
| c |=| a || b | siபைடு நூலகம்θ 其中θ 为a 与b 的夹角
1) 空间平面
一般式 点法式 截距式
三点式
Ax + By + Cz + D = 0 ( A2 + B2 + C 2 ≠ 0 )
A( x − x0 ) + B( y − y0 ) + C(z − z0 ) = 0
x+ y+z =1 a bc
点 : ( x0 , y0 , z0 ) 法向量 : n = ( A, B , C )
50
50
50
例3. 求过直线L:
⎧ ⎨ ⎩
x+5y+ z = 0 x−z+4=0
且与平面
x − 4y − 8z
+
12
=
0
夹成
π
4
角的平面方程.
提示: 过直线 L 的平面束方程
π
n1 4 n L
(1 + λ )x + 5 y + (1 − λ )z + 4λ = 0
线与线的关系
直线
L1：x
− x1 m1
=
y − y1 = z − z1 ,
n1
p1
直线
L2：x
− x2 m2
=
y − y2 n2
=
z − z2 , p2
s1 = (m1, n1, p1) s2 = (m2 , n2 , p2 )
垂直: s1 ⋅ s2 = 0
m1m2 + n1n2 + p1 p2 = 0
平面 Π2 : A2 x + B2 y + C2z + D2 = 0, n2 = ( A2 , B2 ,C2 )
垂直: n1 ⋅ n2 = 0
A1A2 + B1B2 + C1C2 = 0
平行: n1 × n2 = 0
A1 = B1 = C1 A2 B2 C2
夹角公式: cosθ = n1 ⋅ n2 n1 n2
平行: s1 × s2 = 0
m1 = n1 = p1 m 2 n 2 p2
夹角公式: cosθ = s1 ⋅ s2
s1 s2
面与线间的关系
平面: Ax + By + Cz + D = 0, n = ( A, B , C )
直线: x − x = y − y = z − z , s = (m , n, p)
的方向余弦.
提示: 已知平面的法向量 n1 = (7, − 1, 4) 求出已知直线的方向向量 s = (1 , 1 , 2)
取所求平面的法向量
i jk
n = s × n1= 1 1 2 = 2(3, 5, − 4)
7 −1 4
所求为 cosα = 3 , cos β = 5 , cosγ = − 4
λ1 ( A1x + B1 y + C1z + D1) + λ 2 ( A2 x + B2 y + C2z + D2 ) = 0
( λ 1 ,λ 2 不全为 0 )
( A1x + B1 y + C1z + D1) + λ ( A2 x + B2 y + C2z + D2 ) = 0
(2)点 M0( x0, y0, z0 ) 到平面 Π ：A x+B y+C z+D = 0 的距离为
习题课、空间解析几何
一、内容小结 二、实例分析 三、思考与练习 四、作业
（一）向量代数
向向量量的的 表表示示法法
向向量量概概念念
向量的积
向向量量的的 线线性性运运算算
数数量量积积
混混合合积积
向向量量积积
（二）空间解析几何
空空间间直直角角坐坐标标系系
一一般般方方程程 参参数数方方程程 一一般般方方程程
x − x1 y − y1 z − z1
x2 − x1 y2 − y1 z2 − z1 = 0
x3 − x1 y3 − y1 z3 − z1
2) 空间直线
一般式
⎧ ⎨ ⎩
A1 x A2 x
+ +
B1 B2
y y
+ +
C1z C2z
+ +
D1 D2
= =
0 0
对称式 x − x0 = y − y0 = z − z0
m
n
p
垂直： s × n = 0
m=n= p ABC
平行： s ⋅ n = 0
m A+ nB + pC = 0
夹角公式： sinϕ = s ⋅ n
sn
4). 相关的几个问题
(1) 过直线
L:
⎧ ⎨ ⎩
A1 x A2 x
+ +
B1 B2
y y
+ +
C1z C2z
+ +
D1 D2
= =
0 0
的平面束方程
=
1
m2 + n2 + p2
s = (m,n, p) ϕ
M1(x1, y1, z1)
i x1 − x0
m
j y1 − y0
n
k z1 − z0
p
二、实例分析
向量概念题 例1：练习册判断题, 选择题
例2.
设一平面平行于已知直线
⎧ 2x − z = 0
⎨ ⎩
x
+
y
−
z
+
5
=
0
且垂直于已知平面7 x − y + 4z − 3 = 0, 求该平面法线的
i jk
a × b = ax ay az bx by bz
a// b
ax = ay = az bx by bz
3）、混合积
ax ay az [abc ] = (a × b ) ⋅ c = bx by bz = a ⋅ (b × c)
cx cy cz
a,b,c 共面
(a × b)⋅ c = 0
2. 空间直线与平面的方程