2019年浙江省台州市椒江区中考数学一模试卷姓名：得分：日期：一、选择题（本大题共 10 小题，共 30 分）1、(3分) 在-1，-2，1，2四个数中，最小的一个数是（）A.-1B.-2C.1D.22、(3分) 下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是A.B. C.D.3、(3分) 如图，A、B、C是⊙O上的三点，已知∠O=60°，则∠C=（）A.20°B.25°C.30°D.45°4、(3分) 一个几何体的三视图如图所示，这个几何体是（）A.棱柱B.圆柱C.圆锥D.球5、(3分) 下列运算正确的是（）A.a3•a2=a6B.（x3）3=x6C.x5+x5=x10D.（-ab）5÷（-ab）2=-a3b36、(3分) 某校进行书法比赛，有39名同学参加预赛，只能有19名同学参加决赛，他们预赛的成绩各不相同，其中一名同学想知道自己能否进入决赛，不仅要了解自己的预赛成绩，还要了解这39名同学预赛成绩的（ ）A.平均数B.中位数C.方差D.众数7、(3分) 下列运算正确的是（ ）A.a a−b −b b−a =1B.m a −n b =m−n a−bC.b a −b+1a =1aD.2a−b −a+b a 2−b 2=1a−b8、(3分) 如图，在▱ABCD 中，AE ，CF 分别是∠BAD 和∠BCD 的平分线，添加一个条件，仍无法判断四边形AECF 为菱形的是（ ）A.AE=AFB.EF⊥ACC.∠B=60°D.AC 是∠EAF 的平分线9、(3分) 汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的最大公里数（单位：km/L ），如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况，下列叙述正确的是（ ）A.以相同速度行驶相同路程，甲车消耗汽油最多B.以10km/h 的速度行驶时，消耗1升汽油，甲车最少行驶5千米C.以低于80km/h 的速度行驶时，行驶相同路程，丙车消耗汽油最少D.以高于80km/h 的速度行驶时，行驶相同路程，丙车比乙车省油10、(3分) 如图，在平面直角坐标系中，分别以点O ，A （√3，1）为圆心，大于12OA 长为半径画弧，两弧交于点P ．若点P 的坐标为（√3m ，n+1）（m≠12，n≠-12），则n 关于m 的函数解析式正确的是（ ）A.n=-3m+1B.n=-3m+2C.n=-√3m+1D.n=-√3m+2二、填空题（本大题共 6 小题，共 18 分）11、(3分) 因式分解：x 2-9=______． 12、(3分) 方程组{x +y =82x −y =7的解是______． 13、(3分) 如图，圆锥的底面半径OB 为5cm ，它的侧面展开图扇形的半径AB 为15cm ，则这个扇形的圆心角的度数为______．14、(3分) 一个凸多边形共有230条对角线，则该多边形的边数是______．15、(3分) 有不同的两把锁和三把钥匙，其中两把钥匙能分别打开这两把锁，第三把钥匙不能打开这两把锁．任意取出一把钥匙去开任意的一把锁，一次打开锁的概率是______．16、(3分) 如图，在△ABC 中，∠A=75°，∠C=45°，BC=4，点M 是AC 边上的动点，点M 关于直线AB 、BC 的对称点分别为P 、Q ，则线段PQ 长的取值范围是______．三、计算题（本大题共 2 小题，共 12 分）17、(6分) 计算：|-2|-√9+2sin30∘18、(6分) 为激发学生的阅读兴趣，培养学生良好的阅读习惯，我区某校欲购进一批学生喜欢的图书，学校组织学生会随机抽取部分学生进行问卷调查，被调查学生须从“文史类、社科类、小说类、生活类”中选择自己喜欢的一类，根据调查结果绘制了统计图（未完成），请根据图中信息，解答下列问题：（1）填空或选择：此次共调查了______名学生；图2中“小说类”所在扇形的圆心角为______度；学生会采用的调查方式是______．A ．普查 B ．抽样调查（2）将条形统计图补充完整；（3）若该校共有学生2500人，试估计该校喜欢“社科类”书籍的学生人数．四、解答题（本大题共 6 小题，共 48 分）19、(8分) 如图，点E，F在BC上，BE=CF，AB=DC，∠B=∠C．求证：∠A=∠D．20、(8分) 图1是无障碍通道，图2是其截面示意图，已知坡角∠BAC=30°，斜坡AB=4m，∠ACB=90°．现要对坡面进行改造，使改造后的坡角∠BDC=26.5°，需要把水平宽度AC增加多少m（结果精确到0.1）？（参考数据：√3≈1.73，sin26.5°≈0.45，cos26.5°≈0.90，tan26.5°≈0.50）21、(8分) 如图，已知一次函数与反比例函数的图象交于点A（-4，-1）和B（a，2）．（1）求反比例函数的解析式和点B的坐标．（2）根据图象回答，当x在什么范围内时，一次函数的值大于反比例函数的值？22、(8分) 如图，AC为正方形ABCD的对角线，点E为DC边上一点（不与C、D重合），连接BE，以E为旋转中心，将线段EB逆时针旋转90°，得到线段EF，连接DF．（1）请在图中补全图形．（2）求证：AC∥DF．（3）探索线段ED、DF、AC的数量关系，并加以证明．23、(8分) 某厂家销售一种产品，现准备从网上销售和市场直销两种销售方案中选择一种进行销售．由于受各种不确定因素影响，不同销售的方案会产生不同的成本和其它费用．设每月销售x件，网上销售月利润为w网（元），市场直销月利润为w市（元），具体信息如表：其中k为常数，且30≤k≤50．月利润=月销售额-月成本-月其它费用．（1）当x=500时，网上销售单价为______元．（2）分别求出w网，w市与x间的函数解析式（不必写x的取值范围）．（3）若网上销售月利润的最大值与市场直销月利润的最大值相同，求k的值．（4）如果某月要将3000件产品全部销售完，请你通过分析帮厂家做出决策，选择在网上销售还是市场直销才能使月利润较大？24、(8分) 用一条直线截三角形的两边，若所截得的四边形对角互补，则称该直线为三角形第三条边上的逆平行线．如图1，DE为△ABC的截线，截得四边形BCED，若∠BDE+∠C=180°，则称DE为△ABC边BC的逆平行线．如图2，已知△ABC中，AB=AC，过边AB上的点D作DE∥BC交AC于点E，过点E作边AB的逆平行线EF，交边BC于点F．（1）求证：DE是边BC的逆平行线．（2）点O是△ABC的外心，连接CO．求证：CO⊥FE．（3）已知AB=5，BC=6，过点F作边AC的逆平行线FG，交边AB于点G．①试探索AD为何值时，四边形AGFE的面积最大，并求出最大值；②在①的条件下，比较AD+BG______AB大小关系．（“＜、＞或=”）2019年浙江省台州市椒江区中考数学一模试卷【第 1 题】【答案】B【解析】解：∵正数大于一切负数，∴四个数中排除两个正数1与2，又∵两个负数绝对值大的反而小，∴最小的一个数是-2．故选：B ．根据正数大于一切负数且两个负数绝对值大的反而小，可得最小的一个数是-2．本题考查了有理数的大小比较，其方法如下：（1）负数＜0＜正数；（2）两个负数，绝对值大的反而小．【 第 2 题 】【 答 案 】A【 解析 】解：A 、是轴对称图形，也是中心对称图形．故正确；B 、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误；C 、不是轴对称图形，是中心对称图形．故错误；D 、不是轴对称图形，是中心对称图形．故错误．故选：A ．根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．【 第 3 题 】【 答 案 】C【 解析 】解：∵∠C 和∠O 是同弧所对的圆周角和圆心角；∴∠C=12∠O=30°；故选：C ．欲求∠C ，又已知一圆心角，可利用圆周角与圆心角的关系求解．此题主要考查的圆周角定理：同弧所对的圆周角是圆心角的一半．【 第 4 题 】【 答 案 】B【解析】解：由于主视图和左视图为长方形可得此几何体为柱体，由俯视图为圆可得为圆柱体．故选：B．主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．本题考查了由三视图来判断几何体，还考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力．【第 5 题】【答案】D【解析】解：A、a3•a2=a5，故A错误；B、（x3）3=x9，故B错误；C、x5+x5=2x5，故C错误；D、（-ab）5÷（-ab）2=-a5b5÷a2b2=-a3b3，故D正确．故选：D．根据合并同类项、幂的乘方与积的乘方、同底数幂的除法与乘法等知识点进行作答即可求得答案．本题考查了合并同类项，同底数的幂的除法与乘法，积的乘方等多个运算性质，需同学们熟练掌握．【第 6 题】【答案】B【解析】解：39个不同的成绩按从小到大排序后，中位数及中位数之后的共有19个数，故只要知道自己的成绩和中位数就可以知道是否获奖了．故选：B．由于比赛取前19名参加决赛，共有39名选手参加，根据中位数的意义分析即可．本题考查了中位数意义．解题的关键是正确的求出这组数据的中位数．【第 7 题】【答案】D【解析】解：A 、原式=a+b a−b ，故A 错误；B 、原式=bm−an ab ，故B 错误；C 、原式=-1a ，故C 错误；D 、原式=1a−b ，故D 正确．故选D ．根据分式的加减法则，先通分再加减，分别计算各选项的值，做出判断即可得解．分式的加减运算中，如果是同分母分式，那么分母不变，把分子直接相加减即可；如果是异分母分式，则必须先通分，把异分母分式化为同分母分式，然后再相加减．【 第 8 题 】【 答 案 】C【 解析 】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠B=∠D ，∠DAB=∠DCB ，AB=CD ，AD=BC ，∵AE ，CF 分别是∠BAD 和∠BCD 的平分线， ∴∠DCF=12∠DCB ，∠BAE=12∠BAD ， ∴∠BAE=∠DCF ，∵在△ABE 和△CDF 中 {∠D =∠B AB =CD ∠DCF =∠BAE ，∴△ABE≌△CDF ，∴AE=CF ，BE=DF ，∵AD=BC ，∴AF=CE ，∴四边形AECF 是平行四边形，A 、∵四边形AECF 是平行四边形，AE=AF ，∴平行四边形AECF 是菱形，故本选项正确；B 、∵EF⊥AC ，四边形AECF 是平行四边形，∴平行四边形AECF 是菱形，故本选项正确；C 、根据∠B=60°和平行四边形AECF 不能推出四边形是菱形，故本选项错误；D 、∵四边形AECF 是平行四边形，∴AF∥BC ，∴∠FAC=∠ACE ，∵AC 平分∠EAF ，∴∠FAC=∠EAC ，∴∠EAC=∠ECA ，∴AE=EC ，∵四边形AECF 是平行四边形，∴四边形AECF 是菱形，故本选项正确；故选：C．根据平行四边形性质推出∠B=∠D，∠DAB=∠DCB，AB=CD，AD=BC，求出∠BAE=∠DCF，证△ABE≌△CDF，推出AE=CF，BE=DF，求出AF=CE，得出四边形AECF是平行四边形，再根据菱形的判定判断即可．本题考查了平行四边形的性质和判定、菱形的判定、全等三角形的性质和判定、平行线的性质等知识点，主要考查学生的推理能力．【第 9 题】【答案】D【解析】解：由图可得，以相同速度行驶相同路程，甲车消耗汽油最少，故选项A错误，以10km/h的速度行驶时，消耗1升汽油，甲车最多行驶5千米，故选项B错误，以低于80km/h的速度行驶时，行驶相同路程，甲车消耗汽油最少，故选项C错误，以高于80km/h的速度行驶时，行驶相同路程，丙车比乙车省油，故选项正确，故选：D．根据题意和函数图象可以判断各个选项是否正确，从而可以解答本题．本题考查函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．【第 10 题】【答案】A【解析】解：由尺规作图可知，点P在OA的垂直平分线上，∴OP=AP，由勾股定理得，OP=√(√3m)2+(n+1)2，AP=√(√3m−√3)2+(n+1−1)2，则√(√3m)2+(n+1)2=√(√3m−√3)2+(n+1−1)2，整理得，n=-3m+1，故选：A．根据尺规作图得到OP=AP，利用勾股定理用m、n表示出OP、AP，列式计算即可．本题考查的是勾股定理的应用，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．【 第 11 题 】 【 答 案 】 （x+3）（x-3） 【 解析 】解：原式=（x+3）（x-3）， 故答案为：（x+3）（x-3）． 原式利用平方差公式分解即可．此题考查了因式分解-运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．【 第 12 题 】 【 答 案 】 {x =5y =3【 解析 】解：{x +y =8①2x −y =7②，①+②得：3x=15， 解得：x=5，把x=5代入①得：y=3，则方程组的解为{x =5y =3，故答案为：{x =5y =3方程组利用加减消元法求出解即可．此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．【 第 13 题 】 【 答 案 】 120° 【 解析 】解：∵底面半径为5cm ，∴圆锥的底面圆的周长=2π•5=10π，∴10π=πα×15180， ∴α=120°． 故答案为120°．先计算出圆锥的底面圆的周长=2π•5=10π，再根据圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长为圆锥的底面圆的周长，扇形的半径为圆锥的母线长得到弧长为10π，半径为15，然后利用弧长公式得到关于α的方程，解方程即可．本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长为圆锥的底面圆的周长，扇形的半径为圆锥的母线长；也考查扇形的弧长公式：l=nπr180（n 为扇形的圆心角，R 为半径）．【 第 14 题 】 【 答 案 】 23 【 解析 】解：设多边形有n 条边，由题意得：n(n−3)2=230，解得：n 1=23，n 2=-20（不合题意舍去）， 故答案是：23．根据多边形的对角线的条数公式n(n−3)2列式进行计算即可求解．本题主要考查了一元二次方程的应用，熟记多边形的对角线公式是解题的关键．【 第 15 题 】 【 答 案 】 13【 解析 】解：画树状图为：（两把钥匙能分别打开这两把锁表示为A 、a 和B 、b ，第三把钥匙表示为c ）共有6种等可能的结果数，其中任意取出一把钥匙去开任意的一把锁，一次打开锁的结果数为2，所以任意取出一把钥匙去开任意的一把锁，一次打开锁的概率=26=13． 故答案为13．画树状图（两把钥匙能分别打开这两把锁表示为A 、a 和B 、b ，第三把钥匙表示为c ）展示所有6种等可能的结果数，找出任意取出一把钥匙去开任意的一把锁，一次打开锁的结果数，然后根据概率公式求解．本题考查了概率公式：随机事件A 的概率P （A ）=事件A 可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．【 第 16 题 】2√6≤PQ ≤4√3 【 解析 】解：∵∠A=75°，∠C=45°， ∴∠ABC=180°-75°-45°=60°，连接BP 、BQ 、BM ，过点B 作BD⊥PQ 于点D ，如图所示．∵点M 关于直线AB 、BC 的对称点分别为P 、Q ， ∴BP=BQ=BM ，∠PBA=∠MBA ，∠MBC=∠QBC ， ∴∠PBQ=120°， ∵PB=BQ ，∴∠BPQ=∠BQP=30°， ∴cos30°=PDPB =√32， ∴PD=√32PB ，∵BC=4，∠C=45°， ∴2√2≤BM≤4， ∵BM=PB ， ∴2√2≤PB≤4， ∴2√2×√32≤PD≤4×√32，即√6≤PD≤2√3， ∵PQ=2PD ，∴2√6≤PQ≤4√3．故答案为：2√6≤PQ≤4√3．连接BP 、BQ 、BM ，过点B 作BD⊥PQ 于点D ，由对称性可知PB=BM=BQ 、△PBQ 等腰三角形，进而即可得出PD=√32PB ，再根据BM 的取值范围即可得出线段PQ 长的取值范围．本题考查了轴对称的性质，等腰三角形的判定和性质，直角三角形30度角的性质和三角函数，解题的关键是证得△BPQ 是等腰三角形．【 第 17 题 】 【 答 案 】解：|-2|-√9+2sin30∘=2-3+2×12=0．【解析】本题涉及绝对值、特殊角的三角函数值、二次根式化简3个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握绝对值、特殊角的三角函数值、二次根式等考点的运算．【第 18 题】【答案】解：（1）根据题意得：76÷38%=200（人），生活类的人数为200×15%=30（人），小说类×360°=126°，的人数为200-（24+76+30）=70（人），即70200则此次共调查了200名学生；图2中“小说类”所在扇形的圆心角为126度；学生会采用的调查方式是B；故答案为：200；126；B；（2）补全统计图，如图所示：×100%=2500×12%=300（人），（3）根据题意得：2500×24200则估计该校喜欢“社科类”书籍的学生人数为300人【解析】（1）根据文史类的人数除以占的百分比求出调查的学生总数，进而求出小说类的百分比，乘以360即可求出占的圆心角，判断调查的方式即可；（2）求出生活类与小说类的人数，补全条形统计图即可；（3）求出社科类的百分比，乘以2500即可得到结果．此题考查了条形统计图，扇形统计图，以及用样本估计总体，弄清题中的数据是解本题的关键．【第 19 题】【答案】证明：∵BE=CF，∴BE+EF=CF+EF，∴BF=CE，在△ABF和△DCE中{AB=DE∠B=∠DEC BF=EC，∴△ABF≌△DCE（SAS），∴∠A=∠D．【解析】求出BF=CE，根据SAS推出△ABF≌△DCE即可．本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力．【第 20 题】【答案】解：在Rt△ABC中，∠BAC=30°，AB=4，∴BC=AB•sin30°=2，AC=AB•cos30°=2√3，在Rt△DBC中，∠BDC=26.5°，tan∠BDC=BCDC，∴DC=BCtan∠BDC =2tan26.5∘，∴DA=2tan26.5∘-2√3≈4-3.46≈0.5（m），答：需要把水平宽度约增加0.5米．【解析】根据正弦的定义求出BC，根据余弦的定义求出AC，利用正切的定义求出DC，结合图形计算，得到答案．本题考查的是解直角三角形的应用-判断坡角问题，掌握坡度的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．【第 21 题】【答案】解：（1）设反比例函数的解析式为y=kx ，∵反比例函数图象经过点A（-4，-1），∴-1=k−4，解得k=4，∴反比例函数的解析式为y=4x，∵B（a，2）在y=4x的图象上，∴2=4a ，解得a=2，∴点B的坐标为B（2，2）；（2）由图象得，当x＞2或-4＜x＜0时，一次函数的值大于反比例函数的值．【解析】（1）根据反比例函数图象经过点A（-4，-1），可以求得反比例函数的解析式，再根据点B在反比例函数图象上，即可求得点B的坐标；（2）根据函数图象可以直接写出当x在什么范围内时，一次函数的值大于反比例函数的值．本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质和数形结合的思想解答．【第 22 题】【答案】解：（1）如图1所示，（2）证明：理由如下：如图，过点F作FG⊥CD，交CD的延长线于点G．∴∠BEF=90°．∴∠2+∠BEC=90°．∵∠1+∠BEC=90°．∴∠2=∠1，∵BE=EF，∠BCD=∠FGE．∴△BCE≌△EGF（AAS）∴BC=EG，CE=FG．又∵BC=CD．∴CE=DG．∴DG=FG．∴∠FDG=45°，∴∠3=∠4=45°．∴AC∥DF．（3）线段ED、DF、AC的数量关系为：DF+√2ED=AC，理由如下：在Rt△ABC 中∠3=45°， 因此AC=√2DC ．∵CD=CE+DE=DE+EG ，在Rt△ABC 中∠DFG=45°，DF=√2DG =√2CE ，即CE =√22DF ∴CD=CE+DE=DE+√22DF ，∴AC=√2DC=√2(DE+√22DF ）=DF+√2ED ． 【 解析 】本题是四边形的综合问题，解题的关键是掌握正方形的性质、全等三角形的判定与性质、旋转的定义和性质等知识点．（1）根据旋转的定义作图即可；（2）作FG⊥CD ，交CD 的延长线于点G ，证△BCE≌△EGF 得BC=EG ，CE=FG ，由BC=CD 知CE=DG ．从而得DG=FG ，据此知∠FDG=45°，继而得∠3=∠4=45°，从而得证；（3）由∠3=45°知AC=√2DC ．由∠DFG=45°知DF=√2DG =√2CE ，结合CD=CE+DE=DE+EG 得CD=DE+√22DF ，从而知AC=√2DC=√2(DE+√22DF ）=DF+√2ED ．【 第 23 题 】 【 答 案 】解：（1）把x=500代入-150x +120中得， -150x +120=-10+120=110，故答案为：110．（2）w 网=（-150x +120-20）x-45000=-0.02x 2+100x-45000=-150（x-2500）2+80000．， W 市=（120-k ）x-150x 2；（3）网上销售的最大利润为为80000元，市场销售的最大利润=−(120−k)24×(−0.02)因为市场销售月利润的最大值与在网上销售月利润的最大值相同． 可得80000=−(120−k)24×(−0.02)，解得k 1=40，k 2=200由于30≤k≤50，因此k=40．（4）当x=3000时，w 网=75000，w 市=3000（60-k ）． ①75000＞3000（60-k ）．解得：k ＞35． 当35＜k≤50时，选择网上销售．②75000=3000（60-k ）解得：k=35．当k=35时，选择网上销售和市场直销利润一样． ③75000＜3000（60-k ）．解得：k ＜35． 当k ＜35时，选择市场销售．【解析】（1）把x=500代入-150x+120中进行计算便可；（2）根据w网=（网上销售的每件售价-每件成本）×销售数量-其他费用，w市=（市场直销的每件售价-每件成本）×销售数量-其他费用，列出函数关系式便可；（3）根据函数的性质，求出各个函数的最大值，再由已知等量关系列出方程便可；（4）当x=3000时，w网=75000，w市=3000（60-k）．再分三种情况：w网＞w市，w网=w市，w网＜w市，分别求出k的取值范围便可．本题考查了二次函数在实际生活中的应用，难度适中，根据利润的关系式分别写出w网，w市与x间的函数关系式是解题的关键．【第 24 题】【答案】（1）证明：∵AB=AC，∴∠B=∠ACB∵DE∥BC，∴∠BDE+∠B=180°．∠BDE+∠ACB=180°．∴DE是边BC的逆平行线．（2）证明：如图，连接AO，∵EF是边BA的逆平行线，∴∠AEF+∠B=180°，∵∠AEF+∠FEC=180°，∴∠FEC=∠B，∵点O是△ABC的外心，∴OA=OC，OA平分∠BAC，∴∠OAC=∠OCA，∠BAO=∠OAC，∵∠BAO+∠B=90°，∴∠FEC+∠ACB=90°，∴CO⊥FE，（3）解：①设FC=x，BF=6-x，S四边形AGFE=y，∵∠FEC=∠B，∠FCE=∠ACB，∴△FEC∽△ABC．∴(FCAB )2=S△EFCS△BAC，∴S△EFC=1225x2，同理可得S△BFG=1225(6−x)2∴y=S △ABC -S △EFC -S △BFG =12-2425[x 2+(6−x)2]=-2425(x −3)2+8425， ∴当 x=3 时，有 AD=75，此时 y 有最大值，最大值为8425． ②在①的条件下CF=BF=3，如图，连接DF ，∵BF=CF ，∠B=∠C ，BD=CE ，∴△BDF≌△CEF （SAS ），∴∠BDF=∠CEF ，∠BFD=∠EFC ， ∴∠BFE=∠DFC ，∠AEF=∠ADF ．∵∠AEF+∠B=180°，∠A+∠BFE=180°， ∴∠C+∠ADF=180°，∠A+∠DFC=180°． ∴FD 为边AC 的逆平行线， 由题意可知D 与G 点重合， ∴AD+BG=AB ， 故答案为：=． 【 解析 】（1）由条件可证得∠B=∠ACB ，则∠BDE+∠B=180°．∠BDE+∠ACB=180°，结论得证； （2）连接AO ，证得∠FEC=∠B ，由OA=OC 可得∠OAC=∠OCA ，∠BAO=∠OAC ，证出∠FEC+∠ACB=90°，即CO⊥FE ，（3）①设FC=x ，则BF=6-x ，证△FEC∽△ABC ，可得S △EFC =1225x 2，同理可得S △BFG =1225(6−x)2，四边形AGFE 的面积可表示为S △ABC -S △EFC -S △BFG ，利用二次函数的性质可求出最大值； ②由①知点F 为BC 的中点，连接DF ，根据EF 为AB 边的逆平行线，可证得DF 为AC 边的逆平行线，则G 点与D 点重合，则AD+BG=AB ．本题是新定义结合圆的综合题，综合考查了等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质、外心的定义、二次函数的性质等知识，关键是读懂定义并根据图形的性质解答．。