台州市椒江区2018-2019学年第一学期期末考八年级数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的）A. ；B. ；C. ；D.A. 角平分线上的点到这个角两边的距离相等；B. 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上；C. 三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等；D. 以上均不正确.A. ；B. ；C. ；D. .9.如图，等腰△ABC中，AB=AC，MN是边BC上一条运动的线段(点M不与点B重合，点N不与点C重A. 保持不变；B. 先变小后变大；C. 先变大后变小；D. 一直变大.10.如图，在等边△ABC 中，点D ，E 分别在边BC ，AB 上，且BD=AE ，AD 与CE 交于点F ，作CM ⊥AD ，垂足为M ，下列结论不正确的是（ ）A. AD=CE ；B. MF=CF ；C. ∠BEC=∠CDA ；D. AM=CM.二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11．用科学记数法表示0.0004=____________12. 因式分解：a a 3___________________．13. 如图，在△ABC 中，BD 和CE 是△ABC 的两条角平分线，若∠A=52∘，则∠1+∠2的度数为______．14.若正多边形的内角和是外角和的3倍，则这个正多边形的边数是______．15.在如图所示的方格中，连接格点AB 、AC ，则∠1+∠2______度16. 如图，在等腰直角△ABC 中，AB=4，点D 在边AC 上一点且AD=1，点E 是AB 边上一点，连接DE ，以线段DE 为直角边作等腰直角△DEF( D 、E 、F 三点依次呈逆时针方向)，当点F 恰好落在BC 边上时，则AE 的长是______．三、解答题（共8题，共52分）17．计算（每小题3分，共9分）（1）5533232ab b a ÷-； （2）()()()y x y x y x +--+2；（3）mm m m m +-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛-2211.18．解方程（本题4分）3321-=-x x x x19.如图，AB ∥DC ，AB=DC ，AC 与BD 相交于点O.求证：AO=CO.20.（本题6分）如图，在△ABC 中，︒=∠90A ,BC 的垂直平分线交BC 于E ，交AC 于D ，且DE AD =.（1）求证：C ABD ∠=∠；（2）求C ∠的度数.21.（本题6分）某商店准备购进一批电冰箱和空调，每台电冰箱的进价比每台空调的进价多400元，商店用6000元购进电冰箱的数量与用4800元购进空调的数量相等．（1）求每台电冰箱与空调的进价分别是多少？（2）已知电冰箱的销售价为每台2100元，空调的销售价为每台1750元.若商店准备购进这两种家电共100台，现有两种进货方案①冰箱30台，空调70台；②冰箱50台，空调50台，那么该商店要获得最大利润应如何进货？22.（本题6分）请按要求完成下面三道小题．（1）如图1，∠BAC关于某条直线对称吗？如果是，请画出对称轴尺规作图，保留作图痕迹；如果不是，请说明理由．（2）如图2，已知线段AB和点C(A与C是对称点)．求作线段，使它与AB成轴对称，标明对称轴b，操作如下：①连接AC；②作线段AC的垂直平分线，即为对称轴b；③作点B关于直线b的对称点D；④连接CD即为所求.（3）如图3，任意位置的两条线段AB ，CD ，且CD AB =（A 与C 是对称点）.你能通过对其中一条线段作有限次的轴对称使它们重合吗？如果能，请描述操作方法或画出对称轴（尺规作图，保留作图痕迹）；如果不能，请说明理由．图1 图2 图323.（本题7分）如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式不可约分，那么我们称这个分式为“和谐分式”．（1）下列分式：①112+-x x ；②222b a b a --；③22y x y x -+；④()222b a b a +-．其中是“和谐分式”是______ （填写序号即可）；（2）若a 为正整数，且412++-ax x x 为“和谐分式”，请写出所有满足条件的a 值； （3）在化简44322b b a b ab a ÷--时， 小东和小强分别进行了如下三步变形：小东：原式=b b a b ab a 44322⨯--=232244b a b ab a --=()2323222)(44b b ab b ab a b a ---小强：原式=b b a b ab a 44322⨯--=()22244b a b a b a --=()()2244b b a b a a a --- 显然，小强利用了其中的和谐分式，第三步所得结果比小东的结果简单，原因是：________________________， 请你接着小强的方法完成化简．24．如图，在等边△ABC 的外侧作直线AP ，点C 关于直线AP 的对称点为点D ，连接AD ，BD ，其中BD 交直线AP 于点E(点E 不与点A 重合）．（1）若∠CAP=20°.①求∠AEB=_____°；②连结CE ，直接写出AE ，BE ，CE 之间的数量关系．（2）若∠CAP=(0º<<120º).①∠AEB 的度数是否发生变化，若发生变化，请求出∠AEB 度数；②AE ，BE ，CE 之间的数量关系是否发生变化，并证明你的结论.台州市椒江区2018-2019学年第一学期期末考八年级数学试卷二、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的） 1、A ．2. D ．3. C ．4. A ．5. C ．6. B7. C8. D9. B10. D二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11．用科学记数法表示0.0004=____________【答案】4-104⨯ 12. 因式分解：a a -3___________________． 【答案】a （a+1）（a-1）13. 如图，在△ABC 中，BD 和CE 是△ABC 的两条角平分线，若∠A=52∘，则∠1+∠2的度数为______．【答案】64°14.若正多边形的内角和是外角和的3倍，则这个正多边形的边数是______．【答案】815.在如图所示的方格中，连接格点AB 、AC ，则∠1+∠2______度【答案】4516. 如图，在等腰直角△ABC 中，AB=4，点D 在边AC 上一点且AD=1，点E 是AB 边上一点，连接DE ，以线段DE 为直角边作等腰直角△DEF( D 、E 、F 三点依次呈逆时针方向)，当点F 恰好落在BC 边上时，则AE 的长是______．【答案】1.5或2三、解答题（共8题，共52分）17．计算（每小题3分，共9分）（1）5533232ab b a ÷-；（2）()()()y x y x y x +--+2； （3）mm m m m +-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛-2211. 【答案】（1）2a -； 22y xy +；1--m .【解答】（1）25533232a ab b a -=÷-； （2）()()()222222222222)(2y xy yx y xy x y x y xy x y x y x y x +=+-++=--++=+--+；（3）()()()()()()()()()1111111*********--=+-=-++⋅-+-=-++⋅-=+-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛-m m m m m m mm m m m m m mm mm m m m .18．解方程（本题4分）3321-=-x x x x【答案】x=0.【解答】解：去分母得：3x=2x移项得：3x －2x=0合并同类项得：x=0检验：x=0时，3x －3≠0∴x=0是原分式方程的解.19.如图，AB ∥DC ，AB=DC ，AC 与BD 相交于点O.求证：AO=CO.【答案】AO=CO.【解答】证明：∵AB ∥DC ，∴∠A=∠C ，∠B=∠D ，在△ABO 和△CDO 中，⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠D B DCAB C A∴△ABO ≌△CDO(ASA)，∴AO=CO.20.（本题6分）如图，在△ABC 中，︒=∠90A ,BC 的垂直平分线交BC 于E ，交AC 于D ，且DE AD =.（1）求证：C ABD ∠=∠；（2）求C ∠的度数.【答案】30°.【解答】（1）证明：∵DE ⊥BC ，∠A=90°即DA ⊥AB 且AD=DE ，∴BD 平分∠ABC ，∴∠ABD=∠DBC ，∵DE 垂直平分BC ，∴BD=CD ，∴∠DBC=∠C ，∴∠ABD=∠C ，（2）解：∵∠ABC+∠C=90°，∠ABD=∠CBD=∠C ，∴3∠C=90°，∴∠C=30°.21.（本题6分）某商店准备购进一批电冰箱和空调，每台电冰箱的进价比每台空调的进价多400元，商店用6000元购进电冰箱的数量与用4800元购进空调的数量相等．（1）求每台电冰箱与空调的进价分别是多少？（2）已知电冰箱的销售价为每台2100元，空调的销售价为每台1750元.若商店准备购进这两种家电共100台，现有两种进货方案①冰箱30台，空调70台；②冰箱50台，空调50台，那么该商店要获得最大利润应如何进货？【答案】（1）每台电冰箱的进价2000元，每台空调的进价1600元；（2）方案一利润大于方案二．【解答】解：（1）设每台电冰箱的进价m元，每台空调的进价（m-400）元，依题意得，，解得：m=2000，经检验，m=2000是原分式方程的解，∴m=2000；∴每台电冰箱的进价2000元，每台空调的进价1600元；（2）设购进电冰箱x台，则购进空调（100-x）台，根据题意得，总利润W=100x+150（100-x）=-50x+15000，①代入x=30可得W=-50×30+15000=13500，②代入x=50可得W=-50×50+15000=12500即此时方案一利润大于方案二．22.（本题6分）请按要求完成下面三道小题．（1）如图1，∠BAC关于某条直线对称吗？如果是，请画出对称轴尺规作图，保留作图痕迹；如果不是，请说明理由．（2）如图2，已知线段AB和点C(A与C是对称点)．求作线段，使它与AB成轴对称，标明对称轴b，操作如下：①连接AC；②作线段AC的垂直平分线，即为对称轴b；③作点B关于直线b的对称点D；④连接CD即为所求.AB （A与C是对称点）.你能通过对其中一条线段（3）如图3，任意位置的两条线段AB，CD，且CD作有限次的轴对称使它们重合吗？如果能，请描述操作方法或画出对称轴（尺规作图，保留作图痕迹）；如果不能，请说明理由．图1 图2 图3【答案】解：（1）如图1，作∠ABC的平分线所在的直线a．（答案不唯一）如图2所示：如图2所示，CD即为所求．（3）如图3所示，连接BD；作线段BD的垂直平分线，即为对称轴c；作点C关于直线c的对称点E；连接BE；作∠ABE的角平分线所在的直线d即为对称轴，故其中一条线段作2次的轴对称即可使它们重合．【解答】解：（1）如图1，作∠ABC的平分线所在的直线a．（答案不唯一）如图2所示：如图2所示，CD即为所求．（3）如图3所示，连接BD；作线段BD的垂直平分线，即为对称轴c；作点C关于直线c的对称点E；连接BE ；作∠ABE 的角平分线所在的直线d 即为对称轴，故其中一条线段作2次的轴对称即可使它们重合．23.（本题7分）如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式不可约分，那么我们称这个分式为“和谐分式”．（1）下列分式：①112+-x x ；②222b a b a --；③22y x y x -+；④()222b a b a +-．其中是“和谐分式”是______ （填写序号即可）；（2）若a 为正整数，且412++-ax x x 为“和谐分式”，请写出所有满足条件的a 值； （3）在化简44322b b a b ab a ÷--时， 小东和小强分别进行了如下三步变形：小东：原式=b b a b ab a 44322⨯--=232244b a b ab a --=()2323222)(44b b ab b ab a b a --- 小强：原式=b b a b ab a 44322⨯--=()22244ba b a b a --=()()2244b b a b a a a --- 显然，小强利用了其中的和谐分式，第三步所得结果比小东的结果简单，原因是：________________________， 请你接着小强的方法完成化简．【答案】（1）②；（2）a=4，a=-4，a=5；（3）小强通分时，利用和谐分式找到了最简公分母；24b ab a-.【解答】解：（1）②；（2）∵分式412++-ax x x 为和谐分式，且a 为整数， ∴a=4，a=-4，a=5；（3）小强通分时，利用和谐分式找到了最简公分母；原式=()222444b b a ab a a -+-=()24b b a ab -=()b b a a -4=24bab a -.24．如图，在等边△ABC 的外侧作直线AP ，点C 关于直线AP 的对称点为点D ，连接AD ，BD ，其中BD 交直线AP 于点E(点E 不与点A 重合）．（1）若∠CAP=20°.①求∠AEB=_____°；②连结CE，直接写出AE，BE，CE之间的数量关系．（2）若∠CAP=(0º<<120º).①∠AEB的度数是否发生变化，若发生变化，请求出∠AEB度数；②AE，BE，CE之间的数量关系是否发生变化，并证明你的结论.【答案】解：（1）①60°；②CE+AE=BE；（2）当0º<α<60º时，①∠AEB=60°；②CE+AE=BE．当60º<α<120º时，①∠AEB=120°；②BE+AE=CE．理由如下：当0º<α<60º时，如图：在等边△ABC中，AC=AB，∠BAC=60°由对称可知：AC=AD，∠EAC=∠EAD=α，∵AD=AC=AB，∴∠D=21(180°−∠BAC −2α)=60°−α． ∴∠AEB=60−α+α=60°．在BE 上取点M 使ME=AE ，∠AEB=60°．∴△AME 为等边三角形．∴AE=AM ，∠MAE=60°，∴∠BAM+∠MAC=∠MAC+∠CAE=60°∴∠BAM=∠CAE在△AEC 和△AMB 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=AE AM CAE BAM AC AB△AEC ≌△AMB （SAS ），∴CE=BM ．∴CE+AE=BE ．当60º<α<120º时，如图：在等边△ABC 中，AC=AB ，∠BAC=60°由对称可知：AC=AD ，∠EAC=∠EAD=α， ∴∠BAD=360°-60°-2α=300°-2α，∠DAE=180°-α=180°-α∵AD=AC=AB ，∴∠D=21[180°−(300°-2α)]=α-60°． ∴∠AEB=∠DAE+∠D=（180°-α）+（α-60°）=120°．∴∠AED=60°在DE 上取点M 使ME=AE ，∴△AME 为等边三角形．∴AE=AM ，∠AME=60°，∴∠AEB=∠AMD=120在△AEB 和△AMD 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠AC AB AMD AEB ADE ABE△AE Ｂ≌△AMD （AAS ），∴BE =DM ．∴BE+AE=CE ．综上所述：当0º<α<60º时，①∠AEB=60°；②CE+AE=BE ．当60º<α<120º时，①∠AEB=120°；②BE+AE=CE ．【解答】解：（1）①60°；②CE+AE=BE ；（2）当0º<α<60º时，①∠AEB=60°；②CE+AE=BE ．当60º<α<120º时，①∠AEB=120°；②BE+AE=CE ．理由如下：在等边△ABC 中，AC=AB ，∠BAC=60°由对称可知：AC=AD ，∠EAC=∠EAD=α， ∵AD=AC=AB ，∴∠D=21(180°−∠BAC −2α)=60°−α． ∴∠AEB=60−α+α=60°．在BE 上取点M 使ME=AE ，∠AEB=60°．∴△AME 为等边三角形．∴AE=AM ，∠MAE=60°，∴∠BAM+∠MAC=∠MAC+∠CAE=60°∴∠BAM=∠CAE在△AEC 和△AMB 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=AE AM CAE BAM AC AB△AEC ≌△AMB （SAS ），∴CE=BM ．∴CE+AE=BE ．在等边△ABC 中，AC=AB ，∠BAC=60°由对称可知：AC=AD ，∠EAC=∠EAD=α， ∴∠BAD=360°-60°-2α=300°-2α，∠DAE=180°-α=180°-α∵AD=AC=AB ，∴∠D=21[180°−(300°-2α)]=α-60°． ∴∠AEB=∠DAE+∠D=（180°-α）+（α-60°）=120°．∴∠AED=60°在DE 上取点M 使ME=AE ，∴△AME 为等边三角形．∴AE=AM ，∠AME=60°，∴∠AEB=∠AMD=120在△AEB 和△AMD 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠AC AB AMD AEB ADE ABE△AE Ｂ≌△AMD （AAS ），∴BE =DM ．∴BE+AE=CE．综上所述：当0º<α<60º时，①∠AEB=60°；②CE+AE=BE．当60º<α<120º时，①∠AEB=120°；②BE+AE=CE．。