2018二次函数压轴题题型归纳一、二次函数常考点汇总1、两点间的距离公式：AB y A y B X A X B2、中点坐标：线段AB的中点C的坐标为：X B，匕尘22直线y k1x b1k1 0 )与y k2x b2 ( k2 0) 的位置关系：(1) 两直线平行k[ k?.且b[b2（2）两直线相交(3) 两直线重合k[ k?.且b[b2（4）两直线垂直k? 13、一元二次方程有整数根问题，解题步骤如下:①用和参数的其他要求确定参数的取值范围；②解方程，求出方程的根；（两种形式：分式、二次根式）③分析求解：若是分式，分母是分子的因数；若是二次根式，被开方式是完全平方式例：关于x 的一元二次方程x2—2 m 1 x m2= 0有两个整数根，m v5且m为整数，求m的值。
4、二次函数与x轴的交点为整数点问题。
（方法同上）例：若抛物线y mx2 3m 1 x 3与x轴交于两个不同的整数点，且m为正整数，试确定此抛物线的解析式。
5、方程总有固定根问题，可以通过解方程的方法求出该固定根。
举例如下：已知关于x的方程mx2 3（m 1）x 2m 3 0 （m为实数），求证：无论m为何值，方程总有一个固定的根。
解：当m 0时，x 1 ;2 3 m 1 i 小3当m 0 时，m3 0，x ，捲 2 、X2 1 ;2m m综上所述：无论m为何值，方程总有一个固定的根是1。
6函数过固定点问题，举例如下：已知抛物线y x2 mx m 2 （m是常数），求证：不论m为何值，该抛物线总经过一个固定的点，并求出固定点的坐标。
解：把原解析式变形为关于m的方程y x2 2 m 1 x ;••• y X 2 0，解得：y 1;^抛物线总经过一个固定的点（1，—1）o1 x 0 x 1（题目要求等价于：关于m的方程y x2 2 m 1 x不论m为何值，方程恒成立）小结：关于x的方程ax b有无数解 a 0'' b 07、路径最值问题(待定的点所在的直线就是对称轴)(1) 如图，直线h、J，点A在12上，分别在l i、I2上确定两点M、N，使得AM MN之和最小。
(2) 如图，直线l i、I2相交，两个固定点A、B，分别在l i、I2上确定两点M、N，使得BM MN AN之和最小。
8、在平面直角坐标系中求面积的方法：直接用公式、割补法三角形的面积求解常用方法：如上图，S PAE=F2• PM •△ x=02 • AN •△ y9、函数的交点问题：二次函数(y= ax2+ bx+ c)与一次函数(1)解方程组尸ax2+ bx+c可求出两个图象交点的坐标。
y= kx+ h2(2)解方程组y=ax +bx+ c即ax2+ b—k x+ c—h = 0，通过可判断两个图象的交点的个数y= kx+ h有两个交点>0 仅有一个交点0 没有交点V010、方程法(1)设：设主动点的坐标或基本线段的长度(2)表示：用含同一未知数的式子表示其他相关的数量(3)列方程或关系式11、几何分析法特别是构造“平行四边形”、“梯形”、“相似三角形”、“直角三角形”、“等腰三角形”等图形几何要求几何分析涉及公式应用图形跟平行有关的图形平移l1// l2 k1=k2、k 上_y2x1 x2平行四边形矩形梯形跟直角有关的图形勾股定理逆定理利用相似、全等、平行、对顶角、互余、互补等( 2 2AB屮y A y X A X B直角三角形直角梯形矩形跟线段有关的图形利用几何中的全等、中垂线的性质等。
: 2 2AB V y A y B X A X B等腰三角形全等等腰梯形跟角有关的图形利用相似、全等、平行、对顶角、互余、互补等【例题精讲】基础构图:y=x 2 2x 3 (以下几种分类的函数解析式就是这个)★和最小，差最大1在对称轴上找一点P ,使得PB+PC 勺和最小，求出P 点坐标 2在对称轴上找一点P ,使得PB-PC 的差最大，求出P 点坐标★讨论直角三角 连接AC 在对称轴上找一点P,使得 ACP 为直角三角形， 求出P 坐标或者在抛物线上求点 卩，使厶ACP 是以AC 为直角边的直角三角形.rD.Lu LP,使得 ACP 为等腰三角形，求出P 坐标★讨论平行四边形 1、点E 在抛物线的对称轴上，点F 在抛物线上, 且以B , A , F , E 四点为顶点的四边形为平行四边形，求点 F 的坐标二综合题型例1(中考变式)如图，抛物线yx 2 bx c 与x 轴交与A(1,0),B(-3, 0)两点，顶点为D例2 考点: 关于面积最值如图，在平面直角坐标系中，点 A 、C 的坐标分别为(-1,0)、(0, - .3),点B 在x 轴上•已知某交丫轴于C(1) 求该抛物线的解析式与 △ ABC 的(2) 在抛物线第二象限图象上是否存在一点 在，求出点P 的坐标。
若没有，请说明理由M ，使△ MBC 是以/ BCM 为直角的直角三角形，若存 ⑶若E 为抛物线B 、C 两点间图象上的一个动点(不与A 、B 重合)，过E 作EF 与X 轴垂直，交 BC 于F ,设E 点横坐标为的长度为L ， 求L 关于X 的函数关系式关写出X 的取值范围 当E 点运动到什么位置时，线段 EF 的值最大，并求此时E 点的坐标(4) 在(5)的情况下直线BC 与抛物线的对称轴交于点 D 为顶点的四边形为平行四边形⑸在(5)的情况下点E 运动到什么位置时，使三角形H 0F 、H 、二次函数的图象经过A、B C三点，且它的对称轴为直线x= 1,点P为直线BC下方的二次函数图象上的一个动点(点P与B C不重合)，过点P作y轴的平行线交BC于点F.(1) 求该二次函数的解析式；(2) 若设点P的横坐标为m，试用含m的代数式表示线段(3) 求A PBC面积的最大值，并求此时点P的坐标.考点：讨论等腰如图，已知抛物线y= -x2+ bx+ c与y轴相交于C,与x轴相交于A、B，点A的坐标为(2,2点C的坐标为(0,—1).(1)求抛物线的解析式；(2)点E是线段AC上一动点，过点E作DE丄x轴于点D,连结。
，当厶DCE的面积最大时, 点D的坐标；(3)在直线BC上是否存在一点说明理由.例4考点：讨论直角三角⑴ 如图，已知点A (一1, 0)和点B (1 , 2),在坐标轴上Z/A 01------- 8------------- Vr! I0），求确定点P,使得△ ABP为直角三角形，则满足这样条件的点P共有()⑵已知：如图一次函数戶*1的图象与x轴交于点A,与y轴交于点B；二次函数y=卜2+ bx+ c的图象与一次函数y= l x+ 1的图象交于B、C两点，与x轴交于D、E两点且D点坐标2为（1, 0）(1) 求二次函数的解析式；(2) 求四边形BDEC的面积S;(3) 在x轴上是否存在点P,使得△ PBC是以P为直角顶点的直角三角形若存在，求出所有的点例5考点：讨论四边形已知：如图所示，关于x的抛物线y= ax2+ x+ c (a^ 0)与x轴交于点A ( -2, 0),点B(6, 0),与y轴交于点C. (1)求出此抛物线的解析式，并写出顶点坐标；(2)在抛物线上有一点D,使四边形ABDC为等腰梯形，写出点D的坐标，求出直线AD的解析式;(3)在(2)中的直线AD交抛物线的对称轴于点M ,抛物线上有一动点P, x轴上有一动点Q.是否存在以A、M、P、Q为顶点的平行四边形如果存在，请直接写出点Q的坐标；如果不存在，综合练习：1、平面直角坐标系xOy中，抛物线y ax2 4ax 4a c与x轴交于点A、点B,与y轴的正半轴交于点C,点A的坐标为(1, 0), OB= OC,抛物线的顶点为D。
(1) 求此抛物线的解析式；⑵若此抛物线的对称轴上的点P满足/ APB=Z ACB求点P的坐标；(3) Q为线段BD上一点，点A关于/ AQB的平分线的对称点为A，若QA QB 2，求点Q的坐标和此时厶QAA的面积。
(A) 2 个(B)4个(C) 6个(D) 7个请说明理由.P,若不存在，请说明理由.2、在平面直角坐标系xOy 中，已知二次函数y ax 2 +2ax c 的图像与y 轴交于点C 0,3，与x 轴 交于A 、 B 两点，点B 的坐标为 3,0。
(1) 求二次函数的解析式及顶点 D 的坐标；(2) 点M 是第二象限内抛物线上的一动点，若直线OM 把四边形ACDB 分成面积为1 : 2的两部分，求出此时点M 的坐标；(3) 点P 是第二象限内抛物线上的一动点，冋：点P 在何处时△ CPB 的面积取大取大面积是多少并求出此时点P 的坐标。
3、如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y — x 2 2x 与x 轴负半轴交于点A ，顶点为B ，且m对称轴与x 轴交于点C 。
(1) 求点B 的坐标(用含m 的代数式表示)；(2) D 为OB 中点，直线AD 交y 轴于E ，若E (0, 2),求抛物线的解析式;(3) 在(2)的条件下，点M 在直线0B 上，且使得 AMC 的周长最小，P 在抛物线上，Q 在直 线BC 上，若以A 、M 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，求点 P 的坐标\ \lT-\1 co \jr~ai\\/\4、已知关于x 的方程(1 m)x 2 (4 m)x 3 0。
(1) 若方程有两个不相等的实数根，求 m 的取值范围；(2)若正整数m满足8 2m 2，设二次函数y (1 m)x2(4 m)x 3的图象与x轴交于A B两点，将此图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象；请你结合这个新的图象回答：当直线y kx 3与此图象恰好有三个公共点时，求出k 的值(只需要求出两个满足题意的k值即可)。
1:H6 4■■I-2•*■■-2••2 4 J-4■4■■5如图，抛物线y=af+2ax+c( a^0与y轴交于点C (0，4)，与x轴交于点A (- 4, 0)和B.(1)求该抛物线的解析式；(2)点Q是线段AB上的动点，过点Q作QE// AC,交BC于点E,连接CQ•当△ CEQ的面积最大时，求点Q的坐标；(3)平行于x轴的动直线I与该抛物线交于点P,与直线AC交于点F,点D的坐标为(-2,0) •问是否有直线I，使△ ODF是等腰三角形若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由.三、中考二次函数代数型综合题题型一、抛物线与x轴的两个交点分别位于某定点的两侧例1 •已知二次函数y=x 2+ (m—1)x+ m —2的图象与x轴相交于A (x i, 0), B (x2, 0)两点，且X iV X2.(1)若x i x2V 0，且m为正整数，求该二次函数的表达式；(2)若x i V 1，x2> 1，求m的取值范围；(3)是否存在实数m，使得过A、B两点的圆与y轴相切于点C (0, 2)，若存在，求出m的值; 若不存在，请说明理由；1 MD 1(4)若过点D (0，亍)的直线与(1)中的二次函数图象相交于M、N两点，且"DN = 3，求该直线的表达式.题型二、抛物线与x轴两交点之间的距离问题例2已知二次函数y= x2+mx+m-5，(1)求证：不论m取何值时，抛物线总与x轴有两个交点；(2)求当m取何值时，抛物线与x轴两交点之间的距离最短.题型三、抛物线方程的整数解问题例1.已知抛物线y x2 2(m 1)x m2 0与x轴的两个交点的横坐标均为整数，且m V5,则整数m的值为 ______________例2.已知二次函数y=x2—2mx+ 4m —8.(1)当x<2时，函数值y随x的增大而减小，求m的取值范围；(2)以抛物线y=x2—2mx+ 4m —8的顶点A为一个顶点作该抛物线的内接正AMN ( M , N两点在抛物线上)，请问：△AMN的面积是与m无关的定值吗若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由；(3)若抛物线y=x2—2mx+ 4m —8与x轴交点的横坐标均为整数，求整数m的值.题型四、抛物线与对称，包括：点与点关于原点对称、抛物线的对称性、数形结合例1 .已知抛物线y x2 bx c (其中b>0, C M0)与y轴的交点为A，点A关于抛物线对称轴的对称点为B(m,n)，且AB=2.(1)求m,b的值(2) 如果抛物线的顶点位于x轴的下方，且BO= . 20。