二次函数压轴题解题思路一、基本知识1会求解析式以及一些关键点的坐标（如函数图像与坐标轴的交点、两函数图像的交点等）。

2.会利用函数性质和图像3.相关知识：如一次函数、反比例函数、点的坐标、方程。

图形中的三角形、四边形、圆及平行线、垂直。

一些方法：如相似、三角函数、解方程。

一些转换：如轴对称、平移、旋转。

二、典型例题：（一）、求解析式可参考一下部分试题的第一问。

（二）、二次函数的相关应用第一类：面积问题例题. （2012•莱芜）如图，顶点坐标为（2，﹣1）的抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与y轴交于点C（0，3），与x轴交于A、B两点．（1）求抛物线的表达式；（抛物线的解析式：y=（x﹣2）2﹣1=x2﹣4x+3．）（2）设抛物线的对称轴与直线BC交于点D，连接AC、AD，求△ACD的面积；练习：1. （2014•兰州）如图，抛物线y=﹣x2+mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（﹣1，0），C（0，2）．（1）求抛物线的表达式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）点E时线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标．第二类：.构造问题（1）构造线段（2014•枣庄）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2﹣2x﹣3的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，连接BC，点D为抛物线的顶点，点P是第四象限的抛物线上的一个动点（不与点D重合）．（1）求∠OBC的度数；（2）连接CD、BD、DP，延长DP交x轴正半轴于点E，且S△OCE=S四边形OCDB，求此时P点的坐标；（3）过点P作PF⊥x轴交BC于点F，求线段PF长度的最大值．（2）构造相似三角形（2013•莱芜）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点A（﹣3，0）、B（1，0）、C（﹣2，1），交y轴于点M．（1）求抛物线的表达式；（2）D为抛物线在第二象限部分上的一点，作DE垂直x轴于点E，交线段AM于点F，求线段DF长度的最大值，并求此时点D的坐标；（3）抛物线上是否存在一点P，作PN垂直x轴于点N，使得以点P、A、N为顶点的三角形与△MAO相似？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．（3）构造平行四边形（2014•莱芜）如图，过A（1，0）、B（3，0）作x轴的垂线，分别交直线y=4﹣x于C、D 两点．抛物线y=ax2+bx+c经过O、C、D三点．（1）求抛物线的表达式；（2）点M为直线OD上的一个动点，过M作x轴的垂线交抛物线于点N，问是否存在这样的点M，使得以A、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求此时点M的横坐标；若不存在，请说明理由；（3）若△AOC沿CD方向平移（点C在线段CD上，且不与点D重合），在平移的过程中△AOC与△OBD重叠部分的面积记为S，试求S的最大值．造等腰三角形（2013•泰安）如图，抛物线y=12x2+bx+c与y轴交于点C（0，-4），（4）构与x轴交于点A，B，且B点的坐标为（2，0）（1）求该抛物线的解析式．（2）若点P是AB上的一动点，过点P作PE∥AC，交BC于E，连接CP，求△PCE面积的最大值．（3）若点D为OA的中点，点M是线段AC上一点，且△OMD为等腰三角形，求M点的坐标．（5）构造直角三角形（2014•四川内江）如图，抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣3.0）、C（0，4），点B在抛物线上，CB∥x轴，且AB平分∠CAO．（1）求抛物线的解析式；（2）线段AB上有一动点P，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点Q，求线段PQ的最大值；（3）抛物线的对称轴上是否存在点M，使△ABM是以AB为直角边的直角三角形？如果存在，求出点M的坐标；如果不存在，说明理由．（6）构造角相等（2014•娄底）如图，抛物线y=x2+mx+（m﹣1）与x轴交于点A（x1，0），B（x2，0），x1＜x2，与y轴交于点C（0，c），且满足x12+x22+x1x2=7．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上能不能找到一点P，使∠POC=∠PCO？若能，请求出点P的坐标；若不能，请说明理由．（7）构造菱形（2013•枣庄）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，-3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点．（1）求这个二次函数的表达式．（2）连接PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP′C，那么是否存在点P，使四边形POP′C为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．（3）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积．（8）构造对称点（11莱芜）如图，在平面直角坐标系中，已知点A(－2，－4)，OB＝2，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A、O、B三点．(1)求抛物线的函数表达式；(2)若点M是抛物线对称轴上一点，试求AM＋OM的最小值；(3)在此抛物线上，是否存在点P，使得以点P与点O、A、B为顶点的四边形是梯形．若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．AOByx（9）构造平行线：（2014•山东烟台）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的顶点A，C分别在y轴，x轴上，△ACB=90°，OA=，抛物线y=ax2﹣ax﹣a经过点B（2，），与y轴交于点D．（1）求抛物线的表达式；（2）点B关于直线AC的对称点是否在抛物线上？请说明理由；（3）延长BA交抛物线于点E，连接ED，试说明ED△AC的理由．（10）构造垂直：（2014宜宾市）如图，已知抛物线y= x2+bx+c的顶点坐标为M(0，–1)，与x轴交于A、B两点. (1)求抛物线的解析式；(2)判断△MAB的形状，并说明理由；(3)过原点的任意直线(不与y轴重合)交抛物线于C、D两点，连结MC、MD，试判断MC、MD是否垂直，并说明理由．（11）构造圆(2014年淄博)如图，点A与点B的坐标分别是（1，0），（5，0），点P是该直角坐标系内的一个动点．（1）使△APB=30°的点P有个；（2）若点P在y轴上，且△APB=30°，求满足条件的点P的坐标；（3）当点P在y轴上移动时，△APB是否有最大值？若有，求点P的坐标，并说明此时△APB最大的理由；若没有，也请说明理由．参考答案：（一）、求解析式（二）、二次函数的相关应用第一类：面积问题（2012•莱芜）解：（1）y=（x﹣2）2﹣1=x2﹣4x+3．yxOMDCBA第24题图（2）S△ACD=AD•CD=××2=2．（3）（2+，1﹣）、（2﹣，1+）、（1，2）或（4，﹣1）．（2014兰州）解（1）y=﹣x2+x+2；（2）y=﹣（x﹣）2+，P1（，4），P2（，），P3（，﹣）；（3）S四边形CDBF=S△BCD+S△CEF+S△BEF=﹣（a﹣2）2+∴a=2时，S四边形CDBF的面积最大=，∴E（2，1）9．第二类：.构造问题（1）构造线段（2014枣庄）（1）△OBC为等腰直角三角形∠OBC=45°．（2）P（2，﹣3）．（3）线段PF长度=﹣x P2+3x P=﹣（x P﹣）2+，（1＜x P≤3），当x P=时，线段PF长度最大为．（2）构造相似三角形（2013•莱芜）（1）y=．（2）DF的最大值为．此时D的坐标为（）．（3）存在点P，使得以点P、A、N为顶点的三角形与△MAO相似．设P（m，）．在Rt△MAO中，AO=3MO，要使两个三角形相似，由题意可知，点P不可能在第一象限．①设点P在第二象限时，∵点P不可能在直线MN上，∴只能PN=3NM，故此时满足条件的点不存在．②当点P在第三象限时，∵点P不可能在直线MN上，∴只能PN=3NM，P的坐标为（﹣8，﹣15）．③当点P在第四象限时，若AN=3PN时，此时点P的坐标为（2，﹣）．若PN=3NA，此时点P的坐标为（10，﹣39）．综上所述，满足条件的点P的坐标为（﹣8，﹣15）、（2，﹣）、（10，﹣39）．（3）构造平行四边形（2014•莱芜）解：（1）y=﹣x2+x．（2）存在．或或．（3）△S=S△OFQ﹣S△OEP=OF•FQ﹣OE•PG=（1+t）（+t）﹣•t•t=﹣（t﹣1）2+当t=1时，S有最大值为．△S的最大值为．（4）构造等腰三角形PBE ABCS S=PBE S 12==-13x 2-232（5）构造直角三角形（2014•四川内江） （1）y=﹣x 2+x+4．（2）当t=1时，PQ 取到最大值，最大值为． （3）①当∠BAM=90°时，MH=11．M （，﹣11）． ②当∠ABM=90°时，M （，9）．综上所述：符合要求的点M 的坐标为（，9）和（，﹣11）．（6）构造角相等（2014•娄底）解（1）依题意：x 1+x 2=﹣m ，x 1x 2=m ﹣1，∵x 1+x 2+x 1x 2=7，∴（x 1+x 2）2﹣x 1x 2=7，∴（﹣m ）2﹣（m ﹣1）=7，即m 2﹣m ﹣6=0，解得m 1=﹣2，m 2=3，∵c=m ﹣1＜0，∴m=3不合题意∴m=﹣2抛物线的解析式是y=x 2﹣2x ﹣3； （2）能如图，设p是抛物线上的一点，连接PO ，PC ，过点P 作y 轴的垂线，垂足为D ．若∠POC=∠PCO 则PD 应是线段OC 的垂直平分线∵C 的坐标为（0，﹣3）∴D 的坐标为（0，﹣）∴P 的纵坐标应是﹣令x 2﹣2x ﹣3=，解得，x 1=，x 2=因此所求点P 的坐标是（，﹣），（，﹣）（7）构造菱形（2013•枣庄） 解：（1）.（2）此时P 点的坐标为（，）. （3） S 四边形ABPC =++==.易知，当x=时，四边形ABPC 的面积最大．此时P 点坐标为（，），四边形ABPC 的最大面积为.（8）构造对称点（11莱芜）（1）212y x x =-+。

（2）MO+MA 的最小值为42。

（3）①若OB ∥AP P(4,－4),则得梯形OAPB 。

②若OA ∥BP ，点P(412--，)，则得梯形OAPB 。

③若AB ∥OP ，此时点P 不存在。

综上所述，存在两点P(4,－4)或P(412--，)使得以点P 与点O 、A 、B 为顶点的四边形是梯形。

2=23y x x --2232-AOC S ∆POB S ∆POC S ∆239622x x -++23375()228x --+3232154-758（9）构造平行线：（2014•山东烟台）解：y=x2﹣x﹣．（2）连接CD，过点B作BF△x轴于点F，则△BCF+△CBF=90°△△ACB=90°，△△ACO+△BCF=90°，△△ACO=△CBF，△△AOC=△CFB=90°，△△AOC△△CFB，△=，设OC=m，则CF=2﹣m，则有=，解得m=m=1，△OC=OF=1，当x=0时y=﹣，△OD=，△BF=OD，△△DOC=△BFC=90°，△△OCD△△FCB，△DC=CB，△OCD=△FCB，△点B、C、D在同一直线上，△点B与点D关于直线AC对称，△点B关于直线AC的对称点在抛物线上．（3）过点E作EG△y轴于点G，设直线AB的表达式为y=kx+b，则，解得k=﹣，△y=﹣x+，代入抛物线的表达式﹣x+=x2﹣x﹣．解得x=2或x=﹣2，当x=﹣2时y=﹣x+=﹣×（﹣2）+=，△点E的坐标为（﹣2，），△tan△EDG===，△△EDG=30°△tan△OAC===，△△OAC=30°，△△OAC=△EDG，△ED△AC．（10）构造垂直：（2014宜宾市）解：（1）y=x2﹣1．（2）OA=OB=OC=1，△AM=BM，△△MAB是等腰直角三角形．（3）=，即=解得m=﹣，△==﹣n，==，△=，△△CGM=△MHD=90°，△△CGM△△MHD，△△CMG=△MDH，△△MDH+△DMH=90°△△CMG+△DMH=90°，△△CMD=90°，即MC△MF．（11）构造圆(2014年淄博)解：（1）∵抛物线y=﹣x2+mx+n经过A（﹣1，0），C（0，2）．解得：，∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+x+2；（2）∵y=﹣x2+x+2，∴y=﹣（x﹣）2+，∴抛物线的对称轴是x=．∴OD=．∵C（0，2），∴OC=2．在Rt△OCD中，由勾股定理，得CD=．∵△CDP是以CD为腰的等腰三角形，∴CP1=CP2=CP3=CD．作CH⊥x轴于H，∴HP1=HD=2，∴DP1=4．∴P1（，4），P2（，），P3（，﹣）；（3）当y=0时，0=﹣x2+x+2∴x1=﹣1，x2=4，∴B（4，0）．设直线BC的解析式为y=kx+b，由图象，得，解得：，∴直线BC 的解析式为：y=﹣x+2．如图2，过点C作CM⊥EF于M，设E（a，﹣a+2），F（a，﹣a2+a+2），∴EF=﹣a2+a+2﹣（﹣a+2）=﹣a2+2a（0≤x≤4）．∵S四边形CDBF=S△BCD+S△CEF+S△BEF=BD•OC+EF•CM+EF•BN，=+a（﹣a2+2a）+（4﹣a）（﹣a2+2a），=﹣a2+4a+（0≤x≤4）．=﹣（a﹣2）2+∴a=2时，S四边形CDBF的面积最大=，∴E（2，1）．。