难点分解、知识点模块化
摘要本文来探讨三角函数中绝对值情况求最值和周期问题的一般技巧，就是抓住基础知识、将难点分解、知识点模块化。
关键词三角函数；正弦函数；绝对值；最大值；最小值；最小正周期
三角函数部分是高考中数学知识的重点，而三角函数的最值和周期问题，又是多年高考都在考的内容。
对于这类问题，学生对简单题目解答的比较清楚，但一遇到稍微复杂一点的题目便常常束手无策。
根据多年的备考经验，我认为解答此类问题，最重要的是将难点分解，使知识点模块化，向基础知识要答案。
下面我就以一题为例，来作具体分析。
题目：求函数y=sinx+cosx的最小值和最大值。
解：依设知y≥0，且y2=sin2x+cos2x+2sinxcosx=1+2|sinxcosx|，
因为0≤2sinxcosx≤sin2x+cos2x=1，
且当x=■（k∈Z）时有2sinxcosx=0，
当x=■+■（k∈Z）时有2sinxcosx=1，
因此，y2有最小值1和最大值2；由y≥0得y的最小值是1，最大值是■。
书上给出的答案，用代数的方法对函数的两边进行平方运算，来求y2的最值，再计算出函数的最值。
解答思路清楚，学生也能听懂，但学生反映，对于求y2的最值来计算函数的最值这种方法，掌握起来有困难，题目做个小小变化后，便不知如何操作了。
在讲授过程中，我引入了几何的方法，让学生既能掌握规律，又能看得见、“摸”得着。
抓住基础知识、将难点分解、知识点模块化，解决相关的一些题型：
①y=sinx ②y=sinx ③y=sin2x ④y=sinxcosx
⑤y=sinx-cosx ⑥y=sinx+cosx ⑦y=sinx+cosx
⑧y=sinx-cosx
首先，要求学生掌握需要的基础知识。
（1）要掌握正（余）弦函数y=sin（y=cosx）的图象，最小值为-1，最大值为1，最小正周期为2π；
（2）sin2x=2sinxcosx；
（3）正弦型函数y=Asin（ωx+ψ）的最大值为|A|，最小值为-|A|，最小正周期为■。
其次，将难点分解、知识点模块化，要求学生掌握必要的题型，进行知识拓展。
（1）函数y=asinx+bcosx的最小值为-■，最大值为■，最小正周期为2π；
（2）正弦函数y=sinx加上绝对值后，函数y=|sinx|的图象将原来y=sinx的图象在x轴下面的部分全部以x轴为对称轴，翻到x轴的上面。
最小值为0，最大值为1，最小正周期为π。
规律：取绝对值后，最大值为原来的最大值，最小值为0，最小正周期为原来最小正周期的一半。
类似的，正弦函数y=sinx加上平方运算后，函数y=sin2x的最大值为原来的最大值，最小值为0，最小正周期为原来最小正周期的一半（图象的变化过于复杂，不在这里说明）。
为了让学生更好的理解绝对值和平方运算对函数值的影响，引入实例：
Ⅰ、-10≤|x|0≤|x|0≤x20≤x2<4
（3）最后，将所有必要的知识点进行整合，得出结论。
要求学生画出函数y=|sinx|和y=|cosx|的图象。
y=|sinx|
y=|cosx|
然后将两个图象放到一个坐标系中，
从整个图象上可以看出，从（0，■）开始以■为周期进行变化。
而在（0，■）中，从变化趋势又可以看出在x=0、■、■处为最特殊；即，函数y=|sinx|+|cosx|的最小正周期为■，最大、最小值一定出现在x=0、■、■处。
将x=0、■、■分别代入函数y =|sinx|+|cosx|中，最小值为1，最大值为■。
至此解出正确答案，过程看似复杂，但由于正确运用了数型结合的思想，大多数学生还是掌握了解题方法，其他同学经过不断的训练，也能收到很好的效果。
而对于以后对其他题题目的拓展，开了一个很好的头。
对拓展中出现的其他问题的解决：
④y=|sinxcosx|：因为sin2x=2sinxcosx（见前面基础知识），所以sinxcosx=sin2x，即，y=sinxcosx的最小值为-■，最大值为■，最小正周期为π。
取绝对值后，y=|sinxcosx|的最小值为0，最大值为■，最小正周期为■。
⑤y=|sinx-cosx| ⑥y=|sinx+cosx|：因为y=sinx-cosx与y= sinx+cosx的最小值都为-■，最大值都为■，最小正周期都为π。
取绝对值后，y=|sinx-cosx|与y=|sinx+cosx|的最小值为0，最大值为■，最小正周期为■。
⑧y=|sinx|-|cosx|：首先画出函数y=|sinx|和y=-|cosx|的图象。
y=|sinx|
y=-|cosx|
然后将两个图象放到一个坐标系中，
从整个图象上可以看出，从（0，π）开始以π为周期进行变化。
而在（0，π）中，从变化趋势又可以看出在x=0、■、π处为最特殊；即，函数y=|sinx|-|cosx|的最小正周期为π，根据函数图象所体现出来的单调性，可以看出最小值一定出现在x=0处，最大值出现在x=■处。
将x=0、■分别代入函数y=|sinx| +|cosx|中，有最小值为0，最大值为1。