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学点一 直线的点斜式方程 求倾斜角为直线y= - 3 x+1的倾斜角的一半且分别满 足下列条件的直线方程: (1)经过点(-4,1); (2)在y轴上的截距为-10.
【分析】通过已知直线的斜率求出所求直线的斜率， 再分别由直线的点斜式方程和斜截式方程求解.
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【解析】直线y= - 3x+1的斜率为 3,可知此直线的 倾斜角为120°,由题意知所求直线的倾斜角为60°,故 所求直线的斜率k= 3 . (1)由于直线过(-4,1),由直线的点斜式方程得 y-1= 3(x+4)，即 3x-y+1+4 3=0. (2)由于直线在y轴上的截距为-10,所以由直线的斜截 式方程得y= 3x-10,即 3 x-y-10=0.
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4.利用待定系数法求直线方程时,要能根据题中所给
已知条件选用最恰当的形式,并能根据问题的需要灵
活准确地进行互化.在研究无特殊限制的直线情况时,
常将直线化为一般形式,而当研究直线的斜率与倾斜
角时,又以直线的斜截式最为方便,也常将直线方程
的一般式化为斜截式:当B≠0时,直线方程为
y=- A x- C , 其中- A为直线的斜率,- C为直线在y
m2 -2m-3 (2)当斜率为-1时,有 - m2 -2m-3 1 ,但要注意
2m 2 m-1 2m2+m-1≠0.
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【解析】(1)由题意可得
m2-2m-3≠0 ① 2m-6 3 ②
m 2 -2m -3
由②解得m=3或m= 5 .
3
分别代入①检验可知m= 5 .
3
(2)由题意可得
2m2+m-1≠0 ③
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三角形的三个顶点分别是A(-5,0),B(3,-3),C(0,2), 如图2-4-1所示,求这个三角形三边所在直线的方程.
AB边所在直线的方程,由两点式 得 y-0 x-(-5 ) 即3x+8y+15=0;
-3-0 3-(-5 )
BC边所在直线的方程,由斜截式
得 y 2-(-3 ) x 2 ,即
∴直线方程为 x y 1或 x y 1 .
93
-4 16
即x+3y-9=0或4x-y+16=0.
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学点四 直线的一般式方程 设直线l的方程为(m2-2m-3)x+(2m2+m-1)y=2m-6,根据下 列条件分别确定m的值.
(1)l在x轴上的截距是-3;
(2)l的斜率是-1.
【分析】(1)要使直线在x轴上的截距为-3,令y=0, 得 x 2m-6 3 ,但要注意m2-2m-3≠0.
(1)当直线l过原点时,该直线l在x轴和y轴上的截距都为零, 当然相等,此时a=2,方程为3x+y=0. 若a≠2,由l在两坐标轴上的截距相等有 a-2 a-2 ,
a 1 即a+1=1,∴a=0,l的方程为x+y+2=0. 综上可知l的方程为3x+y=0或x+y+2=0.
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(2)将l的方程化为y=-(a+1)x+a-2,
(3)与x,y轴都相交; (4)过原点.
【分析】把直线的几何条件,借助图形转化为直线的 斜率、截距等条件,从而转化为A,B,C满足的条件.
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【解析】(1)∵与x轴垂直的直线方程为x=a,即x-a=0. 它缺少关于y的一次项,∴B=0. 故当B=0且A≠0时,直线Ax+By+C=0与x轴垂直. (2)类似于(1)可知当A=0,但B≠0时,直线Ax+By+C=0与y 轴垂直. (3)要使直线与x,y轴都相交,则它与两轴都不垂直,由 (1)(2)知当A≠0且B≠0,即A·B≠0时,直线Ax+By+C=0与 x轴,y轴都相交. (4)将x=0,y=0代入Ax+By+C=0得C=0, 故当C=0时,直线Ax+By+C=0过原点.
方程为 y - 1 x - 2 , 即 y - 1 - 3 .
-2-1 6-2
x-2 4
∴直线的点斜式方程为y-1= 3(x-2).
直线的截距式方程为
x 10
y4 5
1
.ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
直线的斜截式方程为y=
3
3
x+2
5
.
4
2
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【评析】①给出两点坐标求直线方程时,应先观察是 否有y1≠y2或x1≠x2,否则直线的方程应直接写出.②一 条直线的方程可以有多种表达形式,但在坐标系中画 出的图形应为一条直线,因此，要注意掌握多种形式 之间的关系.
0-3
5x+3y-6=0;AC边所在直线的方程,
由截距式得,即 x y 1
-5 2
2x-5y+10=0.
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学点三 直线的截距式方程 已知直线l经过点(3,-2),且在两坐标轴上的截距相等,求 直线l的方程.
【分析】直线l满足的两个几何条件是:(1)过点(3,-2);(2) 在两坐标轴上的截距相等.若设a,b分别为l在两轴上的截 距,则有a=b,但要注意a=b=0时的情形.
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【评析】（1）截距不是距离,它可正可负,也可以 为0. （2）注意截距式方程的适用范围,否则易漏解.
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求经过点A(-3,4),且在两坐标轴上的截距之和等于12的 直线方程.
解法一:设直线方程为y-4=k(x+3)(k≠0),
当x=0时,y=3k+4;
当y=0时, x 4 -3 .
∵3k+4-
【解析】解法一:依题意,直线l的斜率存在且不为0,设其
斜率为k,则可得直线的方程为y+2=k(x-3).
令x=0,得y=-2-3k; 令y=0,得x= 2 +3.
由题意知-2-3k=3+ 2,
k
解得k=-1或k=-
2.
k
3
∴l的方程为y+2=-(x-3)或y+2=- 2 (x-3).
3
即为x+y-1=0或2x+3y=0.
由①②解得 k=4 b=16
②
k= 1 3
或 b=3.
∴直线方程为y=4x+16或y=-13x+3,
即4x-y+16=0或x+3y-9=0.
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解法三:设直线方程为 x y 1 ,
a 12-a
∵直线经过点A(-3,4),
∴ -3 4 1.
a 12-a
整理得a2-5a-36=0,
∴a=9或a=-4.
B
B
即直线Ax+By+C=0的斜率小于0,在y轴上截距大于0.
∴直线不通过第三象限.故应选C.)
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1.如何理解直线的点斜式方程?
直线的点斜式方程是由直线的一个点和直线的斜率 通过斜率公式导出的,由 k y-y1 化成y-y1=k(x-x1), 前者表示除去一点的直线,而x后-x1者表示整条直线.当 直线的斜率不存在时不能用点斜式求它的方程,这时 直线平行于y轴或者与y轴重合,直线的方程可以写成 x=x1,在点斜式方程y-y1=k(x-x1)中,如果x1=0且y1=b, 它可改写成y=kx+b,其中b为该直线在y轴上的截 距,k≠0，这就是一次函数的表达式,该种形式的方 程称为直线的斜截式方程.
m 2 -2m-3 -
1
④
2m 2 m-1
由④解得m=-1或m=-2.
分别代入③检验得m=-2.
【评析】 一般式化为特殊式是在一定的条件下进行, 若忽视了该条件,则易出现失误,导致题目解错.
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设直线l的方程为(a+1)x+y+2-a=0(a∈R). (1)若l在两坐标轴上的截距相等,求l的方程; (2)若l不经过第二象限,求实数a的取值范围.
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(3)由于直线经过点P(3,4)且与x轴垂直,所以 直线方程为x=3.如图丙所示.
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学点二 直线的两点式方程 求经过A(2,1)与B(6,-2)两点的直线的两点式方 程,并把它们化为点斜式、截距式、斜截式.
【分析】利用直线的两点式方程求解.
【解析】∵直线过点A(2,1),B(6,-2),∴直线的两点式
【评析】将直线的方程求出后,为了统一答案的形式,如 果没有特别要求,都将直线的方程化为Ax+By+C=0的形式.
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分别求出经过点P(3,4)且满足下列条件的 直线方程, 并画出图形: (1)斜率k=2; (2)与x轴平行; (3)与x轴垂直.
(1)这条直线经过点P(3,4),斜率k=2,所以直线的点斜式方 程为y-4=2(x-3),即2x-y-2=0.如图甲所示. (2)由于直线经过点P(3,4)且与x轴平行,所以直线方程为 y=4.如图乙所示.
线与x轴相交于点(a,0),与y轴相交于点(0,b)时, 直线的两点式方程变为 x y 1 ,称该种形式的
ab
方程为直线的截距式方程.
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1.直线方程概念的理解应注意两个方面: (1)以方程的每一组解为坐标的点都在直线上. (2)直线上的任一点的坐标都满足关于x,y的二元一次 方程. 2.截距不是距离更不是长度,是直线与坐标轴交点处 的横(或纵)坐标,可以是正值、负值,也可以是零. 3.涉及用斜率求直线方程的问题时,应时刻注意斜率 不存在的情况,避免漏解.
y1≠y2),则直线l的方程为
y-y1 x-x1 y2-y1 x2-x1
,该方程叫做l
的 两点式 方程.
4.设直线l在x轴上的截距为a(a≠0),在y轴上的截距为
b(b≠0),则直线l的方程为
x y 1 ab
,该方程叫做
l的 截距式 方程.
5.直线的一般式方程为 Ax+By+C=0(A2+B2≠0) .