1 2 1 2 kx1 + mx2 2 2
⎡x ⎤ x= ⎢ 1⎥ ≠0 ⎣ x2 ⎦ ⎡x ⎤ x= ⎢ 1⎥ =0 ⎣ x2 ⎦
V (x ) > 0 V (x ) = 0
前页
3
例：机械位移系统
& x (t ), x (t )
μ
m
& ⎡ x1 ⎤ ⎡ x ⎤ ⎧ x1 = x2 ⎪ x=⎢ ⎥ =⎢ ⎥ ⎨ k μ & & ⎣ x2 ⎦ ⎣ x ⎦ ⎪ x2 = − x1 − x2 m m ⎩
在零平衡状态 xe=0 的邻域内
5,
x ≠ 0,
V (x ) > 0 V (x ) = 0 V (x ) < 0
⇒ V (x ) 不定
前页
10
5
例：已知 x = [x1 x2 x3 ]，确定标量函数的定号性
T
2 2 (1) V (x ) = x14 + 2 x2 + x3
解： x = 0, V (x ) = 0
下页
2 返回
1
例：机械位移系统
& x (t ), x (t )
μ
m
& m&& = −kx − μx x
1 选取 x = ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ & ⎣ x2 ⎦ ⎣ x ⎦
返回
⎡x ⎤
⎡ x⎤
k
& ⎧ x1 = x2 ⎪ 状态方程 ⎨ k μ & ⎪ x2 = − m x1 − m x2 ⎩
系统能量
V (x ) =
⇔ λp < 0 ⇔ λp ≤ 0
17
例：确定下列二次型的定号性。
2 2 V (x ) = x12 + 2 x2 − x3
解： V (x ) = [x1 x2
判别方法二
⎡ 1 0 0 ⎤ ⎡ x1 ⎤ x3 ]⎢ 0 2 0 ⎥ ⎢ x2 ⎥ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎢ 0 0 − 1⎥ ⎢ x3 ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦
24
返回
12
例：机械位移系统
& x (t ), x (t )
μ
m
& m&& = − kx − μx x
1 选取 x = ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ & ⎣ x2 ⎦ ⎣ x ⎦
返回
⎡x ⎤
⎡ x⎤
k
& ⎧ x1 = x2 ⎪ 状态方程 ⎨ k μ & ⎪ x2 = − m x1 − m x2 ⎩
系统能量
V (x ) =
P = PT
⎡0.5k x2 ]⎢ ⎣ ⎤ ⎡ x1 ⎤ 0.5m⎥ ⎢ x2 ⎥13 ⎦ ⎣ ⎦标量
函数
1 2 1 2 kx1 + mx2 = [x1 2 2
二次型定号性的判别方法
二次型 V(x)= xTPx 正定
⇔ ⇔
矩阵P正定 P的各阶顺序主子式>0
p11 L M O pn1 L p1n M >0 pnn
x e 渐近稳定！
首页
5
V (x ) =
1 2 1 2 kx1 + mx2 2 2
2 & V (x ) = − μx2
6
3
李雅普诺夫第二法的基本思想
求出系统的能量函数（李雅普诺夫函数）V(x, t) —— 标量函数。
& 能量衰减特性用 V (x, t ) 表示。
依据系统的运动方程（状态方程）考察能量函数 在运动过程中的变化规律。
& 2, V (x ) 负定
3, x → ∞, V (x ) → ∞ 则系统原点平衡状态为大范围（一致）渐近稳定。 前页
22
返回
11
定理3
& （线性/非线性）定常系统 x = f (x ), t ≥ 0 其中 f (0 ) = 0
如果存在具有连续一阶导数的标量函数 V (x ), V (0) = 0 1, V (x ) 正定
2 (2) V (x ) = x12 + x3
x ≠ 0, V (x ) > 0
⇒ V (x ) 正定
解： x = 0, V (x ) = 0
x1 = 0,x2 ≠ 0, x3 = 0 , V (x ) = 0
其余 V (x ) > 0
∴ x = 0, V (x ) = 0 x ≠ 0, V (x ) ≥ 0
& & & V (x ) = kx1 x1 + mx2 x2
能量不断衰减 V (x ) → 0
⎡ x ⎤ ⎡0 ⎤ x= ⎢ 1⎥→⎢ ⎥ ⎣ x2 ⎦ ⎣0 ⎦
μ ⎞ ⎛ k = kx1 x2 + mx2 ⎜ − x1 − x2 ⎟ m ⎠ ⎝ m 2 & = − μx2 x2 ≠ 0 V (x ) < 0
返回
系统能量
V (x ) =
k
1 2 1 2 kx1 + mx2 2 2
正定
2 & & & V (x ) = kx1 x1 + mx2 x2 = − μx2 = [x1
⎡0 0 ⎤ ⎡ x1 ⎤ x2 ]⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ 0 − μ ⎦ ⎣ x2 ⎦
8 返回
4
一、标量函数V(x, t) 定号性
在零平衡状态 xe=0 的邻域内 3,
x ≠ 0, V (x ) ≥ 0 x = 0, V (x ) = 0
⇒ V (x ) 正半定
4,
x ≠ 0, V (x ) ≤ 0 x = 0, V (x ) = 0
⇒ V (x ) 负半定
前页 返回
9
一、标量函数V(x, t) 定号性
正定
1 2 1 2 kx1 + mx2 = [x1 2 2
⎡1 ⎢2 k x2 ]⎢ ⎢ 0 ⎣
⎤ 0 ⎥⎡ x ⎤ 1 ⎥⎢ ⎥ 1 ⎣ x2 ⎦ m⎥ 2 ⎦
25
例：机械位移系统
& x (t ), x (t )
μ
m
& ⎧ x1 = x2 ⎪ ⎨ k μ & ⎪ x2 = − m x1 − m x2 ⎩
V (x ), V (0 ) = 0 在 x ≠ 0 时满足：
1, V (x ) 正定
& 2, V (x ) 负半定 & 3, ∀x ∈ X , V (x ) ≡ 0
能量不变！
定理3
4, x → ∞, V (x ) → ∞
则系统原点平衡状态为李雅普诺夫意义下的稳定。 系统保持稳定的等幅振荡，非渐近稳定！
第六章 李雅普诺夫稳定性分析
§1 李雅普诺夫意义下的稳定性 §2 李雅普诺夫第一法(间接法) §3 李雅普诺夫第二法(直接法) §4 应用李雅普诺夫方法分析线性 定常系统的稳定性
1
不必求解微分方程，直接判断系统稳定性。 系统运动需要能量。在非零初始状态作用下的
运动过程中，若能量随时间衰减以至最终消失，则 系统迟早会达到平衡状态，即系统 渐近稳定！ 反之，系统则不稳定！若能量在运动过程中不减不 增，则为李雅普诺夫意义下的稳定。
⇒ V (x ) 正半定
11
(3) V (x ) = − x12 − ( x1 + 2 x2 + x3 )
2
解： x = 0, V (x ) = 0
x1 = 0, x3 = −2 x2 ≠ 0 , V (x ) = 0
其余 V (x ) < 0
2 2 (4) V (x ) = x12 + 2 x2 − x3
∴ x = 0, V (x ) = 0 x ≠ 0, V (x ) ≤ 0
⇒ V (x ) 负半定
2 2 解： x12 + 2 x2 > x3
V (x ) > 0
V (x ) < 0
x + 2x < x
2 1 2 2
⇒ V (x ) 不定
12
2 3
6
T 二、二次型V(x)= xTPx 定号性
二次型：各项均为自变量的二次单项式的标量函数
P的各阶顺序主子式>0
⇒ V (x ) 正定
19
例：确定下列二次型为正定时，待定常数的取 值范围。
V (x ) = a1 x1 + b1 x2 + c1 x3 + 2 x1 x2 − 4 x3 x2 − 2 xx1 x2
⎡ a1 1 − 1⎤ ⎡ x1 ⎤ x3 ]⎢ 1 b1 − 2⎥ ⎢ x2 ⎥ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎢− 1 − 2 c1 ⎥ ⎢ x3 ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦
2 2
2
例：机械位移系统
& x (t ), x (t )
μ
m
& ⎡ x1 ⎤ ⎡ x ⎤ ⎧ x1 = x2 ⎪ x=⎢ ⎥ =⎢ ⎥ ⎨ k μ & & ⎣ x2 ⎦ ⎣ x ⎦ ⎪ x2 = − x1 − x2 m m ⎩
k
系统能量 V (x ) =
1 2 1 2 kx1 + mx2 2 2
能量随时间变化率
& 利用 V (x, t ) 和 V (x, t ) 的符号特征，判断平衡状态
稳定性。
7
一、标量函数V(x, t) 定号性
在零平衡状态 xe=0 的邻域内 1,
x ≠ 0, V (x ) > 0 x = 0, V (x ) = 0
⇒ V (x ) 正定 ⇒ V (x ) 负定
2,
x ≠ 0, V (x ) < 0 x = 0, V (x ) = 0
15 返回
二次型定号性的判别方法
二次型 V(x)= xTPx 正半定
⇔
矩阵P正半定
⇔ P的各阶顺序主子式 ≥0