以 xe 为球心，任意规定的半径为ε 的闭球域 S(ε)
c内，即 x(t; x0 , tt )− xe ≤ ε t ≥ t0
y 则称系统的平衡状态 xe 在李雅普诺夫意义下稳定。 tc稳定前页
返回
10
几何意义：
任给一个球域 S(ε)，若存在一个球域 S(δ)，使
得当 t →∞ 时，从 S(δ)出发的轨迹不离开 S(ε)，则
态，则稳定。偏差渐大，不能恢复到原来平衡状
y 态，则不稳定。 tc 系统在初始偏差作用下，过渡过程的收敛性！
2
经典控制理论 对稳定性描述的局限性
e (1) 局限于描述线性定常系统；
(2) 局限于研究系统的外部稳定性。
ca稳定性判据
劳斯 (Routh) 判据；
y 奈氏 (Nyquist) 判据； tc 前页
三、系统的内部稳定性
e （系统状态的稳定性——李亚普诺夫稳定性） a1. 基本概念 c2. 李雅普诺夫稳定性定义
3. 稳定的范围
tcy 4. 内部稳定与外部稳定的关系 返回
4
1. 基本概念
设系统方程为： x& = f (x,t)
不受外力
e n 维状态向量
n 维向量函数
ca 展开式为： x&i = fi(x1,x2,L, xn,t)
e 称系统的平衡状态是李雅普诺夫意义下稳定的。
a初始状态有界，随时
x2
c间推移，状态向量距平衡
S(δ )
点的距离可以维持在一个
y 确定的数值内，而到达不
x0 xe
x1
了平衡点。
tc n=2 圆
n=3 球
S(ε )
前页
返回
几何意义：
任给一个球域 S(ε)，若存在一个球域 S(δ)，使
得当 t →∞ 时，从 S(δ)出发的轨迹不离开 S(ε)，则
解： MLθ&&+ Mg sinθ = 0
e选取 x1 = θ, x2 = θ&
cax2
状态方程
⎪⎧ x&1 = x2
⎨ ⎪⎩
x&
2
=
−
g L
sin
x1
平衡状态：
tcy K xe xe xe xe xe Kx1
xe
=
⎡nπ ⎤
⎢⎣0
⎥ ⎦
(n
=
0, ± 1, ±
2,L)
7
平衡状态的稳定性：
系统在平衡状态邻域的局部的（小范围的）
ca 几何意义：
初始状态有界，随
y 时间推移，状态向量距 tc 平衡点越来越远。
x2
S(ε )
S(δ )
x0 xe
x1
稳定
渐稳
15
如果对于某个实数 ε > 0 和任一个实数 δ > 0，
不管这两个实数有多么小，在 S(δ) 内总存在着一
e 个状态 x0 ，由这一状态出发的轨迹超出 S(ε) ，则
称此平衡状态是不稳定的。
e 称系统的平衡状态是李雅普诺夫意义下稳定的。
a x2
若δ 与初始时刻t0 无
c关，则称系统的平衡状态
S(δ )
xe 是一致稳定的。
x0 xe
x1
y 时变系统 δ 与t0 有关 tc 定常系统 δ 与t0无关
S(ε )
前页
返回
11
几何意义：
任给一个球域 S(ε)，若存在一个球域 S(δ)，使 得当 t →∞ 时，从 S(δ)出发的轨迹不离开 S(ε)，则
方程的解为： x(t; x0,t0 )
i = 1,2,L, n
y 初始状态向量
初始时刻
tc ⇒ x(t0; x0,t0)= x0
x& = f (x,t)
平衡状态：各分量相对于时间不再发生变化。
ex& e = f (xe,t) = 0 a所有状态的变化速度为零，即是静止状态
c线性定常系统： x& = Ax
平衡状态 x& e = Axe = 0
y A ≠ 0 ⇒ xe = 0 一个平衡状态—状态空间原点
tc A =0
无穷多个平衡状态
5
例：机械位移系统
x(t), x&(t)
eμ
m
ak c x2
m&x& = −kx − μx&
返回
选取
x
=
⎡ x1
⎢ ⎣
x2
⎤ ⎥ ⎦
=
⎡x⎤ ⎢⎣ x& ⎥⎦
状态方程
⎪⎧x&1 = x2
a x2 c S(ε)
S(δ )
x0 xe
x1
y稳定
tc 渐稳
前页 返回
cae tcy 例：⎩⎨⎧xx&&12
= =
x1 x2
平衡状态
xe
=
⎡0⎤ ⎢⎣0⎥⎦
前页 返回
16
3. 稳定的范围 渐近稳定
当初始条件扩展到整个状态空间，且平衡状态
e 均具有渐近稳定性时，称此平衡状态是大范围（全
局）渐近稳定的。
无差别
渐近稳定
收敛至 平衡状态
y 一致稳定
对定常系统
tc 与初始时刻
无差别
李雅普诺夫稳定 （稳定）
无关
前页 返回
cae 渐近稳定 tcy 小球
李雅普诺夫 意义下稳定
/ 稳定
1
第六章 李雅普诺夫稳定性分析
e §1 李雅普诺夫意义下的稳定性 a§2 李雅普诺夫第一法(间接法) c§3 李雅普诺夫第二法(直接法) y §4 应用李雅普诺夫方法分析线性 tc 定常系统的稳定性
一、概述
稳定性是系统性能研究的首要问题
e 控制系统的重要性质! 正常工作的首要条件! a 控制系统原处于平衡状态。受到扰动，产生偏差。 c扰动消失以后，偏差渐小，能恢复到原来平衡状
现代控制理论提纲
线性连续系统
e 线性离散系统 a可控性 c可观性 tcy 稳定性
建立
建建模模
状态空间 表达式
求解
转换
分分析析
状态反馈
设设计计 状态观测器
最优控制
返回
第六章 李雅普诺夫稳定性分析
e §1 李雅普诺夫意义下的稳定性 a§2 李雅普诺夫第一法(间接法) c§3 李雅普诺夫第二法(直接法) y §4 应用李雅普诺夫方法分析线性 tc 定常系统的稳定性
tcy稳定
前页 返回
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例：⎩⎨⎧xx&&12
= =
x2 −x1
−
x2
cae tcy 平衡状态
xe
=
⎡0⎤ ⎢⎣0⎥⎦
前页 返回
如果对于某个实数 ε > 0 和任一个实数 δ > 0，
不管这两个实数有多么小，在 S(δ) 内总存在着一
e 个状态 x0 ，由这一状态出发的轨迹超出 S(ε) ，则
称此平衡状态是不稳定的。
x2
S(ε )
S(δ )
x0
x1
点可以无限接近，直至到
y 达平衡点后停止运动。 稳定
tc 与经典控制理论中稳定性的定义相同！ 前页
返回
几何意义：
当 t →∞ 时，从 S(δ)出发的轨迹不仅不超出
e S(ε)，而且最终收敛于xe ，则称系统的平衡状态是
a 渐近稳定的。
x2
S(ε )
c S(δ)
x0
x1
x(t;
x0
,
tt
)
−
xe
=0
稳定
则称此平衡状态是渐近稳定的。
y 若δ 与初始时刻t0 无关，则称系统的平衡状态xe
tc 是一致渐近稳定的。
前页
返回
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几何意义：
当 t →∞ 时，从 S(δ)出发的轨迹不仅不超出
e S(ε)，而且最终收敛于xe ，则称系统的平衡状态是
渐近稳定的。
a初始状态有界，随时 c间推移，状态向量距平衡
cn = 2 x − xe = (x1 − x1e )2 + (x2 ) − x2e 2 = c 表示状态空间中，以xe为圆心，半径为c的圆
y n = 3 x − xe = (x1 − x1e )2 + (x2 ) − x2e 2 + (x3 ) − x3e 2 = c
tc 表示状态空间中，以xe为圆心，半径为c的球
e选取 x1 = θ, x2 = θ&
ca 状态方程
⎪⎧ x&1 = x2
⎨ ⎪⎩
x&
2
=
−
g L
sin
x1
y 平衡状态：x&
=
0
⇒
⎪⎧ x2 = 0
⎪⎩⎨−
g l
sin
x1
=
0
tc ⇒
⎩⎨⎧sxi2ne
=0 x1e =
0
⇒
xe
=
⎡nπ ⎤
⎢⎣0
⎥ ⎦
(n
=
0, ± 1, ±
2,L)
例：分析单摆(Pendulum)平衡状态的稳定性。
a 几何意义：
δ → ∞ S(δ ) → ∞
c当 t →∞ 时，从状态空间任
意一点出发的轨迹都收敛于xe 。
y 初始状态在整个状态空间时，
x2
x0
xe x0x1tc 系Fra bibliotek状态都渐近稳定。
3. 稳定的范围 渐近稳定
当初始条件扩展到整个状态空间，且平衡状态
e 均具有渐近稳定性时，称此平衡状态是大范围（全
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例：机械位移系统
x(t), x&(t)