数字信号处理第0章绪论1.数字信号处理是利用计算机或专用处理设备，以数字形式对信号进行采集、变换、滤波、估值、增强、压缩、识别等处理，以得到符合人们需要的信号形式。

2.DSP系统构成输入抗混叠滤波A/DDSP芯片D/A平滑滤波输出输入信号首先进行带限滤波和抽样，然后进行A/D（Analog to Digital）变换将信号变换成数字比特流。

根据奈奎斯特抽样定理，为保证信息不丢失，抽样频率至少必须是输入带限信号最高频率的2倍。

DSP芯片的输入是A/D变换后得到的以抽样形式表示的数字信号。

3.信号的形式（1）连续信号在连续的时间范围内有定义的信号。

连续--时间连续。

（2）离散信号在一些离散的瞬间才有定义的信号。

离散--时间离散。

4.数字信号处理主要包括如下几个部分（1）离散时间信号与系统的基本理论、信号的频谱分析（2）离散傅立叶变换、快速傅立叶变换（3）数字滤波器的设计第一章离散时间信号一、典型离散信号定义1.离散时间信号与数字信号时间为离散变量的信号称作离散时间信号；而时间和幅值都离散化的信号称作为数字信号。

2.序列离散时间信号－时间上不连续上的一个序列。

通常定义为一个序列值的集合{x(n)}，n 为整型数，x(n)表示序列中第n 个样值，{·}表示全部样本值的集合。

离散时间信号可以是通过采样得到的采样序列x(n)=x a (nT)，也可以不是采样信号得到。

二．常用离散信号1.单位抽样序列（也称单位冲激序列）)(n δ⎩⎨⎧≠==0,00,1)(n n n δδ(n):在n=0时取值为12.单位阶跃序列)(n u ,⎩⎨⎧<≥=0,00,1)(n n n u 3.矩形序列，⎩⎨⎧=-≤≤=其它n N n n R N ,010,1)(4.实指数序列,)()(n u a n x n =，a 为实数5.正弦型序列)sin()(φω+=n A n x 式中，ω为数字域频率，单位为弧度。

15On 1-10()0sin nω()t 0sin Ω16.复指数序列nj e n x )(0)(ωσ+=7.周期序列如果对所有n 存在一个最小的正整数N ，使下面等式成立：)()(N n x n x +=，则称x(n)为周期序列，最小周期为N 。

三．序列的运算（一）基本运算离散时间信号（即序列）的基本运算包括移位、反折、求积、乘积、差分运算和尺度变换，下面分别介绍。

1．序列的移位设某一序列为()x n ，若0m >，则()x n m -表示序列()x n 整体右移了m 个样点形成的新序列，也称()x n m -是()x n 的m 个样点的延迟。

此时()x n m +表示序列()x n 整体左移了m 个样点形成的新序列，也称()x n m +是()x n 的m 个样点的超前。

例如，()x n 如图（a ）所示，则(2)x n -和(2)x n +分别如图（b ）和图（c ）所示。

序列的移位2．序列的反折设某一序列为()x n ，则()x n -是以0n =为对称轴将序列()x n 水平翻转，()x n -称为序列()x n 的反折。

若()x n 如图（a ）所示，则()x n -如图（b ）所示。

序列的反折3．序列的求和()x n 与()y n 两个序列之和是指两个序列同序号（即n 相同）的序列值逐项对就相加构成一个新的序列()z n ，表示为()()()z n x n y n =+【例1】已知1(),1()20,1n n x n n ⎧≥-⎪=⎨⎪<-⎩，1(),0()21,0n n y n n n ⎧≥⎪=⎨⎪+<⎩，求()()x n y n +解：根据序列求和定义，得11(),02()()()2,11,1n n z n x n y n n n n -⎧≥⎪⎪=+=⎨ =-⎪⎪+<-⎩()x n 、()y n 和()()x n y n +的图形分别如图（a ）、（b ）和（c ）所示。

序列的求和4．序列的乘积()x n 与()y n 两个序列的乘积是指两个序列同序号（即n 相同）的序列值逐项对就相乘构成一个新的序列()z n ，表示为()()()z n x n y n =⋅【例2】已知1(),1()20,1n n x n n ⎧≥-⎪=⎨⎪<-⎩，1(),0()21,0n n y n n n ⎧≥⎪=⎨⎪+<⎩求()x n 与()y n 的乘积()()x n y n ⋅。

解：根据序列乘积的定义可得1(),0()()()40,0n n z n x n y n n ⎧≥⎪=⋅=⎨⎪<⎩另外，序列还可以与标量α相乘，定义为()()y n x n α=⋅序列()x n 与标量α相乘相当于()()y n x n α=⋅中每一个样值是相同序号（即n 相同）的()x n 样值的α倍。

5.尺度变换（1）抽取序列)(mn x 是)(n x 序列每隔m 点取一点形成的，相当于时间轴n 压缩了m 倍。

（2）插值序列⎪⎭⎫ ⎝⎛m n x 是)(n x 序列相邻抽样点间补（m －1)个零值点，表示零值插值。

（二）其它计算1.累加（等效积分）∑-∞==nk k x n y )()(2.差分运算（1）前向差分)()1()(n x n x n x -+=∆（2）后向差分)1()()(--=∇n x n x n x3.卷积∑∞-∞=-=*=m m n h m x n h n x n y )()()()()(设x(n)和h(n)两序列的长度分别是N 和M ，线性卷积后的序列长度为(N +M -1)。

四．时域离散系统1.线性系统：满足叠加原理的系统。

判定公式：则：例：)792sin()()(ππ+=n n x n y 是线性系统。

证：)792sin()()(11ππ+=n n x n y )792sin()()(22ππ+=n n x n y )792sin()]()([)]()([22112211ππ++=+n n x a n x a n x a n x a T )792sin()]()([)()(22112211ππ++=+n n x a n x a n y a n y a 由上式得：)()()]()([22112211n y a n y a n x a n x a T +=+2.时不变系统（移不变系统）：判定公式：若[()]()T x n Y n =，则[()]()T x n k Y n k -=-例：bn ax n y +=)()(证：bn n ax n n x T +-=-)()]([00bn n ax n n x T +-=-)()]([00bn n ax n n y +-=-)()(00由上式得：)]([)(00n n x T n n y -=-3.线性移不变系统设系统的输入序列为x(n)，它可以表示为单位取样序列的移位加权和，即:()()()m x n x m n m δ+∞=-∞=-∑那么，系统对应的输出为：()()()()[]m y n T x n T x m n m δ+∞=-∞⎡⎤==-⎢⎥⎣⎦∑如果该系统是一线性移不变系统，根据其线性则有：()()()()()m m y n T x m n m x m T n m δδ+∞+∞=-∞=-∞=-=-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦∑∑又根据移不变性和h(n)定义，则有：冲激响应：()[()]h n m T n m δ-=-所以此时系统输出为：()()*()y n x n h n =，()()()Y j X j H j ωωω=，()()()Y z X z H z =4.稳定系统：有界的输入产生的输出也有界的系统，即：若|()|x n <∞，则|()|y n <∞线性移不变系统是稳定系统的充要条件：|()|n h n ∞=-∞<∞∑5.因果系统：0n 时刻的输出0()y n 只由0n 时刻之前的输入0(),x n n n ≤决定线性移不变系统是因果系统的充要条件：()0,0h n n =<（1）对于连续时间系统：t=t1的输出y(t1)只取决于t≤t1的输入x(t≤t1)时，则此系统为因果系统，（2）对于离散时间系统：n=n1的输出y(n1)只取决于n≤n1的输入x(n≤n1)时，则此系统为因果系统，例：（1）y(t)=x(sin(t))不是因果系统，因为y(-π)=x(0),表明y(t)在一段时间内可能取决于未来的x(t)。

（2）y （t ）=x （t ）cos （t+1)是因果系统，cos （t+1)是时变函数，相当于一个已知的函数波形，所以x （t ）的当前值影响了y （t ）的当前值。

6.稳定因果系统：同时满足上述两个条件的系统。

线性移不变系统是因果稳定系统的充要条件：|()|n h n ∞=-∞<∞∑，()0,0h n n =<或：H(z)的极点在单位园内H(z)的收敛域满足：||,1x x z R R --><第二章采样定理连续时间信号的处理往往是通过对其采样得到的离散时间序列的处理来完成的。

1.实际抽样与理想抽样x a (t )ot(a )(b )x a (t ))(ˆa t xTp (t )tttt(c )(e )(d )( f )s (t )x p (t ))(ˆa t xoo o o τT1T)()()(ˆt s t x t xa a ⋅=)()()(ˆnT t nT x t xa n a -=∑∞-∞=δ2.理想采样信号的频谱)()()(ˆt s t x t xa a ⋅=dte t s j S dte t x j X t j t j a a Ω-∞∞-Ω-∞∞-⎰⎰=Ω=Ω)()()()()()(21)(ˆΩ*Ω=Ωj S j X j X aa π∑∞-∞=-Ω=Ωk a aTjkj X Tj X )2(1)(ˆπΩ c －Ω cX a (j Ω )P (j Ω )－Ω sΩ sΩΩX a (j Ω )ΩX a (j Ω )ΩΩ c Ω s（ a ）（ b ）（ c ）（ d ）＾＾2sΩ0－Ω s Ω s－Ω sδ2s Ω2s Ω由上图可知：当Ωs ≥2Ωc 时，采样信号的频谱不产生重叠，通过理想滤波器，信号可以无失真地复现出来，这种情况称过采样；如果Ωs <2Ωc ，采样信号的频谱出现重叠，信号产生失真，称不足采样，这种频谱的重叠称混淆。

3.抽样的恢复⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧Ω≥ΩΩ<Ω=Ω2||02||)(ssT j G0X a (j Ω )Ω＾G (j Ω )x a (t )y a (t )G (j Ω )Ω－π/ Tπ/ T 0X a (j Ω )Ω（ a ）（ b ）（ c ）（ d ）＾4.奈奎斯特取样定理(1)对连续信号进行等间隔采样形成采样信号，采样信号的频谱是原连续信号的频谱以采样频率为周期进行周期性的延拓形成的。