《数字信号处理》辅导一、离散时间信号和系统的时域分析 （一） 离散时间信号（1）基本概念信号：信号传递信息的函数也是独立变量的函数，这个变量可以是时间、空间位置等。

连续信号：在某个时间区间，除有限间断点外所有瞬时均有确定值。

模拟信号：是连续信号的特例。

时间和幅度均连续。

离散信号：时间上不连续，幅度连续。

常见离散信号——序列。

数字信号：幅度量化，时间和幅度均不连续。

（2）基本序列（课本第7——10页）1）单位脉冲序列 1,0()0,0n n n δ=⎧=⎨≠⎩ 2）单位阶跃序列 1,0()0,0n u n n ≥⎧=⎨≤⎩3）矩形序列 1,01()0,0,N n N R n n n N ≤≤-⎧=⎨<≥⎩ 4）实指数序列 ()n a u n5）正弦序列 0()sin()x n A n ωθ=+ 6）复指数序列 ()j n n x n e e ωσ= （3）周期序列1）定义：对于序列()x n ，若存在正整数N 使()(),x n x n N n =+-∞<<∞ 则称()x n 为周期序列，记为()x n ，N 为其周期。

注意正弦周期序列周期性的判定（课本第10页）2）周期序列的表示方法： a.主值区间表示法 b.模N 表示法 3）周期延拓设()x n 为N 点非周期序列，以周期序列L 对作()x n 无限次移位相加，即可得到周期序列()x n ，即()()i x n x n iL ∞=-∞=-∑当L N ≥时，()()()N x n x n R n = 当L N <时，()()()N x n x n R n ≠（4）序列的分解序列共轭对称分解定理：对于任意给定的整数M ，任何序列()x n 都可以分解成关于/2c M =共轭对称的序列()e x n 和共轭反对称的序列()o x n 之和，即()()(),e o x n x n x n n =+-∞<<∞并且1()[()()]2e x n x n x M n *=+- 1()[()()]2o x n x n x M n *=--（4）序列的运算 1）基本运算2）线性卷积：将序列()x n 以y 轴为中心做翻转，然后做m 点移位，最后与()x n 对应点相乘求和——翻转、移位、相乘、求和定义式： 1212()()()()()m y n x m x n m x n x n ∞=-∞=-=*∑线性卷积的计算：A 、图解 B 、解析法C 、不进位乘法（必须掌握）3）单位复指数序列求和（必须掌握）/2/2/2/2/2/21/2/2/2/2/2/2(1)/21()()/(2)1()()/(2)sin(/2)sin(/2)j N j N j N j N j N j N j N N j nj j j j j j j n j N e e e e e e e j ee e e e e e e j N e ωωωωωωωωωωωωωωωωωω------------=-----===---=∑如果2/k N ωπ=，那么根据洛比达法则有sin(/2)(0)(0)(()())sin(/2)N N k N N k N ωδδω===或可以结合作业题3.22进行练习（5）序列的功率和能量能量：2|()|n E x n ∞=-∞=∑功率：21lim |()|21NN n NP x n N →∞=-=+∑ （6）相关函数——与随机信号的定义运算相同（二） 离散时间系统1．系统性质 （1）线性性质定义：设系统的输入分别为1()x n 和2()x n ，输出分别为1()y n 和2()y n ，即1122()[()],()[()]y n T x n y n T x n ==统的输对于任意给定的常数a 、b ，下式成立1212()[()()]()()y n T ax n bx n a y n by n =+=+则该系统服从线性叠加原理，为线性系统，否则为非线性系统。

判定系统的线性性质时，直接用定义 （2）时不变性质统的如果系统对输入信号的运算关系在整个运算过程中不随时间变化，则称该系统是时不变系统。

即对任意给定的整数i ，若下式成立：()[()]y n i T x n i -=-则称该系统为时不变系统，否则为时变系统。

判定系统的时不变性质时，直接用定义 （3）系统的因果性定义：如果系统n 时刻的输出序列只取决于n 时刻及以前的输入序列，而与n 时刻以后的输入序列无关，则称该系统具有因果性质，即系统是因果系统，否则是非因果系统。

离散时间LTI 系统具有因果性的充要条件是：系统的单位脉冲响应()h n 满足()0,0h n n =<（4）系统的稳定性定义：对任意有界的输入，系统的输出都有界，则该系统是稳定的，否则是不稳定的。

离散时间LTI 系统具有因果性的充要条件是：系统的单位脉冲响应()h n 满足绝对可和，即|()|i h i ∞=-∞<∞∑（5）对离散时间LTI 系统的描述 （1）时域：差分方程 （2）Z 域：系统函数()H z 2．信号过系统()()()y n h n x n =*用线性卷积的相关知识计算，信号系统学的基本性质可以套用二、离散时间信号和系统的频域分析 （一） 离散时间信号1．序列傅里叶变换（Sequence Fourier Transform ）（即本书中的离散时间信号的傅里叶变换） （1）定义SFT ：()[()](),j j nn X e SFT x n x n eωωω∞-=-∞==-∞<<∞∑ISFT ：1()[()](),2j j j n x n ISFT X e X ee d n πωωωπωπ-==-∞<<∞⎰说明：1、物理意义：序列傅里叶变换本质上是序列的一种分解，它将一般序列分解为无穷多个数字角频率[,]ππ-中的复指数序列。

称()j X e ω为序列()x n 的频谱，其模|()|j X e ω称为幅频特性，其幅角arg[()]()j X e ωθω=称为相频特性。

2、尽管序列()x n 是离散时间信号，但它的序列傅里叶变换对数字角频率ω而言却是连续函数，因此，序列()x n 的傅里叶变换是连续的。

3、(2)(2)()()()j j nj n X ex n eX e ωπωπω∞+-+=-∞==∑由上式可知，序列傅里叶变换()j X e ω是以2π为周期的周期函数，其原因正是由于j n e ω对ω而言以2π为周期，即数字角频率相差2π的所有单位复指数序列等价。

因此，对ω-∞<<∞的所有单位复指数序列只有一个周期。

对于离散时间信号，由于的周期性，使得02ωπ=或的整数倍都表示信号的直流分量，而π的奇数倍表示信号的最高频率。

（2）性质 12[()][()]SFT x n b SFT x n + [()]SFT x n 0()()])j x n X e ωω-=)](),[()]())]Re[()],[()]Im[()]j j e I o j j o n X e SFT jx n X e X SFT x n j X e ωωωω====()][()][()]y n SFT x n SFT y n *=21||2d ππωπ-=⎰())()j Y e θωθ-()][]n x n j ω=（3）基本序列的傅里叶变换 ()πδω(1)/2sin(N ω-1)j ae ω---0()πδωω-00()()]δωωδωω-++00[()()]πδωωδωω--+1)()j e ωπδω---+2．Z 变换（不熟悉的复习信号系统相关内容，或本书2.3相关内容） （1）定义ZT ：()[()]()||nx x n X z ZT x n x n zR z R ∞--+=-∞===<<∑IZT ：11()[()]()||2n x x cx n IZT X z X z z dzR z R j π--+==<<⎰（2）性质——课本49页表2.3.3（3）收敛域与基本序列Z 变换——课本45页表2.3.1、表2.3.2 3. 离散时间信号Z 变换与SFT 的关系Z 变换是由SFT 推广得到的，反过来，如果某序列的Z 变换的收敛域包括j z e ω=，则也可以通过ZT 求得序列的SFT 。

即()|()()j j nj z e n X z x n eX e ωωω∞-==-∞==∑上式表明，SFT 正是序列的ZT 在j z e ω=的值（二） 离散时间系统1.系统函数的收敛域与系统因果性和稳定性当且仅当系统函数H(z)的收敛域为小于单位圆的某个圆的园外时，系统是因果稳定的。

2.系统函数的零极点分布与系统因果性和稳定性若系统是因果稳定的，则H(z)的极点必定在单位圆内。

3.系统函数的零极点分布对系统频率响应特性的影响1、对极点而言：当单位圆上的点转到某个极点附近时，|()|j H e ω在这附近出现峰值。

极点越靠近单位圆，振幅特性的峰值越大，当极点出现在单位圆上时，振幅特性将出现无穷大，系统不稳定。

2、对零点而言：当单位圆上的点转到某个零点附近时，|()|j H e ω在这附近出现谷点。

当零点出现在单位圆上时，振幅特性为零。

零点可以位于单位圆外，不影响稳定性。

两个概念——1、最小相位系统：系统H(z)的全部零极点都在单位圆内，某点在单位圆上逆时针旋转一周时，系统的相位变化最小。

2、最大相位系统：H(z)的全部零点在单位圆外，系统的相位变化最大。

说明：处于坐标原点的零极点不影响系统的幅频响应；利用零极点分析系统的幅频响应，仅对低阶系统有效。

（三） 离散时间信号与模拟（连续）时间信号1．时域关系设连续时间信号()a x t ，离散时间信号()x n ，则()()()|a a t nT x n x nT x t ===2．频域关系1()|[()]j T a s m X e X j m T ωω∞=Ω=-∞=Ω-Ω∑在时域对信号抽样，其频域的特征就是频谱以采样频率s Ω为周期进行周期延拓。

一个域的离散必然导致另一个域的周期延拓 一个域的周期延拓必然导致另一个域的离散对应变量的关系：ω-Ω-单位：rad 单位：HzT ω=Ω由于s Ω≤Ω，所以max 2s T ωπ=Ω=三、离散傅里叶变换（DFT ）（一） 离散傅里叶级数变换（DFST ）说明：周期序列不满足绝对可和的条件，不适用于序列傅里叶变换的定义式，但是它可以展开成离散傅里叶级数（Discrete Fourier Series ，DFS ），利用离散傅里叶级数可以得到周期序列的离散傅里叶变换表示式。

1.定义DFST ：10()(),N nk N n X k x n W k -==-∞<<∞∑IDFST ：101()(),N nk Nn x n X k Wn N--==-∞<<∞∑注：1、周期单位复指数序列22,j nk j nk nk nk NNNNWe We ππ--==周期单位复指数序列对n 、k 而言都是以N 为周期的，即(),,n N k nk N N W W n k +=-∞<<∞ (),,n k N nk N N W W n k +=-∞<<∞ (),,nk N nk N N W W n k +=-∞<<∞2、周期为N 的周期序列()x n 可以分解成N 个周期复指数序列的和，这些周期复指数序列的数字角频率为2(0,1,2,,1)kk N Nπ=⋅⋅⋅-周，它们的幅度和相位由离散傅里叶级数()X k N决定。