第2章 方程求根
第2章 方程求根

内容提要
二分法 迭代法
牛顿法
割线法
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2.1 问题的提出
方程 f x 0
如果有 *使得 x* 0 x f ，则称 *为方程的根，或函数x的零点。 x f

* m
如果函数 f x 0 能写成如下形式
f x x x
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2.2 二分法
a0 b0 a0 a, b0 b, x0 2
f(x)
f (a0) · (x0) < 0 f
x* a0 O x0 b1 b0
a1=a0, b1=x0
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2.2 二分法
t; 0 f
a1
O a2 x1 x*
a2=x1, b2=b1
b1
本节介绍求有根区间（隔离区间）的方法。
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2.1 问题的提出
确定根的隔离区间的具体方案：
1.作y=f(x)草图，由f(x)与横轴交点的大致位置确定隔离区间
2.将f(x)=0在求根区间内改写成f1(x)=f2(x)，然后根据交点 横坐标的大致位置来确定根的隔离区间；
f(x)
a
O
x *
x b
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2.1 问题的提出
1 bk ak k (b a) 2
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2.2 二分法
最后一个区间的长度为：
1 bk ak k (b a) 2
误差分析：
b0 a0 b a a0 b0 有误差 |x* x0| 产生的 x0 2 2 2 b ak b a a b 第k步产生的 xk k k 有误差 |x* xk| k k 1 2 2 2
O a x*
f(x) x b
在求方程近似根的方法中，最直观、最简单的方法是 二分法。
函数f(x)在[a,b]内连续，严格单调，且有f(a)f(b)<0，则在 [a,b]内方程 f(x)=0 有且仅有1个实根，即[a,b]为原方程的 一个有根区间。 二分法基本思想：用对分区间的方法根据分点处函数f(x)值的 符号逐步将有根区间缩小，使在足够小的区间内，方程有且仅 有1个根。
y1=x 0 P2
P* Q1
P0
P1
发散的迭代法
x2
x1
x0 x*
x
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2.3.1 迭代格式的构造及其敛散性条件
定理2.1 设有方程 x (x) ，如果函数 (x) 在区间[a,b]上具有一阶 连续导数，且满足下面两个条件： （a）当x[a,b]时， ( x) [a, b] x [a, b], 有 ' ( x) L （b）存在正常数L<1,使对任意
2 在该区间原方程等价于 e x x
x
y1 e
从图像可知，原方程在 [0.5,1]内有唯一实根。
y2 2 x
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2.1 问题的提出
例：求 解：
x 2e
x
的有根区间。
f1 ( x) 2 x
f 2 ( x) e x
有根区间[-2,-1] 有根区间[1,2]
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2.2 二分法
则有
（1）方程 x (x) 在区间[a,b]上有唯一的根 x *
（2）对任意初值x0[a,b]，迭代公式 xk 1 ( xk ), k 0,1,2 产生的序列 {x k }收敛于方程的根 x *
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2.3.1 迭代格式的构造及其敛散性条件
L （3） x xk 1 L xk xk 1 , k 1,2,... k xk 1 x* L * lim ' x* （4） x xk 1 L x1 x0 k 1,2,...（5） k xk x*

称为渐进误差估计式。
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2.3.1 迭代格式的构造及其敛散性 条件

（a）当x[a,b]时， ( x) [a, b]
y y1=x y2=(x)
Q1 Q2
P 0 * x* P2 x2 x1
P0
P1 x0 x
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2.3.1 迭代格式的构造及其敛散性 条件
（b）存在正常数L<1,使对任意 x [a, b], 有 ' ( x) L y Q1 Q2 0 P * x* P2 x2 x1 y1=x P0

gx, 且g x 0, m 1
*
则称 *为f x 0的m重根，或 x m重零点。 x f 的
一重根通常称为单根。
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2.1 问题的提出
如果 f x 为超越函数，则称 f x 0 为超越方程；如果
f x 为n次多项式，则称 f x 0 为n次代数方程。
ln 2
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2.2 二分法
f ( x) x3 x2 2x 1 0 例3：用二分法求方程
在区间[0,1]内的1个实根，要求有3位有效数字。
* 因 f 0.1 0 所以 x 0.1,1


由有效数字确定精度
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2.2 二分法
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2.2 二分法
总结
二分法的优点是计算简单，方法可靠。
因此，迭代法最重要的是如何构造一个合适的迭代公 式。
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2.3 迭代法
粗糙的初值 基本思想：逐次逼近
方程求根 方程组求解 矩阵求特征值 ……
迭代公式
反复校正
满足精度要求的结果
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2.3.1 迭代格式的构造及其敛散性条件
方程 x 0在区间a, b内有一个根 f x
*
在区间[a, b]内将原方程改写成同解 方程x x
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2.2 二分法
对于给定的精度
ba ba 因为 x xk k 1 取 k 1 ε 2 2
*
x * xk ε 则有
对于给定的精度 ,可估计二分法所需的步数 k ：
ba x xk k 1 ε 2
*

lnb a ln ε 1 k
确定根的隔离区间的具体方案：
O a x *
f(x) x
b
3.逐步搜索,f(x)在连续区间[a,b]内选择一系列的x值，x1, x2, …, xk, 看f(x)在这些点的符号变化情况，出现2个相邻 点上函数值异号，则在此小区间至少有1个实根。 数学依据： 函数f(x)在[a,b]内连续，严格单调，且有f(a)f(b)<0，则在 [a,b]内方程 f(x)=0 有且仅有1个实根。
x1 6.5 x2 19 .625 x3 191 .070


k变大时，xk远离原方程的精确根。
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2.3.1 迭代格式的构造及其敛散性条件
一般来说，方程可以写成多种等价形式 x x 。关键是这 xk 样构造的迭代公式 xk 1 xk ，当 时， 是否与 k 精确根无限接近。 如何构造 x ？
二分法的缺点是不能求偶数重根，也不能求复根，收 敛速度不快。
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2.2 二分法
总结
二分法一般在求方程根时不太单独使用，常用 来为其它方法求方程近似根时提供好的初值。 方程求根最常用的方法是迭代法。
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2.3 迭代法
迭代法是数值计算中一类典型方法，被用于方程求根、 方程组求解、矩阵求特征值等。 迭代法的基本思想是一种逐次逼近的方法，首先给一 个粗糙的初值，然后用同一个迭代公式，反复校正这 个初值，直到满足预先给出的精度要求为止。
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2.1 问题的提出
例 1 求 f x x3 3x2 4x 3 0 的有根区间。
解：可以利用函数图像求，但比较复杂。
' 因为 f x 在 , 内保号，即
f x 3x 1 1 0
' 2
f x 是单调增加函数，所以原方程在实数域内最多只有一 个实根。
理论证明，对于次数大于等于5的代数方程，它的根 不能用方程系数的解析式表示。对于一般的超越方程， 更没有求根的公式。
实际问题中，求方程的根时，不一定需要得到根的准 确值，而只需要求得满足一定精度的近似根就可以。
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2.1 问题的提出

方程的求根问题，一般分两步进行：
1.
2.
求根的隔离区间。确定根所在的区间，使方程在这个 小区间内有且仅有一个根，这一过程称为根的隔离。 所得小区间称为根的隔离区间或有根区间。所求隔离 区间越小越好。这一步可以获得方程各个根的近似值。 将根精确化。已知一个根的近似值后，再用一种方法 把此近似值精确化，使其满足给定的精度要求。
*

L x xk xk xk 1 , k 1,2,... 1 L 用计算结果 xk与xk 1 来估计误差，因而称为误差事后估计式。
说明:
*
Lk x* xk x1 x0 1 L
k 1,2,...
称为误差事前估计式。
xk 1 x* lim ' x* k x x* k
例 给定方程 f x x2 2x 3 0，它在[2,4]内有唯一根 x *
（1）
x 2x 3
( x) 2 x 3
取 x0 4
xk 1 2xk 3, k 0,1,2,...
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2.3.1 迭代格式的构造及其敛散性条件
x1 2 x0 3 11 3.317 x2 2 x1 3 3.104 x3 2 x2 3 3.034 x4 2 x3 3 3.011 x5 2 x4 3 3.004
xk
是否收敛？
怎样估计误差？
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2.3.1 迭代格式的构造及其敛散性条件
y
xk 1 xk
Q1
y1=x
y2=(x) P0