（6）用双线性变换公式将转换成 ＝ 3-15 一个数字系统的抽样频率为1000,已知该系统受到频率为100的噪 声干扰，现设计一带阻滤波器去掉该噪声。要求3的带边频率为95 和105，阻带衰减不小于14，阻带的下边和上边频率分别为99和 101。 解： （1）确定带阻滤波器技术指标：因为，所以得出： ， ， 通带内最大衰减，阻带内最小衰减。 （2）确定相应模拟滤波器技术指标。为计算简单，设。 ＝＝ ＝＝ ＝＝ ＝＝ 阻带中心频率 ＝ 带阻带宽 ＝－ 将以上边界频率对归一化，得到相应归一化带阻边界频率： ＝ ， ＝ ＝， ＝ ＝ （3）由归一化带阻指标确定相应模拟归一化低通技术指标。 归一化阻带截止频率为：
点） 负肩峰（C 点） 过渡带宽度为 利用MATLAB演示其结果如题3-16图所示： N=21;a=(N-1)/2;Wc=0.5*pi; n=[0:1:(N-1)]; m=n-a+eps;避免被零除 hd=sin(Wc*m)./(pi*m); [H1,W]=freqz(hd,1); figure(1); subplot(211); stem(n,hd);xlabel('n');ylabel('h(n)'); subplot(212); plot(W/pi,20*log10(abs(H1)/max(H1))); xlabel('频率');ylabel('幅频响应');
题3-16图 加矩形窗时的脉冲响应及其频谱图
3－17 试用窗函数法设计一个第一类线性相位FIR数字高通滤波器，已 知 ，，，对于矩形窗，过渡带宽度为。 （1）确定的长度；（2）求的表达式；（3）？ 解： （1） 偶数，取=65 (2)
(3) 3－18 用矩形窗设计线性相位数字低通滤波器，理想滤波器传输函数 为： （1）求出相应的理想低通滤波器的单位脉冲响应。 （2）求出用矩形窗函数法设计的FIR滤波器的表达式。 解：（1） （2）为满足线性相位条件，要求，为矩形窗函数的长度。加矩形 窗函数得。 。 3－19 用矩形窗设计线性相位高通滤波器，逼近滤波器传输函数为 ＝ （1） 求出相应于理想低通的单位脉冲响应； （2） 求出矩形窗设计法的表达式，确定与之间的关系； （3） 的取值有什么限制？为什么？ 解： （1） 直接IDTFT[]计算： ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ 表达式中第2项正好是截止频率为的理想低通滤波器的单位脉冲 相应。而对应于一个线性相位全通滤波器：
，的位置在，即和之间，其对称点位置是，即和之间。对理想低通
采样，可得 第一类FIR DF的相位特性为 综合幅度和相位，FIR DF的离散频域抽样值为
3－21 用频率采样法设计第一类线性相位FIR低通滤波器，要求通带截 止频率 =，阻 带最大衰减25，过渡带宽度=，问滤波器长度至少为多少才可能满 足要求． 解： 因为阻带最大衰减为25 所以需要一个过渡点即 ，所以得出滤波 器长度为 3－22 利用频率采样法设计线性相位FIR低通滤波器，设N＝16，给定 希望逼近滤波器的幅 度采样为 ＝ 解：有希望逼近的滤波器幅度采样可构造出的：
（2）确定相应模拟滤波器技术指标。为计算简单，设。 ＝＝ ＝＝ ＝＝ ＝＝ 通带中心频率 ＝ 带宽 ＝－ 将以上边界频率对归一化，得到相应归一化带通边界频率： ＝ ， ＝ ＝， ＝ ＝ （3）由归一化带通指标确定相应模拟归一化低通技术指标。 归一化阻带截止频率为： ＝ 归一化通带截止频率为 ， （4）设计模拟归一化低通 ＝ ＝ ＝ － － 取，因为1.9394很接近2，所以取基本满足要求，且系统简单。 查表可得归一化低通系统函数： ＝ （5）频率变换，将转换成模拟带通 ＝＝ ＝
，
取，。 （4）设计模拟归一化低通 ，
＝ ＝ ＝ － － 取，因为1.055很接近1，所以取，基本满足要求，且系统简单。 查表可得归一化低通系统函数： ＝ （5）频率变换，将转换成模拟带阻 ＝ （6）用双线性变换公式将转换成
=
3－16 试用矩形窗口设计法设计一个FIR线形相位低通数字滤波器，已 知， 。画出和曲线，再计算正、负肩峰值的位置和过渡带宽度。 解： 写出理想的频响为 求得理想冲激响应为 计算得 加矩形窗： 所以 即 正、负肩峰值的位置如题3-16表所示。 题3-16表 轴上的位置 正肩峰（A 点） 临界频率（B 值
3－11 试设计一巴特沃斯数字低通滤波器，设计指标为：在0.3通带频率 范围内，通带幅度波动小于1，在0.5阻带频率范围内，阻带衰减大 于12。 解： 由题意可以得出：＝ 0.3 , ＝ 0.5 , （1）频率预畸变 ＝ ＝ ＝ 1.019/ ＝ ＝ ＝ 2/ （2）确定滤波器阶数： ＝ ＝ ＝ 0.1321 ＝ ＝ ＝1.9627 ＝ － ＝ － ＝ 3.002 ， 取＝ 3 （3）查表求归一化低通滤波器函数 ＝ （4）求模拟滤波器系统函数 ＝1 ＝12
3－1 画出级联型网络结构。 解： 3－2 画出级联型网络结构。 解： 3－3 已知某三阶数字滤波器的系统函数为，试画出其并联型网络结构。 解：将系统函数表达为实系数一阶，二阶子系统之和，即： 由上式可以画出并联型结构如题3-3图所示： 题3-3图 3－4 已知一FIR滤波器的系统函数为，画出该FIR滤波器的线性相位结 构。 如题3-4图所示： 题3-4图 3－5 已知一个FIR系统的转移函数为： 求用级联形式实现的结构流图并用MATLAB画出其零点分布及其频 率响应曲线。 解： 由转移函数可知，，且偶对称，故为线性相位系统，共有5个零 点，为5阶系统，因而必存在一个一阶系统，即为系统的零点。而 最高阶的系数为+1，所以为其零点。中包含项。所以：。 为一四阶子系统，设，代入等式，两边相等求得，得出系统全部 零点，如图3-5（b）所示。 系统流图如题3-5（a）图所示。 题3-5（a）图 MATLAB程序如下，结果如题3-5（b）图所示： b=[1 1.25 -2.75 -2.75 1.25 1]; a=[1]; figure(1) zplane(b,a); figure(2);
＝ 即高通滤波器可由全通滤波器减去低通滤波器实现。 （2）用N表示 ＝＝ 为了满足线性相位条件： ＝ 要求满足＝ （3）必须取奇数。因为N为偶数时（情况2），＝0，不能实现 高通。 3－20 使用频率取样设计法（第一种形式取样）设计一个FIR线性相位低通数 字滤波器。已知。 解： 理想低通0到和到处幅度函数为1，其余为0。采样频率间隔为
题3-24图 （1） 求输入噪声的均值和方差。 （2） 求截尾噪声的均值和方差。 解：（1）舍入噪声的均值和方差分别为： （2）用相似的方法可以求得，截尾噪声的均值和方差分别为 ＝＝＝－ ＝ ＝－ ＝ － ＝ 3－25 一因果LTI系统有系统函数为 该系统稳定吗？若对系统系数小数点后第二位按“四舍五入”舍 入，所得系统是稳定的吗？ 解： matlab演示程序如下： % 系统稳定性演示程序 % 设a,b分别是系统的零点极点系数 % 设z,p,k为系统的零点，极点和增益系数 a=[1,0,0]; b=[1,-0.08,0.96]; %求系统的零点极点 [z,p,k]=tf2zp(a,b)； %画出系统的零点极点图 figure(1) zplane(a,b); %----------------系统系数经过四舍五入----------a=[1,0,0]; b=[1,-0.08,0.96]; %对小数后第二位四舍五入后零点极点系数a1,b1 temp_a=a*10; temp_b=b*10; a1=round(temp_a)/10; b1=round(temp_b)/10; %求系统的零点极点
（2）由于设计的是高通数字滤波器，所以采用双线性变换法，所 以要进行预畸变校正，确定相应的模拟高通滤波器指标（为了计
算方便，取T＝2s）： ＝＝＝3.0777rad/s ＝ ＝＝ 0.8273rad/s （3）将高通滤波器指标转换成模拟低通指标。高通归一边界频率 为（本题＝）： ＝＝1 ＝ 低通指标为： ＝＝1 ＝＝3.7203 （4）设计归一化低通: ＝ ＝ ＝ 0.1003 ＝ ＝ 3.7203 ＝ －＝1.75，取＝2 查表可得 ＝ （5）频率变换，求模拟高通： ＝ ＝ （6）用双线性变换法将转换成： ＝ |s＝＝ 3-14 一个数字系统的抽样频率，试设计一个为此系统使用的带通数字 滤波器 ，希望采用巴特沃斯滤波器，通带范围为到，在带边频率处的衰 减不大于3；在以下和以上衰减不小18。 解：（1）确定带通滤波器技术指标：因为，所以得出： ， ， 通带内最大衰减，阻带内最小衰减。
＝＝ ＝IDFT[]＝= = 阻带最小衰减接近－40dB。 3－23 一个IIR网络的差分方程为＝，当输入序列＝ 时。 （1） 试求在无限精度运算下网络输出,以及时的输出稳态值。
（2） 当网络采用位字长的定点运算时，尾数采取截尾处理，试 计算 以内点输出值。并求其稳态响应。 解： （1）由题中已知条件，可以得到该系统的系统函数 因此 ＝ 故 （2）为了求，我们首先求出，可以用下式进行迭代 未量化则有： 量化后，有 可见其稳态响应值为，所以实际实现时稳态值为。 3－24 在用模型表示数字滤波器中舍入和截尾效应时，把量化变量 表示 ，式中 表示舍入或截尾操作，表示量化误差。在适当的假定条 件下，可以假设是白噪声序列，即。舍入误差的一阶概率分别 是如题3-24（a）图所示的均匀分布，截尾误差是如题3-24（b） 图所示的均匀分布。
滤波器。因此，我们必须按 将等效模拟滤波器指标参数转换成采样数字滤波器系统中数字滤波 器指标参数，再用双线性变换法的一般步骤设计该数字滤波器。 通带边界频率：＝＝＝；通带最大衰减：＝3 阻带截至频率：＝＝＝；阻带最小衰减：＝20 以下为双线性变换法设计数字滤波器的一般过程。 （2）预畸变校正，确定相应的模拟滤波器指标参数： ＝＝800＝800，＝3 ＝＝800＝1931.37，＝20 （3）确定滤波器阶数： ＝＝＝0.1003 ＝＝＝2.414 ＝＝＝2.609 取 ＝3。 （4）查表求归一化低通滤波器函数 ＝ （5）求模拟滤波器系统函数 ＝＝ (6) 求系统函数＝ ＝ 3－13 试设计一个数字高通滤波器，要求通带下限频率rad。阻带上限频 率为，通带衰减不大于3，阻带衰减不小于20。 解：（1）已知数字高通滤波器指标： ＝0.8rad ， ＝3 ， ＝20 ＝0.44rad