第五章 三角函数章末综合检测第Ⅰ部分（选择题，共60分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.1．已知点(tan ,cos )P αα在第三象限，则角α在第几象限（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】B【解析】因为点(tan ,cos )P αα在第三象限，所以tan 0,cos 0αα<<所以角α在第二象限2．函数2sin6x y π=，x ∈R 的最小正周期是（ ） A ．12B ．6C ．12πD ．6π 【答案】A 【解析】函数2sin 6xy π=的最小正周期为：2126T ππ==.3．下列函数中，既是奇函数又在区间()1,1-上是增函数的是（ ）A ．1y x =B ．tan y x =C ．sin y x =-D ．cos y x =【答案】B【解析】A 选项，1y x=的定义域为()(),00,-∞⋃+∞，故A 不满足题意； D 选项，余弦函数cos y x =是偶函数，故D 不满足题意；B 选项，正切函数tan y x =是奇函数，且在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，故在区间()1,1-是增函数，即B 正确； C 选项，正弦函数sin y x =是奇函数，且在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，所以在区间()1,1-是增函数；因此sin y x =-是奇函数，且在()1,1-上单调递减，故C 不满足题意.4．《九章算术》成书于公元一世纪，是中国古代乃至东方的第一部自成体系的数学专著.书中记载这样一个问题“今有宛田，下周三十步，径十六步.问为田几何？”（一步=1.5米）意思是现有扇形田，弧长为45米，直径为24米，那么扇形田的面积为( )A ．135平方米B ．270平方米C ．540平方米D ．1080平方米 【答案】B【解析】根据扇形的面积公式，计算扇形田的面积为S 12=lr 12=⨯45242⨯=270（平方米）.5．已知cos 5α=，()sin 10αβ-=-，α、β0,2π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则cos β的值为（ ）A ．2 BC D ．12 【答案】A 【解析】解：α、β0,2π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，,02πβ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，∴sin α==，,22ππαβ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭()sin 0αβ-=<， ∴,02παβ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭.∴()cos 10αβ-==. ∴()cos cos βααβ=--⎡⎤⎣⎦ ()()cos cos sin sin ααβααβ=⋅-+⋅-⎛== ⎝⎭6．已知函数()sin(2)()2f x x x R π=-∈下列结论错误的是（ ） A ．函数()f x 的最小正周期为πB ．函数()f x 是偶函数C ．函数()f x 的图象关于直线4x π=对称 D ．函数()f x 在区间[0,]2π上是增函数【答案】C 【解析】原函数利用诱导公式化简为：()sin 2cos 22f x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，此函数为最小正周期为π的偶函数，所以A,B 正确，函数的对称轴由：()2x k k Z π=∈得到：()2k x k Z π=∈，显然，无论k 取任何整数，4x π≠，所以C 错误，答案为C.7．函数y =2x sin2x 的图象可能是A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】令||()2sin 2x f x x =，因为,()2sin 2()2sin 2()x x x R f x x x f x -∈-=-=-=-，所以||()2sin 2x f x x =为奇函数，排除选项A,B; 因为π(,π)2x ∈时，()0f x <，所以排除选项C ，选D.8．函数()sin()f x A x ωϕ=+ (0,0,2A πωϕ＞＞＜)的部分图象如图所示，若12,,63x x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，且()()12f x f x =，则12()f x x +=（ ）A ．1B ．12C ．22D 3【答案】D 【解析】由图象可知， 1,()2362T A πππ==--=，即T π=，所以2ω=，即()sin(2)f x x ϕ=+， 又因为()03f π=，则sin(2)03πϕ⨯+=，解得2,3k k Z πϕπ=-+∈， 又由2πϕ＜，所以3πϕ=，所以()sin(2)3f x x π=+， 又因为()36212πππ+-=，所以图中的最高点坐标为,112π⎛⎫ ⎪⎝⎭. 结合图象和已知条件可知122126x x ππ+=⨯=， 所以1223()()sin(2)sin 6633f x x f ππππ+==⨯+==，故选D. 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9．设函数()sin 2cos 244f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()f x ( ) A ．是偶函数 B ．在区间0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增 C ．最大值为2D ．其图象关于点,04π⎛⎫⎪⎝⎭对称 【答案】AD【解析】()sin 2cos 2224444f x x x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.选项A ：()2))()f x x x f x -=-==，它是偶函数，正确； 选项B ：0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()20,x π∈，因此()f x 是单调递减，错误；选项C ：()2f x x =，错误； 选项D ：函数的对称中心为(,0)24k ππ+，k Z ∈，当0k =，图象关于点,04π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称， 错误. 10．定义：角θ与ϕ都是任意角，若满足2πθϕ+=，则称θ与ϕ“广义互余”.已知1sin()4πα+=-，则下列角β中，可能与角α“广义互余”的是（ ）A ．sin β=B ．1cos()4πβ+=C ．tan β=D ．tan β= 【答案】AC 【解析】∵1sin()sin 4παα+=-=-，∴1sin 4α=， 若2παβ+=，则2πβα=-.A 中，sin sin cos 24πβαα⎛⎫=-==±⎪⎝⎭， 故A 符合条件； B 中，1cos()cos sin 24ππβαα⎛⎫+=--=-=-⎪⎝⎭， 故B 不符合条件；C 中，tan β=sin ββ=，又22sin cos 1ββ+=，所以sin β=， 故C 符合条件；D 中，15tan 5β=，即15sin cos 5ββ=， 又22sin cos 1ββ+=，所以6sin β=±， 故D 不符合条件. 11．关于函数f (x )＝sin|x |＋|sin x |的叙述正确的是（ ）A ．f (x )是偶函数B ．f (x )在区间,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增 C ．f (x )在[－π，π]有4个零点D ．f (x )的最大值为2【答案】AD【解析】A .∵f (－x )＝sin|－x |＋|sin(－x )|＝sin|x |＋|sin x |＝f (x )，∴f (x )是偶函数，故正确；B.当x ∈,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭时，f (x )＝sin|x |＋|sin x |＝2sin x ，f (x )在,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，故错误； C.当x ∈[0，π]时，令f (x )＝sin|x |＋|sin x |＝2sin x ＝0，得x ＝0或x ＝π，又f (x )在[－π，π]上为偶函数，∴f (x )＝0在[－π，π]上的根为－π，0，π，有3个零点，故错误；D.∵sin|x |≤1，|sin x |≤1，当x ＝2π＋2k π(k ∈Z)或x ＝－2π－2k π(k ∈Z)时两等号同时成立， ∴f (x )的最大值为2，故正确．12．下图是函数y = sin(ωx +φ)的部分图像，则sin(ωx +φ)= （ ）A ．πsin(3x +） B ．πsin(2)3x - C ．πcos(26x +） D ．5πcos(2)6x - 【答案】BC【解析】由函数图像可知：22362T πππ=-=，则222T ππωπ===，所以不选A, 当2536212x πππ+==时，1y =-∴()5322122k k Z ππϕπ⨯+=+∈， 解得：()223k k ϕππ=+∈Z ， 即函数的解析式为：2sin 22sin 2cos 2sin 236263y x k x x x ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=++=+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 而5cos 2cos(2)66x x ππ⎛⎫+=-- ⎪⎝⎭第Ⅱ部分（选择题，共90分）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．若2sin 3x =-，则cos2x =__________． 【答案】19【解析】22281cos 212sin 12()1399x x =-=-⨯-=-=. 故答案为：19. 14．函数()sin cos f x ax ax =的最小正周期是π，则实数a =________【答案】±1 【解析】1()sin cos =sin 22f x ax ax ax =，周期22T aππ==，解得1a =±. 15．函数cos y x π=的单调减区间为__________．【答案】[]()2,21k k k +∈Z 【解析】由22k x k ππππ≤≤+，k ∈Z 得212k x k ≤≤+，k ∈Z ，即函数cos y x π=的单调减区间为[]()2,21k k k +∈Z .16．在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以x 轴的非负半轴为始边，它们的终边关于x 轴对称．若1sin 3α=，则sin β=__________，cos 2β=__________． 【答案】13- 79 【解析】因为角α与角β均以x 轴的非负半轴为始边，它们的终边关于x 轴对称 所以1sin sin 3βα=-=- 所以2217cos 212sin 1239ββ⎛⎫=-=-⋅-= ⎪⎝⎭ 四、解答题：本小题共6小题，共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知αβ，为锐角，4sin ,cos()5ααβ=+=（1）求cos2α的值；（2）求sin β的值．【解析】（1）因为4sin 5α，所以2327cos 212sin 12525αα=-=-=-； （2）因为αβ，为锐角，所以0αβ<+<π，02πα<<，又4sin ,cos()55ααβ=+=-，所以3cos 5α==，sin()αβ+==， 所以()()()sin sin sin cos cos sin βαβααβααβα=+-=+-+⎡⎤⎣⎦3455555=+⨯=.18．已知函数2()22cos f x x x =+.（1）求函数()f x 的值域；（2）求函数()f x 单调递增区间.【解析】解：2()22cos 2cos 21f x x x x x =+=++12(sin 2cos 2)122x x =++2sin(2)16x π=++ （1）因为1sin(2)16x π-≤+≤， 所以12sin(2)136x π-≤++≤所以()f x 的值域为[1,3]-；（2）由222,262k x k k Z πππππ-≤+≤+∈，得,36k x k k Z ππππ-≤≤+∈，所以()f x 单调递增区间为(),36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦19．已知函数()()21cos cos 2f x x x x x R =-∈ （1）求()f x 的最小正周期；（2）讨论()f x 在区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调性； 【解析】（1）依题意，()211cos 21cos cos 2sin 22226x f x x x x x x π+⎛⎫=-=-=+ ⎪⎝⎭ 所以2T ππω==.（2）依题意，令222262k x k πππππ-+≤+≤+，Z k ∈， 解得36k x k ππππ-+≤≤+， 所以()f x 的单调递增区间为,36k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，Z k ∈. 设,44A ππ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦，,36B k k ππππ⎡⎤=-++⎢⎥⎣⎦，易知,46A B ππ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦， 所以当,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，()f x 在区间,46ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增；在区间,64ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减. 20．已知函数()()()()()32cos cos sin sin 222cos 2cos x x x x f x x x πππππ⎛⎫⎛⎫-++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-+. （Ⅰ）化简()f x ；（Ⅱ）若()3f α=-，求tan 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值. 【解析】（1）cos()cos()cos sin 2x x x x ππ-+=，3sin()sin()sin cos 2x x x x π-+= ∴32cos()cos()sin()sin()3sin cos 22x x x x x x πππ-++-+= 2cos(2)cos()cos x x x ππ-+=-∴23sin cos 3()tan 2cos 2x x f x x x ==-- （2）由()3f α=-，知：3tan 32α-=-，即tan 2α= 又1tan tan()41tan πααα++=-，所以tan()34πα+=- 21．如图，在平面直角坐标系中，角αβ，的始边均为x 轴正半轴，终边分别与圆O 交于A ，B 两点，若712（，）παπ∈，12πβ=，且点A 的坐标为1（，）-A m ．（1）若423tan α=-，求实数m 的值； （2）若34tan AOB ∠=-，若sin2α的值． 【解析】（1）由题意可得224213tan tan tan ααα==--，12tan α∴=-，或2tan α=． 712παπ∈（，），12tan α∴=-，即112m =--，12m ∴=． （2）sin 312124cos 12tan AOB tan tan παπαβαπα⎛⎫- ⎪⎝⎭∠=-=-==-⎛⎫- ⎪⎝⎭（）（）， 22111,,121212212sin cos πππππααα⎛⎫⎛⎫⎡⎤-+-=-∈ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 34125125sin cos ππαα∴-=-=-（），（）， 24226121225sin sin cos （）（）（）πππααα∴-=--=-，2722161225cos cos ππαα-=--=（）（）， 7243222266666650sin sin sin cos cos sin ππππππαααα-⎡⎤∴=-+=-+-=⎢⎥⎣⎦（）（）（）． 22．某班级欲在半径为1米的圆形展板上做班级宣传，设计方案如下：用四根不计宽度的铜条将圆形展板分成如图所示的形状，其中正方形ABCD 的中心在展板圆心，正方形内部用宣传画装饰，若铜条价格为10元/米，宣传画价格为20元/平方米，展板所需总费用为铜条的费用与宣传画的费用之和．（1）设OPA α∠=，将展板所需总费用表示成α的函数；（2）若班级预算为100元，试问上述设计方案是否会超出班级预算？【解析】（1）过点O 作OH AB ⊥，垂足为H ，则cos PH α=，sin OH α=，正方形ABCD 的中心在展板圆心，∴铜条长为相等，每根铜条长2cos α，22sin AD OH α∴==，∴展板所需总费用为280cos 80sin 02y πααα⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭． （2）2280cos 80sin 80cos 80cos 80y αααα=+=-++ 2180cos 1001002α⎛⎫=--+≤ ⎪⎝⎭，当1cos 2α=时等号成立. ∴上述设计方案是不会超出班级预算．。