重点高中数学立体几何建系设点专题————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：2009-2010学年高三立几建系设点专题引入空间向量坐标运算，使解立体几何问题避免了传统方法进行繁琐的空间分析，只需建立空间直角坐标系进行向量运算，而如何建立恰当的坐标系，成为用向量解题的关键步骤之一．所谓“建立适当的坐标系”，一般应使尽量多的点在数轴上或便于计算。
一、建立空间直角坐标系的三条途径途径一、利用图形中的对称关系建立坐标系:图形中虽没有明显交于一点的三条直线，但有一定对称关系（如正三棱柱、正四棱柱等），利用自身对称性可建立空间直角坐标系． 例1（湖南卷理科第18题）已知两个正四棱锥P －ABCD 与 Q －ABCD 的高都为2，AB ＝4． （1）证明：PQ ⊥平面ABCD ；（2）求异面直线AQ 与PB 所成的角； （3）求点P 到平面QAD 的距离． 简解：（1）略；（2）由题设知，ABCD 是正方形，且AC ⊥BD ．由（1），PQ ⊥平面ABCD ，故可分别以直线CA DB QP ，，为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系（如图1），易得(2202)(0222)AQ PB =--=-u u u r u u u r ，，，，，，1cos 3AQ PB AQ PB AQ PB <>==u u u r u u u ru u u r u u u r g u u u r u u u r ，．所求异面直线所成的角是1arccos3． （3）由（2）知，点(0220)(22220)(004)D AD PQ -=--=-u u u r u u u r，，，，，，，，． 设n =（x ，y ，z ）是平面QAD 的一个法向量，则00AQ AD ⎧=⎪⎨=⎪⎩u u u r g u u u rg ，，n n 得200x z x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，，取x ＝1，得(112)--，，n =．点P 到平面QAD 的距离22PQ d ==u u u r g nn． 途径二、利用面面垂直的性质建立坐标系:图形中有两个互相垂直的平面，可以利用面面垂直的性质定理，作出互相垂直且交于一点的三条直线，建立坐标系．例2 （全国卷Ⅱ理科第19题）在直三棱柱111ABC A B C -中，AB ＝BC ，D 、E 分别为11BB AC ，的中点．（1）证明：ED 为异面直线1BB 与1AC 的公垂线；（2）设12AA AC AB ==，求二面角11A AD C --的大小． 解：（1）如图2，建立直角坐标系O xyz -，其中原点O 为AC 的中点，设(00)A a ，，则，1(00)(02)B b B b c ，，，，，，QM ABDCOPxyzM ABD CO Pxyz则11(00)(002)0ED b BB c ED BB ===u u u r u u u r u u u r u u u r g ，，，，，，，即1ED BB ⊥．同理1ED AC ⊥． 因此ED 为异面直线1BB 与1AC 的公垂线．（2）不妨令1a b c ===，则1(110)(110)(002)BC AB AA =--=-=u u u r u u u r u u u r ，，，，，，，，，100BC AB BC AA ==u u u r u u u r u u u r u u u rg g ，．即BC ⊥AB ，BC ⊥1AA ，又∵1AB AA A =I ，∴BC ⊥面1A AD ． 又(101)(101)(010)0EC AE ED EC AE =--=-==u u u r u u u r u u u r u u u r u u u rg ，，，，，，，，，，0EC ED =u u u r u u u r g ， 即EC ⊥AE ，EC ⊥ED ，又∵AE ∩ED ＝E ，∴EC ⊥面1C AD ．∴1cos 2EC BC EC BC EC BC <>==u u u r u u u ru u u r u u u r g u u u r u u u r ，，即得EC uuu r 和BC uuu r 的夹角为60o．所以，二面角11A AD C --为60o．练2：如图，平面PAC ⊥平面ABC ，ABC ∆是以AC 为斜边的等腰直角三角形，,,E F O 分别为PA ，PB ，AC 的中点，16AC =，10PA PC ==．（I ）设G 是OC 的中点，证明：//FG 平面BOE ；（II ）证明：在ABO ∆内存在一点M ，使FM ⊥平面BOE ，并求点M 到OA ，OB 的距离．途径三、利用图形中现成的垂直关系建立坐标系:当图形中有明显互相垂直且交于一点的三条直线，可以利用这三条直线直接建系．例3．如图，在四棱锥O ABCD -中，底面ABCD 四边长为1的菱形，4ABC π∠=，OA ABCD ⊥底面， 2OA =，M 为OA 的中点。
（Ⅰ）求异面直线AB 与MD 所成角的大小； （Ⅱ）求点B 到平面OCD 的距离。
方法1：作AP CD ⊥于点P ，如图，分别以AB ，AP ，AO 所在直线为,,x y z 轴建立坐标系.方法2：（利用菱形对角线互相垂直）连结BD ，设交AC 于E ，取OC 中点为F ，以E 为原点，EB 、EC 、EF 所在直线为x, y, z 轴建立空间直角坐标系. 练3：在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，底面是边长为32的正三角形， 点A 1在底面ABC 上的射影O 恰是BC 的中点． （Ⅰ）求证：A 1A ⊥BC ；（Ⅱ）当侧棱AA 1和底面成45°角时， 求二面角A 1—AC —B 的大小余弦值；二、求点的坐标的两条途径途径一、作该点在xOy 面上的投影，转化成求该投影的横、纵坐标和该点到它投影的距离（即竖坐标）。
途径二、过该点和z 轴作xOy 面的垂面，把空间的距离问题转化平面的距离问题。
例4. 如图，正三棱柱ABC-A 1B 1C 1的底边长为a,侧棱长为2a建立适当的坐标系，⑴写出A ，B ，A 1，B 1的坐标；⑵求AC 1与侧面ABB 1A 1所成的角分析：（1）所谓“建立适当的坐标系”，一般应使尽量多的点在数轴上或便于计算；（2）首先要找出所求的角，或找出平面的法向量与直线所成的角，然后再求之解：（1）建系如图，则A （0，0，0） B （0，a,0）A 1（0，0，2a),C 1（-23a,a 2,2a)(2)解法一：在所建的坐标系中，取A 1B 1的中点M ，于是M （0，a 2,2a），连结AM ，MC 1则有13(,0,0)2MC a =-u u u u r (0,,0)AB a =u u u r ，1(0,02)AA a =u u u r ， ∴10MC AB ⋅=u u u u r u u u r ，110MC AA ⋅=u u u u r u u u r ，所以，MC 1⊥平面ABB 1A 1因此，AC 1与AM 所成的角就是AC 1与侧面ABB 1A 1所成的角Θ 13(,,2)22aAC a a =-u u u u r ，(0,,2)2aAM a =u u u u r ，∴2194a AC AM ⋅=u u u u r u u u u r ,而|13||3,||2AC a AM a ==u u u u r u u u u r由cos<1,AC AM u u u u r u u u u r >=1132||||AC AMAC AM ⋅=u u u u r u u u u ru u u ur u u u u r ,∴ <1,AC AM u u u u r u u u u r >=30° ABO C D A1 B 1C 1A B O C D A 1 B 1C 1 xzy A BCA 1B 1C 1MzyxA BCA 1B 1C 1Mzyx解法二：Θ 13(,,2)22aAC a a =-u u u u r ， 平面ABB 1A 1的一个法向量(1,0,0)n =-r∴AC 1与侧面ABB 1A 1所成的角θ的正弦为：1sin cos ,AC n θ=<>u u u u r r =1112||||AC n AC n ⋅=u u u u r ru u u ur r ∴AC 1与侧面ABB 1A 1所成的角为30°练4：请在下列图形中建立适当的坐标系，并标明图中所有点的坐标。
（1）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面,,,60,ABCD AB AD AC CD ABC ⊥⊥∠=︒,PA AB BC ==E 是PC 的中点. （2）如图，正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都为2，D 为1CC 中点．A PEBCDABC D1A1C1B2009-2010学年高三立几建系设点专向练习1. 在正方体A —C 1中，E 、F 分别为D 1C 1与AB 的中点，则A 1B 1与截面A 1ECF 所成的角的正弦值为（ ）A ．sin36 B ．sin 33C ．sin 26D ．都不对解：（向量法）建立以D 为原点，DA,DC,DD 1分别为x,y,z 轴的坐标系，设棱长为1设平面A 1FCE 的法向量n r =（x ，y ，z ）, 则n r ·FC uuu r =0，n r ·CE u u ur =0 ∵FC uuu r =（－1，21，0）， CE u u u r =（0，－21，1）∴1102211022x y x y y z z y ⎧⎧-+==⎪⎪⎪⎪∴⎨⎨⎪⎪-+==⎪⎪⎩⎩,令y=2 , ∴n r =（1，2，1）又∵11A B u u u u r =（0，1，0） ∴cos<n r ,11A B u u u u r >=222226121=++ ∴A 1B 1与平面A 1FCE 成的角的正弦为sin 36答案：A2. 如图，正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AB=AA 1，则AC 1与平面BB 1C 1C 所成的角的正弦值为（ ）A ．22B ．515 C ．46 D ．36 C 方法：建立如图2所示的空间直角坐标系，设AB=2，则()()113,1,0,(3,1,2)C AC =-u u u u v、A 0,0,2，平面BB 1C 1C 的一个法向量为(1,0,0)n =v，所以AC 1与平面BB 1C 1C 所成的角的正弦值为113648AC n AC n⋅==u u u u v v u u u u v v 。