浙江省初三数学竞赛培优训练题
例题与求解
【例1】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4．若以C为圆心，R为半径所作的圆与斜边AB只有一个公共点，则R的取值范围是．（北京市宣武区中考试题）
解题思路：圆与斜边只有一个公共点，则圆与斜边相切或圆与斜边相交．
【例2】解方程：｜x－2｜+｜x+3｜=x+10．
解题思路：解绝对值方程的关键是去方程左边的绝对值符号，这就要对x的取值范围进行分类讨论．需分下列三种情况：①x≤－3；②－3＜x≤2；③x＞2．
【例3】若关于x的方程(6－k)(9－k)x2－(117－15k)x+54=0的解都是整数，则符合条件的整数k的值有___________．（全国初中数学竞赛试题）
解题思路：用因式分解法可得到根的简单表达式，因方程的类型未指明，故须按一次方程、二次方程两种情形讨论，这样确定k的值才能全面而准确．
【例4】如图，已知△ABC中，AB=5，BC=3，AC=4，PQ∥AB，P点在AC上（与点A，C不重合），Q在BC上．
(1)当△PQC的面积与四边形PABQ的面积相等时，求CP的长；
(2)当△PQC的周长与四边形PABQ的周长相等时，求CP的长；
(3)试问：在AB上是否存在点M，使得△PQM为等腰直角三角形？若不存在，请简要说明理由；若存在，请求出PQ的长．（福州市中考试题）
解题思路：对于(3)，使△PQM为等腰直角三角形有两种情况：一是以PQ为直角边，二是以PQ 为斜边．
【例5】证明：每个大于6的自然数n 都可表示为两个大于1且互质的自然数之和．（全国初中数学联赛试题）
解题思路：由于自然数可分为奇数、偶数两大类，因此，很容易考虑到按奇数、偶数分类讨论．
【例6】设a 和b 是相异实数，证明：存在整数m 和n ，使得0>+bn am ，0<+an bm ． （加拿大中学生竞赛试题）
解题思路：a ，b 为相异实数，则必有a －b >0或a －b <0两种情况．
能力训练
1．已知a +b =－8，ab =8，化简b a
b
a
a b
+= ． （内江市中考试题） 2．已知实数a ，b 满足以a 2－7a +2=0，a 2－7b +2=0，则
b a
a b
+的值为 ． （淮阴市中考试题）
3．在△ABC 中过A 作△ABC 的高，垂足为D ．若∠BAD =55°，∠CAD =25°，则∠BAC = ． 4．在平面直角坐标系内，已知点A (2，2)，B （2，－3），点P 在y 轴上，且△APB 为直角三角形，则点P 的个数为 ．（河南省竞赛诚题）
5．平面上A ，B 两点到直线l 的距离分别是2－3与2+3，则线段中点C 到直线l 的距离是 ．
6．以线段AB 为直径作一个半圆，圆心为O ，C 是半圆圆周上的一点，且OC 2=AC ·BC ，则∠CAB = ． （全国初中数学联赛试题）
7．如图，在两直角三角形中，∠ACB =∠ADC =90°，AC =6，AD =2．当AB = 时，这两个直角三角形相似．
第7题图第10题图第11题图
8．已知方程m2x2－(2m－3)x+1=0的两个实数根的倒数和是S，则S的取值范围是．（天津市中考试题）
9．关于x的方程x2+4mx+ 4m2+2m+3=0，x2+(2m+1)x+m2=0中，至少有一个方程有实数根，则m 的取值范围是( )
A．－3
2
＜m＜－
1
4
B．m≤－
3
2
或m≥－
1
4
C．－1
4
＜m＜
2
1
D．m≤－
3
2
或m≥
2
1
（四川省选拔赛试题）
10．如图，由25个点构成的5×5的正方形点阵中，横纵方向相邻的两个点之间的距离都是1个单位．定义：由点阵中4个点为顶点的平行四边形叫阵点平行四边形，图中以A，B为顶点，面积为2的阵点平行四边形的个数为( )
A．3个B．6个C．7个D．9个
（武汉市四月调考试题）11．如图，矩形ABCD中，AB=7，AD=3，BE=2EC，若F是AB上的点，使以F，A，D为顶点的三角形和以F，B，E为顶点的三角形相似，则这样的点F有( ) （绍兴市竞赛试题）A．1个B．2个C．3个D．4个
12．下面是某同学在一次测验中解答的填空题：
①若x2=a2，则x=a．
②方程2x(x－1)=x－1的解为x=0．
③若直角三角形有两边长分别为3和4，则第三边长为 5 ．
其中答题完全正确的题目个数为( )
A．0个B．1个C．2个D．3个
（重庆市中考试题）13．在半径为5cm的圆内有长为53cm的弦，则此弦所对的圆周角为( )
A．60°或120°B．30°或120°C．60°D．120°14．如图，在直角梯形ABCD中，AB=7，AD=2，BC=3．如果边AB上的点P使得以P，A，D为顶点的三角形和以P，B，C为顶点的三角形相似，那么这样的点P有( )
A．1个B．2个C．3个D．4个
第14题图 第15题图
15．如图，菱形ABCD 的边长是5，两条对角线交于O 点，且AO ，BO 的长分别是关于x 的方程x 2+(2m －1)x +m 2+3=0的根，则m 的值为 ( ) A ．－3 B ．5或－3 C ．5 D ．－5或3
（吉林省中考试题） 16．已知：关于x 的函数()
()4
1
1232
2
+
++++=x a x a a y 的图象与x 轴总有交点，求a 的取值范围．
（十堰市中考试题）
17．如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，正方形OABC 的边OA ，OC 分别在x 轴，y 轴上，点B 的坐标为(2，2)，反比例函数x
k
y =
（x >0，k ≠0）的图象经过线段BC 的中点D ． (1) 求k 的值；
(2) 若点P (x ，y )在该反比例函数的图象上运动（不与点D 重合），过点P 作PR ⊥y 轴于点R ，作PQ ⊥BC 所在直线于点Q ，记四边形COPR 的面积为S ，求S 关于x 的解析式并写出x 的取值范围．
18．已知△ABC 中，BC =6 cm ，CA =8 cm ，∠C =90°，动点P 从点C 出发，以每秒1 cm 的速度沿
CA，AB运动到B点．
(1)设P从C开始运动的距离为x cm，△BCP的面积为y cm2，把y表示成x的函数；
(2)从C出发几秒时，S△BCP=1
4
S△ABC? （荆州市中考试题）
19．如图，已知⊙O1与⊙O2外切于点O，以直线O1O2为x轴，点O为坐标原点建立直角坐标系，直线AB切⊙O1于点B，切⊙O2于点A，交y轴于点C(0，2)，交x轴于点M；BO的延长线交⊙O2于点D，且OB：OD=1：3．
(1) 求⊙O2的半径长；
(2) 求直线AB的解析式；
(3) 在直线AB上是否存在点P，使△MO2P与△MOB相似？若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由．
（吉林省中考试题）
20．已知抛物线l1：y=ax2－2amx+am2+2m+1(a>0，m>0)的顶点为A，抛物线l2的顶点B在y轴上，且抛物线l1和抛物线l2关于点P(1，3)成中心对称．
(1) 当a=1时，求l2的解析式和m的值；
(2) 设l2与x轴正半轴的交点是C，当△ABC为等腰三角形时，求a的值．
（浙江省竞赛试题）
21．已知定理：“若三个大于3的质数a，b，c满足关系式2a+5b=c，则a+b+c是整数n的倍数，”试问：上述定理中的整数n的最大可能值是多少？并证明你的结论．
（全国初中数学联赛试题）
22．如果对一切x的整数值，x的二次三项式ax2+bx+c都是平方数（即整数的平方），证明：
(1) 2a，2b都是整数；
(2) a，b，c都是整数，并且c是平方数．
反过来，如果(2)成立，是否对一切x的整数值，ax2+bx+c的值都是平方数？
（全国初中数学竞赛试题）
23．2 007个质点均匀分布在半径为R的圆周上，依次记为P1，P2，P3，…，P2007．小明用红色按如下规则去涂这些点：设某次涂第i个质点，则下次就涂第i个质点后面的第i个质点．按此规则，小明能否将所有的质点均涂成红色？若能，请给出一种涂色方案；若不能，请说明理由，、
（浙江省竞赛试题）
24．甲、乙、丙三支乒乓球队，人数都不相同，每队不少于2人，甲队最少，丙队最多．同一球队的队员互相不比赛，不同球队的队员之间都要比赛一场．统计员作了记录：参加比赛的共有13人，进行的比赛共有54场．求甲、乙、丙三支球队的队员数，并说明理由．（江苏省竞赛试题）。