专题研究1 曲线与方程1．已知点A(－1，0)，B(2，4)，△ABC 的面积为10，则动点C 的轨迹方程是( ) A ．4x －3y －16＝0或4x －3y ＋16＝0 B ．4x －3y －16＝0或4x －3y ＋24＝0 C ．4x －3y ＋16＝0或4x －3y ＋24＝0 D ．4x －3y ＋16＝0或4x －3y －24＝0答案 B解析 可知AB 的方程为4x －3y ＋4＝0，又|AB|＝5，设动点C(x ，y)．由题意可知12×5×|4x －3y ＋4|5＝10，所以4x －3y －16＝0或4x －3y ＋24＝0.故选B.2．方程x －1lg(x 2＋y 2－1)＝0所表示的曲线图形是( )答案 D3．动圆M 经过双曲线x 2－y23＝1的左焦点且与直线x ＝2相切，则圆心M 的轨迹方程是( )A ．y 2＝8x B ．y 2＝－8x C ．y 2＝4x D ．y 2＝－4x答案 B解析 双曲线x 2－y23＝1的左焦点F(－2，0)，动圆M 经过F 且与直线x ＝2相切，则圆心M 经过F 且与直线x＝2相切，则圆心M 到点F 的距离和到直线x ＝2的距离相等，由抛物线的定义知轨迹是抛物线，其方程为y 2＝－8x.4．(2017·皖南八校联考)设点A 为圆(x －1)2＋y 2＝1上的动点，PA 是圆的切线，且|PA|＝1，则P 点的轨迹方程为( ) A ．y 2＝2x B ．(x －1)2＋y 2＝4 C ．y 2＝－2x D ．(x －1)2＋y 2＝2答案 D解析 (直译法)如图，设P(x ，y)，圆心为M(1，0)．连接MA ，PM. 则MA⊥PA，且|MA|＝1， 又因为|PA|＝1，所以|PM|＝|MA|2＋|PA|2＝2， 即|PM|2＝2，所以(x －1)2＋y 2＝2.5．(2017·某某市毕业检测)设圆O 1和圆O 2是两个定圆，动圆P 与这两个定圆都外切，则圆P 的圆心轨迹可能是( )A ．①②③⑤B ．②③④⑤C ．①②④⑤D ．①②③④答案 A解析 当两定圆相离时，圆P 的圆心轨迹为①；当两定圆外切时，圆P 的圆心轨迹为②；当两定圆相交时，圆P 的圆心轨迹为③；当两定圆内切时，圆P 的圆心轨迹为⑤.6．已知A(0，7)，B(0，－7)，C(12，2)，以C 为一个焦点作过A ，B 的椭圆，椭圆的另一个焦点F 的轨迹方程是( )A ．y 2－x248＝1(y≤－1)B ．y 2－x248＝1C ．y 2－x248＝－1D ．x 2－y248＝1答案 A解析 由题意，得|AC|＝13，|BC|＝15，|AB|＝14，又|AF|＋|AC|＝|BF|＋|BC|，∴|AF|－|BF|＝|BC|－|AC|＝2.故点F 的轨迹是以A ，B 为焦点，实轴长为2的双曲线下支．∵双曲线中c ＝7，a ＝1，∴b 2＝48，∴轨迹方程为y 2－x248＝1(y≤－1)．7．△ABC 的顶点为A(－5，0)、B(5，0)，△ABC 的内切圆圆心在直线x ＝3上，则顶点C 的轨迹方程是( ) A.x 29－y216＝1 B.x 216－y29＝1 C.x 29－y216＝1(x>3) D.x 216－y29＝1(x>4) 答案 C解析 设△ABC 的内切圆与x 轴相切于D 点，则D(3，0)．由于AC 、BC 都为圆的切线． 故有|CA|－|CB|＝|AD|－|BD|＝8－2＝6. 由双曲线定义知所求轨迹方程为x 29－y216＝1(x>3)．故选C.8．(2017·某某十校联考)在直角坐标平面中，△ABC 的两个顶点A 、B 的坐标分别为A(－1，0)，B(1，0)，平面内两点G ，M 同时满足下列条件：①GA →＋GB →＋GC →＝0，②|MA →|＝|MB →|＝|MC →|，③GM →∥AB →.则△ABC 的顶点C 的轨迹方程为( ) A.x 23＋y 2＝1(y≠0) B.x 23－y 2＝1(y≠0) C ．x 2＋y23＝1(y≠0)D ．x 2－y23＝1(y≠0)答案 C解析 根据题意，G 为△ABC 的重心，设C(x ，y)，则G(x 3，y3)，而M 为△ABC 的外心，∴M 在AB 的中垂线上，即y 轴上，由GM →∥AB →，得M(0，y 3)，根据|MA →|＝|MC →|，得1＋(y 3)2＝x 2＋(y －y 3)2，即x 2＋y 23＝1，又C 点不在x轴上，∴y ≠0，故选C.9.如图，在平面直角坐标系xOy 中，圆x 2＋y 2＝r 2(r>0)内切于正方形ABCD ，任取圆上一点P ，若OP →＝aOA →＋bOB →(a ，b ∈R )，若M(a ，b)，则动点M 所形成的轨迹曲线的长度为( ) A ．π B.2π C.3π D ．2π答案 B解析 设P(x ，y)，则x 2＋y 2＝r 2，A(r ，r)，B(－r ，r)．由OP →＝aOA →＋bOB →，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝（a －b ）r ，y ＝（a ＋b ）r ，代入x 2＋y 2＝r 2，得(a －b)2＋(a ＋b)2＝1，即a 2＋b 2＝12，故动点M 所形成的轨迹曲线的长度为2π.10．已知抛物线y 2＝nx(n<0)与双曲线x 28－y2m＝1有一个相同的焦点，则动点(m ，n)的轨迹方程是________．答案 n 2＝16(m ＋8)(n<0)解析 抛物线的焦点为(n 4，0)，在双曲线中，8＋m ＝c 2＝(n 4)2，n<0，即n 2＝16(m ＋8)(n<0)．11．长为3的线段AB 的端点A ，B 分别在x ，y 轴上移动，动点C(x ，y)满足：AC →＝2CB →，则动点C 的轨迹方程为________________． 答案 x 2＋14y 2＝1解析 设A(a ，0)，B(0，b)，则a 2＋b 2＝9.又C(x ，y)，则由AC →＝2CB →，得(x －a ，y)＝2(－x ，b －y)．即⎩⎪⎨⎪⎧x －a ＝－2x ，y ＝2b －2y ，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3x ，b ＝32y ，代入a 2＋b 2＝9，并整理，得x 2＋14y 2＝1.12．若过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线与其交于M ，N 两点，作平行四边形MONP ，则点P 的轨迹方程为________． 答案 y 2＝4(x －2)解析 设直线方程为y ＝k(x －1)，点M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，P(x ，y)，由OM →＝NP →，得(x 1，y 1)＝(x －x 2，y －y 2)． 得x 1＋x 2＝x ，y 1＋y 2＝y.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1），y 2＝4x ，联立得x ＝x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2.y ＝y 1＋y 2＝4k k2，消去参数k ，得y 2＝4(x －2)．13.如图所示，直角三角形ABC 的顶点坐标A(－2，0)，直角顶点B(0，－22)，顶点C 在x 轴上，点P 为线段OA 的中点． (1)求BC 边所在直线方程；(2)M 为直角三角形ABC 外接圆的圆心，求圆M 的方程；(3)若动圆N 过点P 且与圆M 内切，求动圆N 的圆心N 的轨迹方程． 答案 (1)y ＝22x －2 2 (2)(x －1)2＋y 2＝9(3)49x 2＋45y 2＝1 解析 (1)∵k AB ＝－2，AB ⊥BC ， ∴k CB ＝22.∴BC ：y ＝22x －2 2. (2)在上式中，令y ＝0，得C(4，0)．∴圆心M(1，0)． 又∵|AM|＝3，∴外接圆的方程为(x －1)2＋y 2＝9. (3)∵P(－1，0)，M(1，0)，∵圆N 过点P(－1，0)， ∴PN 是该圆的半径．又∵动圆N 与圆M 内切， ∴|MN|＝3－|PN|，即|MN|＋|PN|＝3.∴点N 的轨迹是以M ，P 为焦点，长轴长为3的椭圆． ∴a ＝32，c ＝1，b ＝a 2－c 2＝54. ∴轨迹方程为49x 2＋45y 2＝1.14．已知动点P(x ，y)与两定点M(－1，0)，N(1，0)连线的斜率之积等于常数λ(λ≠0)． (1)求动点P 的轨迹C 的方程； (2)讨论轨迹C 的形状．答案 (1)x 2－y2λ＝1(λ≠0，x ≠±1) (2)略解析 (1)由题设知直线PM 与PN 的斜率存在且均不为零，所以k PM ·k PN ＝y x ＋1·yx －1＝λ.整理，得x 2－y2λ＝1(λ≠0，x ≠±1)．(2)①当λ>0时，轨迹C 为中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线(除去顶点)； ②当－1<λ<0时，轨迹C 为中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆(除去长轴两个端点)； ③当λ＝－1时，轨迹C 为以原点为圆心，1为半径的圆除去点(－1，0)，(1，0)； ④当λ<－1时，轨迹C 为中心在原点，焦点在y 轴上的椭圆(除去短轴的两个端点)．15．已知点A(－4，4)，B(4，4)，直线AM 与BM 相交于点M ，且直线AM 的斜率与直线BM 的斜率之差为－2，点M 的轨迹为曲线C. (1)求曲线C 的轨迹方程；(2)Q 为直线y ＝－1上的动点，过Q 作曲线C 的切线，切点分别为D ，E ，求△QDE 的面积S 的最小值． 答案 (1)x 2＝4y(x≠±4)(2)4解析 (1)设M(x ，y)，则k AM ＝y －4x ＋4，k BM ＝y －4x －4.∵直线AM 的斜率与直线BM 的斜率的差为－2，∴y －4x ＋4－y －4x －4＝－2，∴x 2＝4y(x≠±4)． (2)设Q(m ，－1)．∵切线斜率存在且不为0，故可设一条切线的斜率为k ，则切线方程为y ＋1＝k(x －m)．联立得方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＋1＝k （x －m ），x 2＝4y ，得x 2－4kx ＋4(km ＋1)＝0.由相切得Δ＝0，将k 2－km －1＝0代入，得x 2－4kx ＋4k 2＝0， 即x ＝2k ，从而得到切点的坐标为(2k ，k 2)． 在关于k 的方程k 2－km －1＝0中，Δ>0，∴方程k 2－km －1＝0有两个不相等的实数根，分别为k 1，k 2，则⎩⎪⎨⎪⎧k 1＋k 2＝m ，k 1·k 2＝－1，故QD⊥QE，S ＝12|QD||QE|.记切点(2k ，k 2)到Q(m ，－1)的距离为d ，则d 2＝(2k －m)2＋(k 2＋1)2＝4(k 2－km)＋m 2＋k 2m 2＋4km ＋4， 故|QD|＝（4＋m 2）（k 12＋1）， |QE|＝（4＋m 2）（k 22＋1）， S ＝12(4＋m 2)1＋1－2k 1k 2＋（k 1＋k 2）2＝12(4＋m 2)4＋m 2≥4， 即当m ＝0，也就是Q(0，－1)时面积的最小值为4.16．已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率为22，过左焦点倾斜角为45°的直线被椭圆截得的弦长为423.(1)求椭圆E 的方程；(2)若动直线l 与椭圆E 有且只有一个公共点，过点M(1，0)作l 的垂线，垂足为Q ，求点Q 的轨迹方程． 答案 (1)x 22＋y 2＝1 (2)x 2＋y 2＝2解析 (1)因为椭圆E 的离心率为22，所以a 2－b 2a ＝22.解得a 2＝2b 2，故椭圆E 的方程可设为x 22b 2＋y 2b 2＝1，则椭圆E 的左焦点坐标为(－b ，0)，过左焦点倾斜角为45°的直线方程为l ′：y ＝x ＋b. 设直线l ′与椭圆E 的交点为A ，B ，由⎩⎪⎨⎪⎧x 22b 2＋y 2b 2＝1，y ＝x ＋b ，消去y ，得3x 2＋4bx ＝0，解得x 1＝0，x 2＝－4b 3.因为|AB|＝1＋12|x 1－x 2|＝42b 3＝423，解得b ＝1.∴a 2＝2，∴椭圆E 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)①当切线l 的斜率存在且不为0时，设l 的方程为y ＝kx ＋m ，联立直线l 和椭圆E 的方程，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 22＋y 2＝1.消去y 并整理，得(2k 2＋1)x 2＋4kmx ＋2m 2－2＝0. 因为直线l 和椭圆E 有且仅有一个交点， 所以Δ＝16k 2m 2－4(2k 2＋1)(2m 2－2)＝0. 化简并整理，得m 2＝2k 2＋1.因为直线MQ 与l 垂直，所以直线MQ 的方程为y ＝－1k (x －1)．联立得方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－1k （x －1），y ＝kx ＋m ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－km1＋k 2，y ＝k ＋m 1＋k2，∴x 2＋y 2＝（1－km ）2＋（k ＋m ）2（1＋k 2）2＝k 2m 2＋k 2＋m 2＋1（1＋k 2）2＝（k 2＋1）（m 2＋1）（1＋k 2）2＝m 2＋11＋k2，把m 2＝2k 2＋1代入上式得x 2＋y 2＝2.(*)②当切线l 的斜率为0时，此时Q(1，1)或(1，－1)，符合(*)式． ③当切线l 的斜率不存在时，此时Q(2，0)或(－2，0)，符合(*)式． 综上所述，点Q 的轨迹方程为x 2＋y 2＝2.1．(2018·某某某某二模)已知动圆M 过定点E(2，0)，且在y 轴上截得的弦PQ 的长为4.则动圆圆心M 的轨迹C 的方程是________． 答案 y 2＝4x解析 设M(x ，y)，PQ 的中点为N ，连MN ，则|PN|＝2，MN ⊥PQ ， ∴|MN|2＋|PN|2＝|PM|2.又|PM|＝|EM|，∴|MN|2＋|PN|2＝|EM|2， ∴x 2＋4＝(x －2)2＋y 2，整理得y 2＝4x. ∴动圆圆心M 的轨迹C 的方程为y 2＝4x.2．已知直线l 与平面α平行，P 是直线l 上一定点，平面α内的动点B 满足PB 与直线l 成30°角，那么B 点轨迹是( ) A ．两条直线 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．抛物线答案 C解析 P 是直线l 上的定点，平面α与直线l 平行，平面α内的动点B 满足PB 与直线l 成30°角，因为空间中过P 与l 成30°角的直线构成两个相对顶点的圆锥，α即为平行于圆锥轴的平面，点B 的轨迹可理解为α与圆锥侧面的交线，所以点B 的轨迹为双曲线，故选C.3．(2018·某某某某二模)已知抛物线x 2＝2py(p>0)，F 为其焦点，过点F 的直线l 交抛物线于A ，B 两点，过点B 作x 轴的垂线，交直线OA 于点C ，如图所示．求点C 的轨迹M 的方程．答案 y ＝－p2解析 依题意可得，直线l 的斜率存在，故设其方程为y ＝kx ＋p2，又设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，C(x ，y)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2py ，y ＝kx ＋p 2⇒x 2－2pkx －p 2＝0⇒x 1·x 2＝－p 2.易知直线OA ：y ＝y 1x 1x ＝x 12p x ，直线BC ：x ＝x 2，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 12p x ，x ＝x 2，得y ＝x 1·x 22p ＝－p2，即点C 的轨迹M 的方程为y ＝－p 2.4．(2014·课标全国Ⅰ，文)已知点P(2，2)，圆C ：x 2＋y 2－8y ＝0，过点P 的动直线l 与圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点． (1)求M 的轨迹方程；(2)当|OP|＝|OM|时，求l 的方程及△POM 的面积． 答案 (1)(x －1)2＋(y －3)2＝2 (2)x ＋3y －8＝0，S △POM ＝165解析 (1)圆C 的方程可化为x 2＋(y －4)2＝16，所以圆心为C(0，4)，半径为4.设M(x ，y)，则CM →＝(x ，y －4)，MP →＝(2－x ，2－y)．由题设知CM →·MP →＝0，故x(2－x)＋(y －4)(2－y)＝0，即(x －1)2＋(y －3)2＝2.由于点P 在圆C 的内部，所以M 的轨迹方程是(x －1)2＋(y －3)2＝2. (2)由(1)可知M 的轨迹是以点N(1，3)为圆心，2为半径的圆． 由于|OP|＝|OM|，故O 在线段PM 的垂直平分线上． 又P 在圆N 上，从而ON⊥PM.因为ON 的斜率为3，所以l 的斜率为－13.故l 的方程为y ＝－13x ＋83，即x ＋3y －8＝0.又|OM|＝|OP|＝22，O 到l 的距离为4105，|PM|＝4105，所以△POM 的面积为165.。