上电荷密度的增加率；（3）在半径r=1mm的球体内总电荷的增加率。
解： （1）
I
J dS
S
2 0
10r r 1.5 2
0
sin d d
|r 1mm
40 r 0.5 |r1mm 3.97( A)
（2）在球面坐标系中
d
dt
J
1 r2
d dr
r 210r 1.5
5r 2.5 |r1mm 1.58 108 A / m3
由电流强度定义：
dq I dt S J (r ) ds dt
V
s J (r )
ds
dq dt
d dt
V
(r )dV
即
J(r)d S
d
(r )dV
S
dt V
电荷守恒定 律积分形式
在等式的左端应用高斯散度定理，将闭合面上的面积分变为体
积分，得
V ( J )dV V t dV
J
eR
z dEz
dE
由对称性和电场的叠加性，合电场只有z
分量，则
E z ez
l dEz
ez l 4 0
l
cos
R2
dl
R
l
r0 O
dl
ez l
4 0
l
z R3
dl
ez l 4 0
z R3
l
dl
2 rl z 4 0 R3
ez
qz
40 R3
ez
结果分析
（1）当z→0，此时P点移到圆心，圆环上各点产生的电场抵消，
J v v v 0
面电流密度
当电流集中在一个厚度趋于零的薄层（如导体表面）中流动时， 电流被认为是表面电流或面电流，其分布情况用面电流密度矢量
Js 来表示。
面电流密度 J s 定义：
如图，设电流集中在厚度为h
的薄层内流动，薄层的横截面S，
Js
n为表示截面方向的单位矢量。显
然穿过截面的电流为
J
0
t
t
电荷守恒定 律微分形式
对电流连续性方程的进一步讨论
1、积分形式反映的是电荷变化与电流流动的宏观关系，而微分形 式则描述空间各点电荷变化与电流流动的局部关系
2、当体积V为整个空间时，闭合面S为无穷大界面，将没有电流经
其流出，电流连续性方程可写成
t
V
dV
0
即整个空间的总电荷是守恒的。
3、对于恒定电流，当电流不随时间变化，空间中电荷分布
（3）由电荷守恒定律得
dq
dt S J dS I 3.97( A)
2.2 库仑定律 电场强度
一、库仑定律
库仑定律描述了真空中两个点电荷间相互作用力的规律
库仑定律内容：如图，电荷q1对
电荷q2的作用力为：
F12
q1 q2
4 0 R 2
eR
q1 q2
4 0 R3
式中： R R
eR
R R
F q0E
F E
q0
对电场强度的进一步讨论
电场强度形成矢量场分布，各点相同时，称为均匀电场 电场强度是单位点电荷受到的电场力，只与产生电场的电荷有关 对静电场和时变电场上式均成立
点电荷产生的电场
单个点电荷q在空间任意点激发的电场为
Fq
E(r ) lim q qs 0 s
4 0R2
eR
q
R
q ( 1 )
也不改变，即：
J 0 t
0
t
则恒定电流的电流连续性方程为
J 0
J d S 0
意义：流入闭合面S的电流等S于流出闭合面S的电流——基尔霍
夫电流方程
4、对于面电流，电流连续性方程为：
l JS
(n dl )
s
S t
dS
J s (n d l ) 0 l
时变面电流 恒定面电流
例 在球面坐标系中，传导电流密度为J=er10r-1.5(A/m)， 求：（1）通过半径r＝1mm的球面的电流值；（2）在半径r=1mm的球面
dQ Nqvdt dS v dSdt J dSdt
通过dS的电流强度为： dI dQ J dS
dQ
dt
J
dt
dI
ej
dS dS
P vdt
物理意义：单位时间内通过垂直电流传播方向单位面积的电量
关于体电流密度的说明
J v 式中： 为空间中电荷体密度，v 为正电荷流动速度
通过截面积S的电流
电荷的几种分布方式：空间中－体积电荷体密度 面上－电荷面密度s 线上－电荷线密度l
体电荷密度
体电荷：电荷连续分布在一定体积内形成的电荷体
体电荷密度 (r ) 的定义
在电荷空间V内，任取体积元V ，其中电荷量为 q
则 (r ) lim q dq
V 0 V dV
q V (r )dV
面电荷密度
面电荷：当电荷只存在于一个薄层上时，称电荷为面电荷
dEr 式中：ds
s ds 4 0
1 R2
cos
ad a sin d s
Q
4 a2
cos r a cos
R
R a2 sin2 (r a cos )2
dEr
s 4 0
r
a cos
R3
a2
sin d d
------=extPa
Er s dEr
s a2 4 0
2
d
0
E
r
1
4 0
V
s
r '
R3
R dS
E
r
1
4 0
l
l
r '
R3
Rdl
面电荷 线电荷
例 图中所示为一个半径为r的带电细圆环，圆环上单位长
度带电l，总电量为q。求圆环轴线上任意点的电场。
解：将圆环分解成无数个线元，每个线元可看成点电荷l(r)dl，
则线元在轴线任意点产生的电场为
dE
1
4 0
l dl
R2
dE(r , r ') (r ')dV ' R R r r ' 4 0 R3
则整个体积V内电荷在P点处产生的电场为：
E(r ) dE(r , r ') 1 (r ') RdV '
V
40 V R3
P(r )
面电荷和线电荷产生的电场只需在上式中将电荷体密度、体积元
和积分区域作相应替换即可，如
Ri
式中: Ri r ri '
EN E1
q2 R2
P(r )
E合 q1
R1 r2 ' r RN
r1 ' O rN '
qN
P(r )
E2
连续分布的电荷系统产生的电场 连续分布于体积V中的电荷在空间任意点r产生的电场
处理思路：
dV
R
1) 无限细分区域
2）考查每个区域 3）矢量叠加原理
r r'
O
设体电荷密度为 (r ) ，图中dV在P点产生的电场为：
E=0
（2）当z→∞，R与z平行且相等，r<<z，带电圆环相当于一个点
电荷，有
E
z
q
4 0 R2
ez
例：求真空中半径为a，带电量为Q的导体球在球外空间 中产生E。 由球体的对称性分析可知： ❖电场方向沿半径方向： ❖电场大小只与场点距离球心的距离相关。
解：在球面上取面元ds，该面元在P点处 产生的电场径向分量为：
体电流密度
电荷在一定体积空间内流动所形成的电流成为体电流
体电流密度 J 定义
如图，设P为空间中的任意点，过P取面积元dS。
设单位体积内有N个带电粒子，所有粒子带有相同的电荷q，且
都以相同的速度v运动，体积中的总电荷将在 dt 时间内经 dS 流
出柱体，可以得到 dt 时间内通过 dS 的电荷量为
dS v
第二章 电磁场中的基本物理量和基 本实验定律
为分析电磁场，本章在宏观理论的假设和实验的基础上， 介绍电磁场中的基本物理量和实验定律。
在静止和稳定的情况下，确立分布电荷与分布电流的概念 物理量；在电荷守恒的假设前提下，确立电流连续性方程。
在库仑实验定律和安培力实验定律的基础上建立电场强度 E和磁感应强度B的概念。
0 为真空中介电常数。0
R
q1 r'
1 109
36
F
R
O
/m
q2
r Rr r'
对库仑定律的进一步讨论
大小与电量成正比、与距离的平方成反比，方向在连线上
多个电荷对一个电荷的静电力是各电荷力的矢量叠加，即
F
i
Fi
q
4 0
i
qi Ri3
Ri
连续分布电荷系统的静电力须通过矢量积分进行求解
二、电场强度矢量 E
Js的方向为空间中电流流动的方向 Js在某点的大小为单位时间内垂直通过单位长度的电量 当薄层的厚度趋于零时，面电流称为理想面电流
只有当电流体密度J趋于无穷，理想面电流密度Js才不为零，即
Js
lim hJ
h0
0
J
线电流和电流元
电荷只在一条线上运动时，形成的电流即为线电流。
电流元Idl ：长度为无限小的线电流元。
电流的物理意义：单位时间内流过曲面S的电荷量
当电荷速度不随时间变化时，电流也不随时间变化，称为恒定 （稳恒）电流
空间各点电荷的流动除快慢不同外，方向可能不同，仅用穿过 某截面的电荷量无法描述电流的分布情况
引入电流密度 J 来描述电流的分布情况
电荷的几种分布方式：空间中－体积电流体密度J 面上－电流面密度Js 线上－线电流I