分式知识点和典型习题（一）、分式定义及有关题型题型一：考查分式的定义1------ 2 21、 下列代数式中：彳匕―v,2-b 上 ',、y，是分式的有：兀 2 『时 x+y x_y '--------2、 下列分式中，最简分式有（）a 3x - y m 2n 2m 1 a 2_2ab b 22，~2 2， 2 2， 2 -，~223x x y m -n m -1 a -2ab -bA . 2个B .3个C . 4个D . 5个3、下列各式：a -b ,x 3 ,5 y,仝x 21 , a b, 1丄（x-y ）中，是分式的共有（ )2x4a —b mA.1个B.2个C.3 个D.4个题型二：考查分式有意义的条件 1、当x 有何值时，下列分式有意义题型三：考查分式的值为0的条件 1、当x 取何值时，下列分式的值为 0.(1)x -4 x 4(2)3x x 22(3)2 x 2 -1(1) x -1x 3(2)罟x2_4(3)2x 2x -3~2x 一5x —6(1)-x y _x -y(3)-a -b题型四：考查分式的值为正、负的条件 1、( 1)当x 为何值时，分式—为正；8 _x(2) 当x 为何值时，分式 5—X 2为负;3 +(x —1)2(3) 当x 为何值时，分式—为非负数.x +3(二) 分式的基本性质及有关题型1 •分式的基本性质:2•分式的变号法则:A A M _ A-：- MB - B M - B 亠 M _a _£ _ a _ a—b b —b b题型一：化分数系数、小数系数为整数系数 1、不改变分式的值，把分子、分母的系数化为整数题型二：分数的系数变号2、不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的首项的符号变为正号(1)1x 1y 3 4(2)0.2a -0.03b 0.04 a b(3)0.4a -b510题型三：考查分式的性质1、若分式—y中X、y的值都增加到原来的3倍，则分式的值(X1A、不变B 、是原来的3倍C 、是原来的- D32 22、若分式中x、y的值都增加到原来的3倍，贝扮式的值(xy1A、不变B 、是原来的3倍C 、是原来的-3 题型三：化简求值题3、已知：x 一1 =2，求x2二的值. 4x x 、若| X - y • 1| ・(2x -3)2 =0，求一1—的值.4x—2y1、已知: 丄 1.5，求2x-3xy 2y的值.x y x 2xy y 已知：冷3，求2a 3a^2b的值. b -ab -a)、是原来的-9)、是原来的-95、已与互为相反数，代数式的值知6若a22a b2_6b 1^0 ,求竺迟的值•7 、如果1 ：：• x ；: 2 ,试化简LL L!1□•凶.3a +5b 2 _x | x 一1| x(三)分式的运算1 •确定最简公分母的方法：①最简公分母的系数，取各分母系数的最小公倍数；②最简公分母的字母因式取各分母所有字母的最高次幕2.确定最大公因式的方法：①最大公因式的系数取分子、分母系数的最大公约数;②取分子、分母相同的字母因式的最低次幕题型一：通分1、将下列各式分别通分(1) -b_____ ；2 2 ?-2ab 3a c -5b c题型二：约分1、约分:(1) (2)(3) 1 x 2-2 ，2， 2x —x 1 —2x x x —x-2 (4) a 2, 12 —a2~16x y ；3；20 xy (2)2(3)x -x -62(4)丄_a—1 ；a —1题型四：化简求值题1、先化简后求值2(1)已知：X—1，求分子 1 -二8 [(- 4 -1)-：-(- --)]的值;x _4 4x 2 x题型三：分式的混合运算1、计算:(1)(乜)3(―)2亠(竺)4;—c 「ab a ⑵Q)3x亠y (x-y2r：-(y —x、2 ；y x)；(5) (x —1)(x 1) (x 1)(x 3) (x 3)(x 5) (6) -4X2-4x 4‘2小1 x -2x)(-x —2 x 1求xy 2 yz -3xzx2y2z2的值;(3)m 亠2n n 2m---- +---- - ---题型五：求待定字母的值 例、若0吕+心，试求M,N 的值.（四）、整数指数幕与科学记数法题型一：运用整数指数幕计算 计算：（1） （a ，）* （be 」）3（ 2） （3x 3y 2z‘），（5xy ，z 3）2(5)(丄-1) C 1)1 (1 - -3)° • (-0.25)2007 42008 3 5 53题型二：化简求值题【例2】已知x x J=5，求（1） x 2x^的值；（2）求x 4x 的值.题型三：科学记数法的计算【例 3】计算：（1） （3 10 冷（8.2 10^）2； （2） （4 10冷2亠（2 10^）3.(3)3 5[(a b) (a -b) ]2[_2 4](4) [(x - y)3(x -y)']2(x - y)-6（五）、分式中的变形求值1、变形代入:① 若a+V=2，则^-2b的值为 _____________ 。
b a a —2b② 已知 匕=上丫，则（3+x ）（3+v ）+x 2的值为<1-x 1+y111③ ----------------------------------------------------- 已知 a • b • c =0，且abc =0，求- _______________ 2 ------------------------------------- 2 ------ 2——2 2 ' r p 2 的值为 ________________ -------------------------------------b +c —a a +c -ba +b -c2、整体代入：1 1 ① 若 ——的值为丄，则 ——的值为 _____________________y 3y 7 4 4y 6y -1 ② 已知丄_丄=丄，则旦_2的值为 ___________ 。
a b a b b a变式：已知 1=—^，贝q - 的值为 ___________ 。
a b a b b a③已知1 一1=5，则的值为的值为x y x + xy _ y丄J ，则2x 3xy-4y的值为2y 32y -3xy -x 已知2x 3xy-2y旦，则丄一1的值为x -2xy _ y 5 x y已知丄 x1X 一-型的变形: x1①若-=3，则x2x4x21__________ 。
变式1:若x — x~=5，贝U x +x^ =3、4、设比值:①若竽二专二宁，且 & “心8，则Ze ------------------------------ .则 3a2b ca -2b -3c5、消元思想:11 1②如果a , b c^1，则c『&裂项:y「6，口 =7 ，则丄」」的值为yz x z x y z7、取倒：①若x 2 一;x21，则42。
1 x -9X 21②已知ab-_b^3，b cac则a b c = ab ac bc①已知 4x —3y -6z = 0 ,x 2y _7z = 0 2 2 22x 3y 6z2 2 2~x 5y 7zxy第二讲分式方程【知识要点】1.分式方程的概念以及解法2.分式方程产生增根的原因3.分式方程的应用题【主要方法】1.分式方程主要是看分母是否有外未知数2. 解分式方程的关健是化分式方程为整式方程；方程两边同乘以最简公分母（一）分式方程题型分析题型一：用常规方法解分式方程1、解下列分式方程提示易出错的几个问题：①分子不添括号；②漏乘整数项；③约去相同因式至使漏根；④忘记验根.题型二：特殊方法解分式方程、解下列方程组x 7 x 9 x 10 x 6x 6 x 8 x 9 x 5 提示：（"换元法，设&=y ；（2）裂项法，咒“光.1 1 1+ (1) x y 2丄+丄_ 1 (2) y z 31_+丄 1 (3) .z x 43.解分式方程的应用题关健是准确地找出等量关系,恰当地设末知数.(1) (2)2x -3=0 (3) (4)2、解下列方程x 1 x—1题型三：求待定字母的值例、若分式方程豊-的解是正数，求a的取值范围.题型五：解分式方程1 •解下列方程：x -1 2x 小(1) 0；x +1 1 _2x(2)(3) 3 1 . 72 x2 -1 2X —X x -1 (4) 2xx 23x -2=2(5) 5x -4 2x 5 12x -4 3x -2 2 (6)丄•丄」丄x 1 x 5 x 2 x 47 x2 x（二）分式方程的特殊解法解分式方程，主要是把分式方程转化为整式方程，通常的方法是去分母，并且要检验, 但对一些特殊的分式方程，可根据其特征，采取灵活的方法求解，现举例如下:一、交叉相乘法例1 •解方程：1 =—x x +2 二、化归法例2•解方程：匕-是‘三、左边通分法例3：解方程：「一二8 x —7 7—x 四、观察比较法例4.解方程: 4x 5x-2 17----- +-------- ———5x -2 4x 4五、分离常数法六、分组通分法例5 •解方程: 例6 •解方程:x的方程F •耳土二享！有增根x =1，求k的值。
x-x x+x X-12ax+3 55、当a= 时，关于x的方程 ---------- =-的解是x=1.a —x 426当分式心与分式x严2的值相等时，x须满足 ________________1、若分式方程工m2_x无解'2、若关于x的方程x k2x -1 x23、若关于x分式方程二分式方程求待定字母值的方法求m的值。
-1 x 1—不会产生增根，求k的值。
k詳有增根，求k的值。
x -2 x 2 x2-4 4、若关于X —1 x2-1分式方程应用题•行程问题(1)一般行程问题1、从甲地到乙地有两条公路：一条是全长600K m的普通公路，另一条是全长480K m的高速公路。
某客车在高速公路上行驶的平均速度比在普通公路上快45Km由高速公路从甲地到乙地所需的时间是由普通公路从甲地到乙地所需时间的一半，求该客车由高速公路从甲地到乙地所需要的时间。
2、我军某部由驻地到距离30千米的地方去执行任务，由于情况发生了变化，急行军速度必需是原计划的1.5倍，才能按要求提前2小时到达，求急行军的速度。
3、一列火车从车站开出，预计行程450千米，当它开出3小时后，因特殊任务多停一站,耽误30分钟，后来把速度提高了0.2倍，结果准时到达目的地，求这列火车的速度。
(2)水航问题1、轮船顺水航行80千米所需要的时间和逆水航行60千米所用的时间相同。