线段的定比分点公式的应用一、难点知识剖析（一）、在运用线段的定比分点坐标公式时，要注意(x 1，y 1)是起点的坐标，(x 2，y 2)是终点的坐标，(x ，y)表示分点的坐标，在每个等式中涉及到四个不同的量，它们分别表示三个坐标和定比λ，只要知道其中任意三个量，便可求第四个量．（二）、如何确定定比分点坐标公式中的λ1、由坐标确定：分点坐标终点坐标起点坐标分点坐标--=--=--=y y y y x x x x 2121λ2、由12PP PP λ=确定：先求||||||21PP P P =λ（不能错误的表示为21PP PP =λ）再据P P 1与2PP的方向决定λ的符号． 例：设点P 1（),11y x ，),(222y x P ，点P 是直线 21P P 上任意一点，且满足 12PP PP λ=，求点P 的坐标.（三）、特殊情况的分析1、λ＝0时，分点P 与起点P 1重合2、λ＝1时，分点P 为线段P 1P 2的中点3、λ不可能等于－1（若λ＝－1，则P 1、P 2重合，与P 1P 2为线段矛盾） ∴λ∈(－∞，－1)∪(－1，＋∞)4、无论λ取何实数（当然λ≠－1）分点P 不可能与终点P 2重合二、例题讲解例1、已知点A 分有向线段的比为2，求下列定比λ：（1）A 分的比；（2）B 分的比；（3）C 分的比．分析：本题直接用公式计算不太方便，若画出图表就一目了然．解答：因为A分的比为2，所以A在BC之间，且|BA|＝2|AC|（如图所示）例2、已知P分所成的比为λ，O为平面上任意一点，．求证：线段定比分点向量公式证明：∵P分所成比为λ，例3、已知三点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D点内分的比为，E在BC上，且使△BDE的面积是△ABC面积的一半，求向量的坐标．（提示：三角形面积等于两边与其夹角正弦乘积的一半）分析：要求的坐标，就要求D点的坐标，也要求E点的坐标．由于E点在线段BC上，且已知B、C两点的坐标，因此我们只要能确定E分有向线段的比，应用定比分点公式就能求出E点的坐标，将E点坐标减去D点的坐标就可得到向量．解答：如图所示，∵D点内分的比为，设E分有向线段的比为λ，由题设条件可知： 例5．已知a 、b 不共线，b a +=OA ，b a -=2OB ，将符合下列条件的OC 向量写成b a n m +的形式：（1）点C 分AB 所成的比2=λ，求OC ；（2）点C 分BA 所成的比3-=λ，求OC .分析：借助定比分点的概念解题。

解：（1）由CB AC λ=，得()OC OB OA OC -=-λ，即 OB OA OC λλλ+++=111.故 ()()b a b a -++=+++=23231212211OB OA OC ， 即 b a 3135-=OC . （2）由上可知()()b a b a +--+--=+++=3132311111OA OB OC λλλ 即 b a 2211++=OC . 小结：本题从表面上看不涉及分点的坐标问题，但利用定比分点的概念，导出了OB OA OC λλλ+++=111这个与定比λ有关的等式，这实际上是定比分点坐标公式的另一种表现形式，即向量形式. 值得注意的是，这个等式在解决与向量有关的一些数学问题时很有用处。

例6、如图所示，已知直线l 过点)9,4(-P 和点)3,2(-Q ，l 与x 轴，y 轴交于M 点和N 点．求：点M 分PQ 所成的比λ，点N 的坐标．分析：设点)0,(0x M ，则可由MQ P M y y y y --=λ可求得λ的值．同样方法可求N 点分PQ 所成的比λ'再用定比分点坐标公式，求得N y ．解：设点)0,(0x M )9,4(-P ，)3,2(-Q ，∴点M 分PQ 所成的比303)9(0=---=λ 设N 点分PQ 所成的比为λ'，同理可得2='λ121329-=+⨯+-=∴N y N ∴点坐标是)1,0(-小结：记住定比分点坐标公式，要注意起点坐标在前不乘以λ．本题也可以这样求点M 分PQ 所成的比λ，设)0,(0x M ，根据定比分点坐标分式得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++-=+-=.139,1240λλλλO x 解之⎪⎩⎪⎨⎧=-=.3,210λx 在求λ时也要注意讨论如已知点P 在直线MN 上，且PN MP 2=，求点P 分MN 所成的比λ．（1）当P 点在M 、N 之间时，2==PN MPλ；（2）当P 点在MN 延长线上时，2-=-=PN MP λ.例7、如图所示，已知矩形ABCD 中，)1,2(A ，)4,5(B ，)6,3(C ，E 点是CD 边的中点，连结BE 与矩形的对角线AC 交于F 点，求F 点坐标．分析：F 点在AC 上，若知道F 点分AC 所成的比，则可根据定比分点坐标公式可求F 点坐标，由题意知ABF ∆∽CEF ∆且CE AB 2=，由此知CF AF 2=，即F 点分AC 所成的比2=λ．解： 四边形ABCD 是矩形，E 是CD 边的中点，ABF ∆∴∽CEF ∆，且CE AB 2=CF AF 2=∴即点F 分AC 所成的比2=λ设),(y x F ．由)1,2(A ，)6,3(C ，根据定比分点坐标公式得3821322=+⨯+=x ，31321621=+⨯+=y F ∴点坐标是)313,38( 小结：同理点F 分BE 所成的比2=λ，由此可求得E 点坐标是)29,23(，再由中点坐标公式可求得D 点坐标是)3,0(．在直角坐标系中，求点的坐标，定比分点坐标公式是重要的思想和和工具．E 点和D 点坐标，也可根据AB EC 21=和AB DC =求得，当然F 点坐标也可根据FC AF 2=求得，即)6,3(2)1,2(y x y x --=--，所以 ⎩⎨⎧-=--=-).6(21),3(22y y x x 解之38=x ，313=y ． 例8．若直线2--=ax y 与连接()1,2-P 、()2,3Q 两点的线段有交点，求实数a 的取值范围．分析：当直线与线段PQ 有交点时，这个交点分有向线段PQ 所成的比λ不小于0，从而得到关于a 的不等式，但应注意考虑端点的情况．解：当直线过P 点时，有122=-a ，∴23=a . 当直线过Q 点时，有223=--a ，∴34-=a . 当直线与线段PQ 的交点在P 、Q 之间时，设这个交点M 分PQ 的比为λ，它的坐标为()00,y x M ，则λλ++-=1320x ，λλ++=1210y . 而直线过M 点，则2132121-++-⋅-=++λλλλa ， 整理，得4332+-=a a λ. 由0>λ，得04332>+-a a ，解得34-<a 或23>a . 故所求实数a 的取值范围为34-≤a 或23≥a 。

小结： (1)定比λ的符号是求解本题的关键．应当注意，当点P 在线段21P P 上时，0≥λ；当点P 在线段21P P 或12P P 的延长线上时，0<λ. 切不可将之混为一谈．（2）恰当地利用定比λ的几何意义，可以解决某些看似与定比分点坐标公式无关的数学问题．例9．已知ABC ∆的三顶点坐标分别为()1,1A ，()3,5B ，()5,4C ，直线AB l //，交AC 于D ，且直线l 平分ABC ∆的面积，求D 点坐标．分析：本题是平面几何知识与定点分点公式的综合应用题，解题时，应先确定D 分CA 的比，再利用公式求解．解：设直线交BC 于E ，依题意，2:1:=CAB CDE S S ∆∆，又因为DE//AB ，故CDE ∆∽CAB ∆，所以2:1:=CA CD ，12:+=AD CD ． 即点D 分CA 的比为12+=λ．设D 的坐标为()y x ,，由定比分点公式有2238121124-=++++=x ，225121125-=++++=y ． ∴ D 点的坐标为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--225,2238． 小结：求解定比分点坐标的关键是求出定比λ的值． 求λ的值，除注意λ的符号外，还常常用到平面几何知识，如相似形的性质，比例线段等等．例10．已知()3,2A ，()5,1-B ，且AB AC 31=，AB AD 3=，求点C 、D 的坐标. 分析：借助线段的定比分点式求解.解：设()11,y x C ，()22,y x D . 由AB AC 31=，可得()CB AC AC +=31，即CB AC 21=，21=λ. 运用定比分点公式可知()⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=+⨯+==+-⨯+=.3112115213,1211121211y x 仿上可求得 72-=x ，92=y综上可知，欲求C 、D 两点坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛311,1C ，()9,7-D . 小结：对于本题欲求C 点的坐标时，也可以由AB AC 31=，得到AC BA 3-=，从而由定比公点公有()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+=--+-=,31353,3131211y x 得11=x ，3111=y . 同理，也可以由AD BA 31-=求得D 点坐标，这表明，我们在利用定点比分点公式时，既要注意使用公式的前提，同时也要注意灵活地使用公式。

例11 、已知ABC ∆的三个顶点的坐标为),6,3(),0,4(),0,0(C B A ，边CA BC AB ,,的中点分别为F E D ,,，且ABC ∆的重心为G ，求：（1）CD BF AE ,,；（2）GC GB GA ,,；（3）CD BF AE ++；（4）GC GB GA ++．分析 解此题可首先利用中点坐标公式分别求得各边中点F E D ,,的坐标，再利用三角形重心G 的坐标公式求得G 的坐标，最后利用平面向量坐标表示及运算法则计算所求的向量．解 ∵),6,3(),0,4(),0,0(C B A ，且F E D ,,分别为CA BC AB ,,的中点，G 为ABC ∆的重心， ∴)3,23(),3,27(),0,2(F E D ． 重心⎪⎭⎫ ⎝⎛++++3600,3340G ，即⎪⎭⎫ ⎝⎛2,37G ． （1）)3,27()03,027(=--=AE )3,25()03,423(-=--=BF )6,1()60,32(--=--=CD（2）)2,37()20,370(--=--=GA )2,35()20,374(-=--=GB ， )4,32()26,373(=--=GC （3）)0,0()633,12527()6,1()3,25()3,27(=-+--=--+-+=++CD BF AE 0=++∴CD BF AE（4）)0,0()422,323537()4,32()2,35()2,37(=+--++-=+-+--=++GC GB GA0=++∴GC GB GA小结：本题中的（3），（4）具有一般性，我们将在例5中作一般结论的推证，另外结论（3）与（4）本身有着必然的联系，因为G 为ABC ∆的重心，AE 是ABC ∆的中线，故E G A ,,三点共线，而且AE AG 32=，即AE GA 32-=，同理CD GC BF GB 32,32-=-=． 故 0)(32=++-=++CD BF AE GC GB GA ．例12.已知1,1a b <<，求证：11a b ab+<+。