大学生数学竞赛模拟题一
一、填空题(共有 5 小题，每小题 6 分，共 30 分) 1.
e e 求极限： lim x 0 n 2.
x 2x
e ，其中 n 是给定的正整数.
nx
e x
若曲线 y x 2 ax b 与 2 y xy 3 1 在点 (1, 1)处相切，求常数 a, b.
1 dx (b a) 2 . f ( x)
四、(本题满分 14 分)
(1) 验证函数 y ( x) 1 x3 x 6 x9 3! 6! 9!


x 3n (3n)!
( x ) 满足
微分方程：y '' y ' y e x； (2) 利用 (1) 的结果求幂级数 x 3n 的和函数. n 0 (3n)!

二、(本题满分 12 分)
证明：奇数次多项式 p( x) a0 x 2 n 1 a1 x 2 n 至少存在一个零点. a2 n 1 (a0 0)
三、(本题满分 14 分)
设在区间[a, b]上f ( x)连续且恒大于零，试用二重积分证明不等式：
b a b 分 15 分) ( x y )dx ( x y )dy 计算 ，其中 L 是 L x2 y2
(1) 不包围也不通过原点的任意闭曲线； (2) 以原点为中心的正向的单位圆； (3) 包围原点的任意正向闭曲线.
2
3. 设可微函数 f ( x) 满足： f (t )d t
0 x x x2 tf ( x t )d t ，求 f ( x) . 0 2
4.
设 f ( x) lim x 2 n 1 ax 2 bx 为连续函数，试确定 a 和 b 的值. n x2n 1
5.
x2 y 2 z 2 设 ( x, y, z ) 为原点到椭球面 ： 2 2 2 1 (a 0，b 0，c 0) 上 a b c 点 ( x, y, z ) 处的切平面的距离，求 ( x, y, z )dS .
1
五、(本题满分 15 分)
1 1 设 z z ( x, y ) 是由方程 F ( z ，z ) 0 确定的隐函数， x y 且具有连续的二阶偏导数. 求证：
2 2 z 2 z 2 z 3 z 3 z x y 1 和 x xy ( x y ) y 20 x y xy x 2 y 2 2