工程数学作业（第三次）(满分100分)
第4章 随机事件与概率
（一）单项选择题
⒈A B ,为两个事件，则（ B ）成立．
A. ()A B B A +-=
B. ()A B B A +-⊂
C. ()A B B A -+=
D. ()A B B A -+⊂
⒉如果（ C ）成立，则事件A 与B 互为对立事件．
A. AB =∅
B. AB U =
C. AB =∅且AB U =
D. A 与B 互为对立事件
⒊10张奖券中含有3张中奖的奖券，每人购买1张，则前3个购买者中恰有1人中奖的概率为（D ）．
A. C 10320703⨯⨯..
B. 03.
C. 07032..⨯
D. 307032
⨯⨯.. 4. 对于事件A B ,，命题（C ）是正确的．
A. 如果A B ,互不相容，则A B ,互不相容
B. 如果A B ⊂，则A B ⊂
C. 如果A B ,对立，则A B ,对立
D. 如果A B ,相容，则A B ,相容
⒌某随机试验的成功率为)10(<<p p ,则在3次重复试验中至少失败1次的概率为（D ）．
A.3)1(p -
B. 31p -
C. )1(3p -
D. )1()1()1(223p p p p p -+-+-
6.设随机变量X B n p ~(,)，且E X D X ().,().==48096，则参数n 与p 分别是（A ）．
A. 6, 0.8
B. 8, 0.6
C. 12, 0.4
D. 14, 0.2
7.设f x ()为连续型随机变量X 的密度函数，则对任意的a b a b ,()<，E X ()=（A ）．
A.
xf x x ()d -∞
+∞⎰ B. xf x x a b ()d ⎰ C. f x x a b ()d ⎰ D. f x x ()d -∞+∞
⎰
8.在下列函数中可以作为分布密度函数的是（B ）． A. f x x x ()sin ,,=-<<⎧⎨⎪⎩⎪ππ2320其它 B. f x x x ()sin ,,
=<<⎧⎨⎪⎩⎪020π其它 C. f x x x ()sin ,,=<<⎧⎨⎪⎩
⎪0320π其它 D. f x x x ()sin ,,=<<⎧⎨⎩00π其它
9.设连续型随机变量X 的密度函数为f x ()，分布函数为F x ()，则对任意的区间(,)a b ，则=<<)(b X a P （ D ）．
A. F a F b ()()-
B.
F x x a b ()d ⎰ C. f a f b ()()- D.
f x x a b ()d ⎰ 10.设X 为随机变量，E X D X (),()==μσ2，当（C ）时，有E Y D Y (),()==01．
A. Y X =+σμ
B. Y X =-σμ
C. Y X =-μ
σ D. Y X =-μσ2
（二）填空题
⒈从数字1,2,3,4,5中任取3个，组成没有重复数字的三位数，则这个三位数是偶数的概率为52． 2.已知P A P B ().,().==0305
，则当事件A B ,互不相容时，P A B ()+= 0.8 ，P AB ()= 0.3 ．
3.A B ,为两个事件，且B A ⊂，则P A B ()+=()A P ．
4. 已知P AB P AB P A p ()(),()==，则P B ()=P -1．
5. 若事件A B ,相互独立，且P A p P B q (),()==，则P A B ()+=pq q p -+．
6. 已知P A P B ().,().==0305
，则当事件A B ,相互独立时，P A B ()+= 0.65 ，P A B ()= 0.3 ．
7.设随机变量X U ~(,)01，则X 的分布函数F x ()=⎪⎩
⎪⎨⎧≥<<≤111000x x x x ．
8.若X B ~(,.)2003，则E X ()= 6 ．
9.若X N ~(,)μσ2，则P X ()-≤=μσ3)3(2Φ．
10.E X E X Y E Y [(())(())]--称为二维随机变量(,)X Y 的 协方差 ．
（三）解答题
1.设A B C ,,为三个事件，试用A B C ,,的运算分别表示下列事件：
⑴ A B C ,,中至少有一个发生；
⑵ A B C ,,中只有一个发生；
⑶ A B C ,,中至多有一个发生；
⑷ A B C ,,中至少有两个发生；
⑸ A B C ,,中不多于两个发生；
⑹ A B C ,,中只有C 发生．
解:(1)C B A ++ (2)C B A C B A C B A ++ (3) C B A C B A C B A C B A +++
(4)BC AC AB ++ (5)C B A ++ (6)C B A
2. 袋中有3个红球，2个白球，现从中随机抽取2个球，求下列事件的概率： ⑴ 2球恰好同色；
⑵ 2球中至少有1红球．
解:设A =“2球恰好同色”，B =“2球中至少有1红球”
521013)(2522
23=+=+=C C C A P 1091036)(25
231213=+=+=C C C C B P 3. 加工某种零件需要两道工序，第一道工序的次品率是2%，如果第一道工序出次品则此零件为次品；如果第一道工序出正品，则由第二道工序加工，第二道工序的次品率是3%，求加工出来的零件是正品的概率．
解：设=i A “第i 道工序出正品”（i=1,2）
9506.0)03.01)(02.01()|()()(12121=--==A A P A P A A P
4. 市场供应的热水瓶中，甲厂产品占50%，乙厂产品占30%，丙厂产品占20%，甲、乙、丙厂产品的合格率分别为90%,85%,80%，求买到一个热水瓶是合格品的概率．
解：设""1产品由甲厂生产=A ""2产品由乙厂生产=A ""3产品由丙厂生产=A
""产品合格=B
)|()()|()()|()()(332211A B P A P A B P A P A B P A P B P ++=
865.080.02.085.03.09.05.0=⨯+⨯+⨯=
5. 某射手连续向一目标射击，直到命中为止．已知他每发命中的概率是p ，求所需设计次数X 的概率分布．
解：P X P ==)1(
P P X P )1()2(-==
P P X P 2)1()3(-==
…………
P P k X P k 1)1()(--==
…………
故X 的概率分布是
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡⋯⋯-⋯⋯--⋯⋯⋯⋯-p p p p p p p k k 12)1()1()1(321
6.设随机变量X 的概率分布为
012345601015
020*********.......⎡⎣⎢⎤⎦⎥
试求P X P X P X (),(),()≤≤≤≠4253．
解：
87.012.03.02.015.01.0)4()3()2()1()0()4(=++++==+=+=+=+==≤X P X P X P X P X P X P 72.01.012.03.02.0)5()4()3()2()52(=+++==+=+=+==≤≤X P X P X P X P X P 7.03.01)3(1)3(=-==-=≠X P X P
7.设随机变量X 具有概率密度
f x x x (),,=≤≤⎧⎨⎩
2010其它 试求P X P X (),()≤<<1214
2． 解：4
12)()21(21022102
1
====≤⎰⎰∞-x xdx dx x f X P 16
152)()241(14121412
41
====<<⎰⎰x xdx dx x f X P 8. 设X f x x x ~(),,=≤≤⎧⎨⎩
2010其它，求E X D X (),()． 解：32322)()(10310
==⋅==⎰⎰+∞
∞-x xdx x dx x xf X E 2
1422)()(10410222==
⋅==⎰⎰+∞∞-x xdx x dx x f x X E 181)32(21)]([)()(222=-=-=x E X E X D 9. 设)6.0,1(~2N X ，计算⑴P X (..)0218
<<；⑵P X ()>0． 解：
8164.019082.021)33.1(2)33.1()33.1()33.12.0133.1()8.12.0(=-⨯=-Φ=-Φ-Φ=<-<
-=<<X P X P 0475.09525.01)67.1(1)67.16
.01()0(=-=Φ-=<-=>X P X P 10.设X X X n 12,,, 是独立同分布的随机变量，已知E X D X (),()112==μσ，设
X n X i i n
==∑11，求E X D X (),()． 解：)]()()([1)(1)1()(21211n n n i i X E X E X E n X X X E n X n
E X E +⋯⋯++=+⋯⋯++==∑= μμ==n n
1
)]()()([1)(1)1()(2122121n n n i i X D X D X D n X X X D n X n
D X D +⋯⋯++=+⋯⋯++==∑= 22211σσn n n =⋅=。