g ( xik ,y jk )zk
k 1,2,
当( X ,Y )为连续r.v.时，
FZ (z) P(Z z) P(g(X ,Y ) z)
f (x, y)dxdy
其中
D
Dz
: {(x, y) | g(x, y) z}
z
D : {(x, y) | g ( x, y) z} 的几何意义：
z
(2)
特别地，若X ,Y 相互独立，则
记作
fZ (z) fX (x) fY (z x)dx fX (z) fY (z)
z (3)
或
记作
fZ (z) fX (z y) fY ( y)dy fX (z) fY (z)
z (4)
称之为函数 f X ( z) 与 f Y ( z)的卷积
P 1 4 1 4 1 6 1 8 1 8 1 12
( X,Y ) (-1,-1) (-1,0)(1,-1) (1,0) (2,-1) (2,0) X +Y -2 -1 0 1 1 2 X -Y 0 -1 2 1 3 2 X Y 1 0 -1 0 -2 0 Y / X 1 0 -1 0 -1/2 0
3 x, 0 x 1, 0 y x
f
(x,
y)
0,
其他
Z = X + Y ,求 f Z (z)
解法一 （图形定限法）
由公式（1）
fZ (z)
f (x, z x)dx
3 x, 0 x 1, x z 2x
f
(x,
z
x)
0,
当z<0或z>2,
其他
z
z
f Z (z) = 0
当 0 ≤ z < 1,
z
1 0.5 0
-0. 5
-1
1 0.7 5
Dz
0.5
0.2 5
0
-1 -0. 5 0 0.5 1
离散型二维 r.v.的函数
例1 设二维r.v.( X,Y )的概率分布为
pij X -1
1
2
Y
-1
14 16 18
0
1 4 1 8 1 12
求X Y, X Y, XY,Y X 的概率分布
解 根据( X,Y )的联合分布可得如下表格：
1
0 fY (z x)dx
z=x 1
fY
(
z
x)
1, 0,
z 1 x z 其他
1x
1
0 fY (z x)dx
0,
z
0 1dx, 1
1dx, z1
z 0或z 2, 0 z 1,
1 z 2,
0,
f
Z
(
z
)
z,
2 z,
z 0或z 2 0 z 1 1 z 2
解法二 从分布函数出发 y
k
P(Z k) P(X i,Y k i),
i0
k i 1
e e 1
k i 2 2
i0 i! (k i)!
e 1 2 k!
i
k 0
k! i!(k
i)!1i k2i
(1 2 )k e12
k!
k 0,1,2,
二维连续r.v.函数的分布
问题 已知r.v.( X ,Y )的d.f.数，
FZ (z) P(Z z)
P(X Y z)
f (x, y)dxdy
x yz
zx
dx
f (x, y)dy
或
zy
dy
f (x, y)dx
•z •z
z
fZ (z) f (x, z x)dx
z (1)
或
fZ (z) f (z y, y)dy
故得 X+Y
P
-2 -1 0 1 2
1 4 1 4 1 6 1 4 1 12
X - Y -1 0 1 2 3
P 14 14 18 14 18
X Y -2 -1 0 1
P 1 8 1 6 11 24 1 4
Y /X -1 -1/2 0 1
P 1 6 1 8 11 24 1 4
具有可加性的两个离散分布
例2 已知( X ,Y ) 的联合d.f.为
f
(x,
y)
1, 0,
0 x 1,0 y 1 其他
Z = X + Y ,求 f Z (z)
解法一（图形定限法）
显然X ,Y 相互独立,且
f
X
(
x)
1, 0,
0 x1 其他
fY
(
y)
1, 0,
0 y1 其他
z
fZ (z) fX (x) fY (z x)dx 2
1 FZ (z) P( X Y z)
f (x, y)dxdy
1
x yz
x
当z < 0 时，
FZ (z) 0
当0 z < 1 时，
z
zx
FZ (z) 0 dx0 1dy
z
0(z x)dx
z2 /2
fZ (z) z
y 1
•z
•z
1 x
当1 z < 2 时，
1 zx
FZ (z) (z 1)
设 X ~B (n1, p), Y ~B (n2, p), 且独立， 则 X + Y ~ B ( n1+n2, p)
设 X ~ P (1), Y ~ P (2), 且独立， 则 X + Y ~ P(1+ 2)
Poisson分布可加性的证明
X ~ P(1), Y ~ P(2), 则
Z = X + Y 的可能取值为 0,1,2, ,
g(x,y)为已知的二元函数，
求 Z= g( X ,Y ) 的d.f.
方法
从求Z 的分布函数出发,将Z 的分布函数 转化为( X ,Y )的事件
建立新的二维r.v.(Z ,X )或(Z, Y ), 求其边缘分布得Z 的d.f.
(1) 和的分布：Z = X + Y
设( X ,Y )的联合d.f.为 f (x,y), 则
§3.4 二维 r.v.函数的分布
问题 已知r.v.( X ,Y )的概率分布, g(x, y) 为已知的二元函数,
求 Z = g( X ,Y )的概率分布
方法 转化为( X ,Y )的事件
当( X ,Y )为离散r.v.时, Z 也离散
Z zk g(xik , y jk )
P(Z zk ) P(X xik ,Y yjk )
fZ (z)
z 3xdx 9 z2
z/2
8
当 1 ≤ z < 2,
2 z
1 z
z
x
x=1
fZ (z)
1 3xdx 3 (1 z2 )
z/2
24
f
Z
(
z)

3 2
(1
9 8
z2 z2 4
, ),
0,
0 z 1 1 z 2
dx
z 1
0
1dy
1
z
1
(z z1
x)dx
2z z2 / 21
y 1 •z
z-1 1•zx
fZ (z) 2 z
y
当2 z 时，
2
FZ (z) 1
1
fZ (z) 0
0, z 0或 z 2
fZ
(z)
z,
0 z1
2
z,
1 z2
1
2 x
例3 已知 ( X ,Y ) 的联合 d.f.为