创新方案系列丛书
第 1 课时 柱体、锥体、台体的表面 积与体积
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[核心必知] 1．预习教材，问题导入 根据以下提纲，预习教材 P23～P27， 回答下列问题．
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(1)在初中我们已经学过正方体和长方体的表面积，以 及它们的展开图(教材图 1.3－1)，你知道正方体和长方体 的展开图的面积与正方体和长方体的表面积的关系吗？
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练一练
1．(2016·泸州高一检测)已知棱长为
a，各面均为等边三角形的四面体 S-ABC，
Hale Waihona Puke 求它的表面积．解：过点 S 作 SD⊥BC，交 BC 于点 D.
因 为 BC ＝ a ， SD ＝ SB2－BD2 ＝
a2－a22＝
3 2 a.
所以 S△SBC＝12BC·SD＝12a× 23a＝ 43a2.
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①能否计算出“祥云”火炬的外层 着色需要覆盖多大的面积？
提示：可以，即计算圆台的表面积． ②能否计算其内部能盛装多少液态 的丙烷？
提示：可以，即计算其容积．
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2．归纳总结，核心必记 (1)多面体的表面积 多面体的表面积就是 各个面 的面积 的和，也就是 展开图 的面积．
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圆柱 圆锥
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(2)旋转体的表面积 底面积：S 底＝ πr2
侧面积：S 侧＝2πrl
表面积：S＝ 2πrl＋2πr2 底面积：S 底＝ πr2
侧面积：S 侧＝πrl
表面积：S＝ πrl＋πr2
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圆台
上底面面积：S ＝ 上底 πr′2 下底面面积：S ＝ 下底 πr2 侧面积：S 侧＝ πl(r＋r′) 表面积：S＝ π(r′2＋r2＋r′l＋rl)
讲一讲 1．(1)将边长为 1 的正方形以其一边 所在的直线为旋转轴旋转一周，所得几何 体的侧面积是( ) A．4π B．3π C．2π D．π
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(2)(2016·潍坊高一检测)轴截面是正 三角形的圆锥称作等边圆锥，则等边圆锥 的侧面积是底面积的( )
A．4 倍 B．3 倍 C. 2倍 D．2 倍 [尝试解答] (1)由几何体的形成过 程知所得几何体为圆柱，底面半径为 1， 高为 1，其侧面积 S＝2πrh＝2π×1×1＝2π.
；
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(3)怎样求柱体、锥体、台体的体积？ .
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观察下列几何体的展开图：
[思考 1] 怎样认识棱柱、棱锥、棱 台的侧面积与表面积？
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名师指津：(1)棱柱、棱锥、棱台的 侧面展开分别是由平行四边形、若干个三 角形、若干个梯形组成的平面图形，侧面 展开图的面积就是棱柱、棱锥、棱台的侧 面积．
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因此，四面体 S-ABC 的表面积 S＝ 4× 43a2＝ 3a2.
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观察下面图形，思考如下问题：
[思考] 怎样理解柱体、锥体和台体 的体积公式？
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名师指津：对于柱体、锥体、台体的体积公 式的几点认识：
[问题思考] (1)如何求圆锥的侧面展开图的弧长？ 提示：圆锥的侧面展开图的弧长等于圆 锥底面的周长． (2)求圆柱、圆锥、圆台的表面积时，要 求的关键量是什么？ 提示：求圆柱、圆锥的表面积时，关键是 求其母线长与底面的半径；求圆台的表面积 时，关键是求其母线长与上、下底面的半径．
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提示：正方体、长方体是由多个平面图形围成的多 面体，它们的表面积就是围成它们的各个面面积的和， 也就是展开图的面积．如图所示．
几何体表面积⇨展开图⇨平面图形面积
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(2)北京奥运会的重要前奏是奥运圣 火的传递，圣火由“祥云”火炬承载，传 遍五洲四海，宏扬奥林匹克精神．“祥 云”火炬外型是细长的圆台形式，长 72 cm，重 985 克，燃料为丙烷．
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(3)体积公式
①柱体：柱体的底面面积为 S，高为 h，则 V
＝ Sh .
②锥体：锥体的底面面积为 S，高为 h，则 V
1
＝ 3Sh .
③台体：台体的上、下底面面积分别为 S′、
S，高为 h，则 V＝ 13(S′＋ S′S＋S)h
.
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(2)棱柱、棱锥、棱台的表面积等于 它们的侧面积与各自的底面积的和．
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[思考 2] 怎样认识旋转体的侧面 积与表面积公式？
名师指津：(1)求圆柱、圆锥、圆台的侧面 积或表面积时，可直接使用公式．但圆台的表 面积公式比较复杂，不要求记忆，因此，表面 积的求解方法是最重要的．
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(2)由已知得 l＝2r，SS侧底＝ππrr2l＝rl＝2， 故选 D.
[答案] (1)C (2)D
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空间几何体的表面积的求法技巧 (1)多面体的表面积是各个面的面积之和； (2)组合体的表面积应注意重合部分的处理； (3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧 面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表 面积是侧面积与底面圆的面积之和．
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(3)简单组合体分割成几个几何体， 其表面积有变化吗？其体积呢？
提示：表面积变大了，而体积不变．
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[课前反思] 通过以上预习，必须掌握的几个知识点．
(1)多面体的表面积是________；旋 转体的表面积是
； (2)怎样求多面体、旋转体的表面积？
(2)在计算圆柱、圆锥、圆台的侧面积时， 应根据条件计算以上旋转体的母线长和底面圆 的半径长．
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(3)这些公式的推导方法向我们提示 了立体几何问题的解题思路，那就是通过 空间观念等有关知识，将立体几何问题转 化为平面几何问题．
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